Viết các biểu thức sau dưới. Bài 16 trang 11 sgk toán 8 tập 1 – Những hằng đẳng thức đáng nhớ.
Advertisements [Quảng cáo]
16. Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu;
a] x2 + 2x + 1; b] 9x2 + y2 + 6xy;
c] 25a2 + 4b2 – 20ab; d] x2 – x + \[\frac{1}{4}\].
a] x2 + 2x + 1 = x2+ 2 . x . 1 + 12
= [x + 1]2
Advertisements [Quảng cáo]
b] 9x2 + y2+ 6xy = [3x]2 + 2 . 3 . x . y + y2 = [3x + y]2
c] 25a2 + 4b2– 20ab = [5a]2 – 2 . 5a . 2b + [2b]2 = [5a – 2b]2
Hoặc 25a2 + 4b2 – 20ab = [2b]2 – 2 . 2b . 5a + [5a]2 = [2b – 5a]2
d] x2 – x + \[\frac{1}{4}\] = x2 – 2 . x . \[\frac{1}{2}\] + \[\left [ \frac{1}{2} \right ]^{2}\]= \[\left [ x – \frac{1}{2} \right ]^{2}\]
Hoặc x2 – x + \[\frac{1}{4}\] = \[\frac{1}{4}\] – x + x2 = \[\left [ \frac{1}{2} \right ]^{2}\] – 2 . \[\frac{1}{2}\] . x + x2 = \[\left [ \frac{1}{2} – x\right ]^{2}\]
7 hằng đẳng thức đáng nhớ là một trong những kiến thức trọng tâm trong chương trình lớp 8, và nó là một trong các dạng toán lớp 9 ôn thi vào 10. Bên cạnh đó ngoài 7 hằng đẳng thức cơ bản thì sẽ còn các dạng hằng đẳng thức khác, nâng cao hơn theo đuổi học sinh lên các bậc cao sau này.
7 hằng đẳng thức đáng nhớ là sự ghép nối tạo thành bởi các con số và chữ cái, kiến thức nền tảng bắt buộc cần học tập của bất kỳ học sinh nào. Mỗi một hằng đẳng thức đưa ra đã được các nhà nghiên cứu và khoa học chứng minh đầy đủ nhất về tính đúng cũng như áp dụng. Chính vì vậy trong bài viết dưới đây Download.vn xin giới thiệu toàn bộ kiến thức lý thuyết, bài tập vận dụng có đáp án kèm theo. Qua tài liệu này giúp các học sinh rèn luyện tốt các kỹ năng mềm bổ ích như sự tỉ mỉ, cẩn thận để giải các bài tập Toán 8.
1. Bình phương của một tổng
- Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng với hai lần tích số thứ nhân nhân số thứ hai rồi cộng với bình phương số thứ hai.
[A + B]2 = A2 + 2AB + B2
Ví dụ:
2. Bình phương của một hiệu
- Bình phường của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ đi hai lần tích số thứ nhất nhân số thứ 2 rồi cộng với bình phương số thứ hai.
[A - B]2 = A2 - 2AB + B2
Ví dụ:
[ x - 2]2 = x2 - 2. x. 22 = x2 - 4x + 4
3. Hiệu hai bình phương
- Hiệu hai bình phương bằng hiệu hai số đó nhân tổng hai số đó.
A2 – B2 = [A + B][A – B]
Ví dụ:
4. Lập phương của một tổng
- Lập phương của một tổng = lập phương số thứ nhất + 3 lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai + 3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai + lập phương số thứ hai.
[A + B]3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
Ví dụ:
5. Lập phương của một hiệu
- Lập phương của một hiệu = lập phương số thứ nhất - 3 lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai + 3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai - lập phương số thứ hai.
[A - B]3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
6. Tổng hai lập phương
- Tổng của hai lập phương bằng tổng hai số đó nhân với bình phương thiếu của hiệu.
A3 + B3 = [A + B][A2 – AB + B2]
Ví dụ;
7. Hiệu hai lập phương
- Hiệu của hai lập phương bằng hiệu của hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng.
A3 – B3 = [A – B][A2 + AB + B2]
Ví dụ:
B. Bài tập hằng đẳng thức đáng nhớ
Bài toán 1: Tính
Bài toán 2: Tính
Bài toán 3: Viết các đa thức sau thành tích
Bài 4: Tính nhanh
2. 29,9.30,1
4. 37.43
Bài toán 5: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức
Bài toán 6 : viết biểu thức
Bài toán 7 : Chứng minh với moi số nguyên N biểu thức
Bài toán 8 : Viết biểu thức sau dưới dang tích
Bài toán 9. Điền vào dấu ? môt biểu thức để được môt hằng đẳng thức, có mấy cách điền
a. [x+1].?
b.
c.
d. [x-2] . ?
i. ?+8 x+16
Bài toán 10. Viết biểu thức sau dưới dang tích
Bài toán 11. Viết biểu thức sau dưới dang tích
Bài toán 12. Viết biểu thức sau dưới dạng tổng
b..
Bài toán 13: Viết biểu thức sau dưới dạng tổng
b.
..............
C: Bài tập nâng cao cho các hằng đẳng thức
Bài 1. Cho đa thức 2x² – 5x + 3 . Viết đa thức trên dưới dạng 1 đa thức của biến y trong đó y = x + 1.
Lời Giải
Theo đề bài ta có: y = x + 1 => x = y – 1.
A = 2x² – 5x + 3
= 2[y – 1]² – 5[y – 1] + 3 = 2[y² – 2y + 1] – 5y + 5 + 3 = 2y² – 9y + 10
Bài 2. Tính nhanh kết quả các biểu thức sau:
a] 127² + 146.127 + 73²
b] 98.28– [184 – 1][184 + 1]
c] 100² – 99² + 98² – 97² + …+ 2² – 1²
d] [20² + 18² + 16² +…+ 4² + 2²] – [ 19² + 17² + 15² +…+ 3² + 1²]
Lời Giải
a] A = 127² + 146.127 + 73²
= 127² + 2.73.127 + 73²
= [127 + 73]²
= 200²
= 40000 .
b] B = 9 8 .2 8 – [18 4 – 1][18 4 + 1]
= 188 – [188 – 1]
= 1
c] C = 100² – 99² + 98² – 97² + …+ 2² – 1²
= [100 + 99][100 – 99] + [98 + 97][98 – 97] +…+ [2 + 1][2 – 1]
= 100 + 99 + 98 + 97 +…+ 2 + 1
= 5050.
d] D = [20² + 18² + 16² +…+ 4² + 2²] – [ 19² + 17² + 15² +…+ 3² + 1²]
= [20² – 19²] + [18² – 17²] + [16² – 15²]+ …+ [4² – 3²] + [2² – 1²]
= [20 + 19][20 – 19] + [18 + 17][18 – 17] + [ 16 +15][16 – 15]+ …+ [4 + 3][4 – 3] + [2 + 1][2 – 1]
= 20 + 19 + 18 + 17 + 16 +15 + …+ 4 + 3 + 2 + 1
= 210
Bài 3. So sánh hai số sau, số nào lớn hơn?
a] A = [2 + 1][22+ 1][24+ 1][28 + 1][216 + 1] và B = 232
b] A = 1989.1991 và B = 19902
Gợi ý đáp án
a] Ta nhân 2 vế của A với 2 – 1, ta được:
A = [2 – 1][2 + 1][22 + 1][24 + 1][28 + 1][216 + 1]
Ta áp dụng đẳng thức [ a- b][a + b] = a² – b² nhiều lần, ta được:
A = 232 – 1.
=> Vậy A < B.
b] Ta đặt 1990 = x => B = x²
Vậy A = [x – 1][x + 1] = x² – 1
=> B > A là 1.
Bài 4. Chứng minh rằng:
a] a[a – 6] + 10 > 0.
b] [x – 3][x – 5] + 4 > 0.
c] a² + a + 1 > 0.
Lời Giải
a] VT = a² – 6a + 10 = [a – 3]² + 1 ≥ 1
=> VT > 0
b] VT = x² – 8x + 19 = [x – 4]² + 3 ≥ 3
=> VT > 0
c] a² + a + 1 = a² + 2.a.½ + ¼ + ¾ = [a + ½ ]² + ¾ ≥ ¾ >0.
Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a] A = x² – 4x + 1
b] B = 4x² + 4x + 11
c] C = 3x² – 6x – 1
Lời giải
a] Ta sẽ biến đổi A= x² – 4x + 1 = x² – 4x + 4 – 3 = [ x- 2]² – 3
Do [ x- 2]² > 0 nên => [ x- 2]² – 3 ≥ -3
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A[Amin] = -3 khi và chỉ khi x = 2.
b] B = 4x² + 4x + 11 = [2x + 1]² + 10
Vậy Bmin = 10 khi và chỉ khi x = -½.
c] C = 3x² – 6x – 1 = 3[x – 1]² – 4
Vậy Cmin = -4 khi và chỉ khi x = 1.
Bài 6. Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng: 2bc + b² + c² – a² = 4p[p – a]
Ta sẽ đi biến đổi VP.
VP = 2p[2p – 2a] = [a + b + c][ a + b – c] = [ b + c ]² – a² = b² + 2bc + c² – a² = VT [đccm]
Bài 7. Hiệu các bình phương của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp bằng 36. Tìm hai số ấy.
Lời Giải
Gọi 2 số chẵn liên tiếp là x và x + 2 [x chẵn]. Ta có:
[x + 2]² – x² = 36
x² + 4x + 4 – x² = 36
4x = 32
x = 8
=> số thứ 2 là 8+2 = 10
Đáp số: 8 và 10
Bài 8. Tìm 3 số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng các tích của từng cặp 2 số trong 3 số ấy bằng 74
Lời Giải
Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là: x – 1, x, x + 1 [ đk: x>0]
Vậy ta có: x[x – 1] + [x – 1][x + 1] + x[x + 1]= 74
Ta nhân vào và rút gọn đi ta có:
x² = 25 x = -5 , x = 5
So sánh với Đk: x>o => x = 5 [t/m].
Vậy đáp số: 4, 5, 6.
II/ Bài tập tự giải
Bài 1. Chứng minh các hằng đẳng thức sau:
a] [a² – b²]² + [2ab]² = [a² + b²]²
b] [a² + b²][c² + d²] = [ac + bd]² + [ad – bc]²
Bài 2. Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng:
[p – a]² + [p – b]² + [p – c]² = a² + b² + c² – p²
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a] 5 – 8x – x²
b] 4x – x² + 1
Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức:
a] x² – 10x + 26 với x = 105
b] x² + 0,2x + 0,01 với x = 0,9
Bài 5. Hiệu các bình phương của 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp bằng 40. Tim 2 số ấy.
Đ/S: 9 và 11.
Bài 6. Tổng 3 số a, b, c bằng 9, Tổng các bình phương của chúng bằng 53. Tính ab + bc + ca.
Đ/S: ab + bc + ca = 14.
..............
Mời các bạn tải file tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết