Bài tập lý thuyết độ đo và xác suất năm 2024

Trong không gian véc-tơ tôpô lồi địa phương, mỗi tập compact lồi đều là bao lồi đóng của tập các cực điểm của nó.

Ta cần xem không gian véc-tơ tôpô lồi địa phương ở đây là không gian nào? Nó chính là không gian các độ đo Radon phức, không gian đối ngẫu của không gian định chuẩn với chuẩn

Trên không gian ta chọn tôpô yếu*, nghĩa là tôpô sinh ra từ họ các tập mở chứa gốc có dạng

với

Với tôpô yếu* ta có

+) theo Định lý Banach-Alaogu, hình cầu đơn vị

là tập compact trong tôpô yếu*;

+) theo Định lý Weierstrass về xấp xỉ đều hàm liên tục trên một đoạn bởi đa thức nên là không gian khả ly nên với tôpô yếu* không gian khả metric, do đó compact trùng với compact dãy;

+) dãy hội tụ đến theo tôpô yếu* khi và chỉ khi nó hội tụ điểm, từ đó dẫn đến hội tụ trong .

Tập các độ đo Borel xác suất trên là tập con lồi, đóng (theo tôpô yếu*) trong hình cầu đơn vị Nên từ trên, để chứng minh mỗi độ đo Borel xác suất là giới hạn trong của dãy các tổ hợp lồi các hàm Dirac ta chỉ còn phải chứng minh tập các hàm Dirac là tập các cực điểm trong

Vậy cực điểm là gì? Trong không gian véc-tơ cho một tập và một điểm Điểm được gọi là cực điểm của tập nếu

từ mà thì

Chẳng hạn trong đường thẳng, đầu mút của đoạn thẳng là cực điểm của nó; hay trong mặt phẳng, các đỉnh của hình vuông là cực điểm của nó và đặc biệt đường tròn đơn vị chính là tập các cực điểm của hình tròn đơn vị. Cũng cần lưu ý không phải tập nào cũng có cực điểm, chẳng hạn tập số hữu tỷ trong khoảng

Chú ý cũng là đối ngẫu của

Quay trở lại việc chứng minh tập các hàm Dirac là tập các cực điểm của tập các độ đo Borel xác suất ta sẽ làm hai bước

+ chứng minh với mỗi hàm Dirac là cực điểm của ,

+ chứng minh: nếu là cực điểm của thì nó là hàm Dirac.

Cách chứng minh này dựa vào cuốn

“A course in convexity” của A. Barvinok.

Tôi sẽ không đi chi tiết mà chỉ đưa ra các bước của chứng minh. Bạn đọc thử tự hoàn thiện chứng minh xem sao?