BỘ CÔNG THỨC VỀ BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC KHÔNG THỂ BỎ LỠ
Bài tập hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu về một dạng lý thuyết mới, được sử dụng trong chứng minh tam giác và các dạng bài tập chứng minh hình học liên quan. Đó chính là bất đẳng thức về tam giác, đây là một trong những lý thuyết hệ quả quan trọng. Trong giải tích toán học, bất đẳng thức thường được dùng để ước lượng chặn trên tốt nhất cho giá trị tổng của hai số, theo giá trị của từng số trong hai số đó. Chúng ta thường áp dụng hệ quả củ bất đẳng thức tam giác để làm rõ các vấn đề liên quan đến chứng minh cả về hình học và đại số. Vậy công thức này thực chất là như thế nào, hãy cùng chúng tôi tìm hiểu nhé!
I. Định nghĩa
Trong toán học, bất đẳng thức tam giác là một định lý phát biểu rằng trong một tam giác chiều dài của một cạnh phải nhỏ hơn tổng, nhưng lớn hơn hiệu, của hai cạnh còn lại.
Bất đẳng thức là một định lý trong các không gian như hệ thống các số thực, tất cả các không gian Euclide, các không gian Lp [p≥1] và mọi không gian tích trong. Bất đẳng thức cũng xuất hiện như là một tiên đề trong định nghĩa của nhiều cấu trúc trong giải tích toán học và giải tích hàm, chẳng hạn trong các không gian vectơ định chuẩn và các không gian metric.
II. Mối quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác bất đẳng thức tam giác
1. Tính chất:
Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại
Tam giác ABC có ba cạnh lần lượt là AB, BC, AC. Ta có:
\[\left | AB - AC \right | < BC < \left | AB + AC \right | \]
2. Hệ quả
Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ luôn bé hơn độ dài cạnh còn lại.
Với tam giác ABC, ta có:
\[AB>AC-BC\]
\[BC>AB-AC\]
\[AC>AB-BC\]
3. Lưu ý
Trong một tam giác, độ dài một cạnh luôn lớn hơn hiệu và bé hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại.
III. Chứng minh bất đẳng thức tam giác
Trên tia đối của tia AB, lấy điểm D sao cho AD = AC. Trong tam giác BCD, ta sẽ so sánh BD với BC.Do tia CA nằm giữa hai tia CB và CD nên
\[CB < CA < CD \ [1]\]Mặt khác, theo cách dựng, tam giác ACD cân tại A nên
\[CA=DA\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra :
\[CB < DA < CD \ [3]\]
Trong tam giác BCD, từ [3] suy ra :
\[AB + AC = BD > BC\][điều phải chứng minh]
IV. Dạng toán và phương pháp giải
Dạng 1: Biết độ dài 2 cạnh của tam giác tính cạnh còn lại
Ví dụ: Độ dài hai cạnh của một tam giác bằng 7cm và 2cm. Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng số đo của cạnh ấy là một số tự nhiên lẻ
Đáp án: Gọi độ dài cạnh còn lại là x [cm].
Theo bất đẳng thức tam giác: 7 - 2 < x < 7 + 2 hay 5 < x < 9. Mà x là số tự nhiên lẻ nên x = 7.
Vậy cạnh còn lại bằng 7cm.
Dạng 2: Chứng minh 3 cạnh bất kì tạo nên một tam giác
Ví dụ: Chứng minh bộ ba đoạn thẳng sau là độ dài ba cạnh của tam giác: 3cm, 4cm, 5cm
Đáp án: Nhận thấy 4 -3 < 5< 4 + 3
Thỏa mãn là bất đẳng thức tam giác. Vậy 3 cạnh với độ dài lần lượt là 3cm, 4cm, 5cm tạo nên một tam giác [đpcm]
Một số bài tập mẫu liên quan
Bài 1: Cho và một điểm O nằm trong tam giác. Chứng minh rằng: \[OA + OB + OC > \dfrac{AB+AC+BC}{2}\]
Đáp án: Áp dụng bất đẳng thức tam giác lần lượt cho:
Tam giác OAB ta có: OA + OB > AB [1]
Tam giác OAC ta có: OA + OC > AC [2]
Tam giác OBC ta có : OB + OC > BC [3]
Cộng từng vế [1], [2], [3] ta được: 2[OA + OB + OC] > AB + AC + BC Suy ra: \[OA + OB + OC > \dfrac{AB+AC+BC}{2}\][đpcm].
Bài 2: Cho tam giác ABC ,điểm D nằm giữa B và C. Chứng minh rằng AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC.
Đáp án: Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho:
Tam giác ADB ta có : AD < AB + BD [1]
Tam giác ADC ta có : AD < AC + CD [2]
Cộng theo vế [1],[2] ta có: \[2AD < AB + AC + [BD + DC] \leftrightarrow 2AD < AB + AC + BC \leftrightarrow AD AB Hệ quả của BĐT là: “Trong một tam giác, độ dài một cạnh luôn luôn lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng của hai cạnh còn lại”
Ví dụ trong tam giác ABC có:
- lAC – BCl< AB < AC + BC
- lAB – ACl < BC < AB + AC
- lAB – BCl < AC < AB + BC.
Những dạng toán về BĐT tam giác
Trong BĐT tam giác, các bạn sẽ được học về ba dạng toán chính là:
- Dạng 1: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác.
- Dạng 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và đường chéo.
- Dạng 3: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác – BĐT trong tam giác.
Trong đó, dạng 3 là dạng toán chính trong chuyên đề BĐT mà các bạn cần lưu ý.
Ngoài chuyên đề này ra, Trong tam giác còn có một số chuyên đề điển hình khác về tam giác. Để nắm vững được lý thuyết cũng như phương pháp giải của mỗi chuyên đề, dạng toán và bài tập áp dụng. Mời các bạn tham khảo tài liệu bên dưới.
Tải tài liệu miễn phí ở đây
Sưu tầm: Thu Hoài