Bài tập sự tương giao giữa đường thẳng và parabol lớp 9 nâng cao

Hình minh họa

Số giao điểm của đường thẳng dd và parabol P\left( P \right) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm

ax2=mx+nax2-mx-n=0a{x^2} = mx + n \Leftrightarrow a{x^2} - mx - n = 0(*)

+) Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt Δ>0thì dd cắt P\left( P \right) tại hai điểm phân biệt

+) Phương trình (*) có nghiệm kép Δ=0\left( {\Delta = 0} \right)thì dd tiếp xúc với P\left( P \right).

+) Phương trình (*) vô nghiệm Δ<0thì dd không cắt P\left( P \right)

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Xác định số giao điểm của đường thẳng d:y=mx+nd:y = mx + n và parabol P:y=ax2a0.\left( P \right):y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right).

Phương pháp:

Số giao điểm của đường thẳng dd và parabol P\left( P \right) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm

ax2=mx+nax2-mx-n=0a{x^2} = mx + n \Leftrightarrow a{x^2} - mx - n = 0(*)

+) Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt Δ>0\left( {\Delta > 0} \right)thì dd cắt P\left( P \right) tại hai điểm phân biệt

+) Phương trình (*) có nghiệm kép Δ=0\left( {\Delta = 0} \right)thì dd tiếp xúc với P\left( P \right).

+) Phương trình (*) vô nghiệm Δ<0\left( {\Delta < 0} \right)thì dd không cắt P\left( P \right)

Dạng 2: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d:y=mx+nd:y = mx + n và parabol P:y=ax2a0.\left( P \right):y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right).

Phương pháp:

Xét phương trình hoành độ giao điểm ax2=mx+nax2-mx-n=0a{x^2} = mx + n \Leftrightarrow a{x^2} - mx - n = 0(*)

Giải phương trình (*) tìm được xx suy ra yy . Tọa độ giao điểm là x;y\left( {x;y} \right).

Dạng 3: Xác định tham số $m$ để đường thẳng d:y=mx+nd:y = mx + n và parabol P:y=ax2a0\left( P \right):y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)cắt nhau tại điểm thỏa mãn điều kiện cho trước .

Phương pháp:

+) Đường thẳng dd cắt P\left( P \right) tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung \Leftrightarrow phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt Δ>0S<0P>0

+) Đường thẳng dd cắt P\left( P \right) tại hai điểm phân biệt cùng nằm bên phải trục tung \Leftrightarrow phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt Δ>0S>0P>0

+) Đường thẳng dd cắt P\left( P \right) tại hai điểm phân biệt nằm khác phía trục tung \Leftrightarrow phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu ac<0

+) Đường thẳng dd cắt P\left( P \right) tại hai điểm có tọa độ thỏa mãn biểu thức cho trước (thường biến đổi biểu thức để sử dụng hệ thức Vi-et)

Dạng 4: Bài toán liên quan đến diện tích tam giác, diện tích hình thang và chiều cao.

Phương pháp:

Ta vận dụng linh hoạt các cách phân chia diện tích và công thức tính diện tích tam giác, hình thang để làm bài.