Bài toán cosi dùng kĩ thuật thêm bớt cấp 2 năm 2024

Bất đẳng thức Cosine (còn được gọi là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) là một trong những bất đẳng thức quan trọng nhất trong toán học, có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, từ hình học đến phân tích và thống kê. Bất đẳng thức cosi này cung cấp một phương pháp hiệu quả để ước lượng độ lớn của các sản phẩm hoặc tổng của các phần tử trong không gian vector Euclid.

Bất đẳng thức cosi lớp 9 có dạng sau đây:

(a₁b₁ + a₂b₂ + … + aₙbₙ) ≤ √(a₁² + a₂² + … + aₙ²) √(b₁² + b₂² + … + bₙ²)

Trong đó a₁, a₂, …, aₙ và b₁, b₂, …, bₙ là các số thực.

Để chứng minh bất đẳng thức cosi lớp 9, ta sử dụng định lí Pythagoras. Định lí Pythagoras khẳng định rằng đối với bất kỳ tam giác vuông, tổng bình phương của 2 cạnh góc nhọn sẽ bằng bình phương của cạnh huyền.

Áp dụng định lí Pythagoras vào bất đẳng thức Cosi lớp 9, ta có:

(a₁b₁ + a₂b₂ + … + aₙbₙ)² ≤ (a₁² + a₂² + … + aₙ²) (b₁² + b₂² + … + bₙ²)

Để chứng minh bất đẳng thức này, ta cần chứng minh rằng:

(a₁b₁ + a₂b₂ + … + aₙbₙ)² – (a₁² + a₂² + … + aₙ²) (b₁² + b₂² + … + bₙ²) ≤ 0

Bằng cách sắp xếp các thành phần tương ứng, ta có:

[(a₁b₁)² – (a₁²)(b₁²)] + [(a₂b₂)² – (a₂²)(b₂²)] + … + [(aₙbₙ)² – (aₙ²)(bₙ²)] ≤ 0

Sử dụng tính chất của các số thực và bất đẳng thức AM – GM (bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân), ta có thể chứng minh rằng từng thành phần trong ngoặc đơn luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0.

Vì vậy, ta kết luận rằng bất đẳng thức Cosi là đúng và có thể áp dụng trong nhiều bài toán và phương pháp tính toán trong toán học.

Điều quan trọng cần lưu ý là bất đẳng thức cosi lớp 9 trở thành dấu bằng khi và chỉ khi hai vector là song song hoặc khi một trong hai vector bằng không. Trong trường hợp này, tức là khi các vector có thể coi là tương đồng về hướng hoặc có một vector không có phần tử nào khác không, bất đẳng thức cosi lớp 9 trở thành bằng.

Bất đẳng thức Cosine là một công cụ quan trọng trong lý thuyết và ứng dụng của đại số tuyến tính, hình học, phân tích và thống kê. Việc hiểu và áp dụng bất đẳng thức cosi lớp 9 này giúp chúng ta hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa các vector và cách ước lượng và xác định sự tương quan giữa chúng.

\>> Tham khảo: Diện tích hình thang lớp 5

Học sinh phát biểu trong giờ học toán

2. Các dạng bất đẳng thức Cosi trong toán học

Bài tập về bất đẳng thức cosi

Dạng 1: Vận dụng trực tiếp BĐT côsi

Ví dụ1: Cho a, b là số dương thỏa mãn a2 + b2 = 2. Chứng minh rằng (a+b)5 ≥ 16ab √(1+a2)(1+b2)

Lời giải:

Ta có (a+b)5 = (a2 + 2ab + b2 )(a3 + 3ab2 + 3a2b + b3)

Áp dụng BĐT cosi ta có:

a2 + 2ab + b2 ≥ 2√2ab(a2 + b2) = 4√ab

(a3 + 3ab2 ) (3a2b+b3) ≥ 2√(a3 + 3ab2 ) (3a2b+b3) = 4√ab (1 + b2)(a2 + 1)

\=> (a2 + 2ab + b2 )(a3 + 3ab2 + 3a2b + b3) ≥ 16ab√(a2 + 1)( b2 +1)

\=> Do đó (a + b)5 ≥ 16ab√(a2 + 1)( b2 +1) điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1

Ví dụ 2: Cho 2 số không âm a, b. CHứn minh (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab

Lời giải

Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số thực không âm ta có:

\=> (1 + b)(1 + ab) ≥ 2√ab.2√ab = 4ab DPCM

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1

Dạng 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp

Phương pháp:

Để chứng minh BĐT ta thường phải biến đổi (nhân chia, thêm, bớt một biểu thức) để tạo biểu thức có thể giản ước được sau khi áp dụng BĐT côsi.

Khi gặp BĐT có dạng x + y + z ≥ a + b + c (hoặc xyz ≥ abc), ta thường đi chứng minh x + y ≥ 2a (hoặc ab ≤ x2), xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng(hoặc nhân) vế với vế ta suy ra điều phải chứng minh.

Khi tách và áp dụng BĐT côsi ta dựa vào việc đảm bảo dấu bằng xảy ra(thường dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau hoặc tại biên).

Ví dụ 1: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3.

Chứng minh rằng 8( a + b )(b + c)(c + a) ≤ (3 + a)(3 + b)(3 + c)

Lời giải

Sau khi đọc xong bài viết của chúng tôi các bạn có thể nắm được lý thuyết về bất đẳng thức cosi lớp 9 và các dạng bài tập bất đẳng thức cosi nhé

\>> Xem thêm: Hành tinh đôi đông chí

Bất đẳng thức cosi lớp 9

3. Hỏi đáp về BDT Cosi

Bất đẳng thức Cosi học ở lớp mấy?

Các em sẽ được học kiến thức về BĐT Cosi trong chương trình toán lớp 9 nha.

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có phải là tên gọi khác của BĐT Cosi không?

Các em đừng nhầm lẫn giữa điều này nha, hai BĐT này hoàn toàn khác nhau đó, BĐT Cauchy-Schwarz hay còn gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki là BĐT do 3 nhà toán học Augustin Louis Cauchy, Viktor Yakovlevich Bunyakovsky và Hermann Amandus Schwarz phát minh ra.

Lớp dạy về bất đẳng thức Cosi

Như vậy, qua bài viết trên, chúng tôi đã chia sẻ các kiến thức liên quan về bất đẳng thức Cosi, các công thức, cách chứng minh và một số dạng bài tập liên quan. Hy vọng bài viết nãy sẽ giúp các em ôn luyện và nắm vững được kiến thức quan trọng này. Chào tạm biệt và hẹn gặp lại các em trong các bài đăng tiếp theo để cùng nhau tìm hiểu thêm nhiều kiến thức toán học thú vị khác nha!