Một phương pháp xác định tính nguyên tố cùng nhau của hai số nguyên là sử dụng thuật toán Euclid. Phi hàm Euler của một số nguyên dương n là số các số nguyên giữa 1 và n nguyên tố cùng nhau với n.
Oops something went wrong:
Trên đây Khối A đã hướng dẫn các em trả lời cho câu hỏi: 2 số nguyên tố cùng nhau khi nào? có tính chất gì?? Hy vọng câu trả lời của KhoiA.Vn giúp ích cho các em. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết nhé, chúc các em thành công. Ví dụ 6 và 35 là nguyên tố cùng nhau vì chúng có ước chung lớn nhất là 1, nhưng 6 và 27 không nguyên tố cùng nhau vì chúng có ước chung lớn nhất là 3.
Trong bài viết này hệ thống giáo dục Vinastudy.vn sẽ hướng dẫn cách giải bài toán chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau. Kính mời quý phụ huynh, thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo !
- I] PHƯƠNG PHÁP
Thông thường để chứng minh hai số a và b là nguyên tố cùng nhau, ta thường dùng phương pháp sau:
Đặt ƯCLN[a, b] = 1
Suy ra mỗi số đều chia hết cho d sau đó tìm cách chứng minh d = 1.
- II] BÀI TẬP
Bài 1:
Chứng minh rằng: 2n + 1 và 3n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau. [với n $\in $ N]
Bài giải:
Gọi d = ƯCLN[2n + 1; 3n + 1]
$\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 7n+10\vdots d \\ & 5n+7\vdots d \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 5[7n+10]\vdots d \\ & 7[5n+7]\vdots d \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 35n+50\vdots d \\ & 35n+49\vdots d \\\end{align} \right.$
Số nguyên tố hay hợp số là nội dung các bạn được học ở chương trình Toán 6. Trong bài số nguyên tố, các bạn sẽ được học bài số nguyên tố cùng nhau. Vậy số nguyên tố là gì? Số nguyên tố cùng nhau là gì?
Thông báo: Giáo án, tài liệu miễn phí, và các giải đáp sự cố khi dạy online có tại Nhóm giáo viên 4.0 mọi người tham gia để tải tài liệu, giáo án, và kinh nghiệm giáo dục nhé!
Số nguyên tố là số tự nhiên chỉ có ước là 1 và chính nó.
Số nguyên tố cùng nhau là số tự nhiên có ước chung lớn nhất bằng một.
Đây là nội dung khá dễ mở đầu cho chương trình Toán 6. Và nội dung về số nguyên tố các bạn sẽ được học ở chương I của Toán 6 nên nó sẽ có trong đề thi giữa kì. Vì vậy tuy nó khá dễ nên trong đề thi các bạn nên làm thật nhanh để tránh dành thời gian cho câu khác. Để làm thuần thục các bài tập các bạn phỉa thuộc bảng cửu chương và bảng nguyên tố. Để khi làm bài các bạn có thể nhìn nhanh nó có phải số nguyên tố cùng nhau hay không.
Các ví dụ về số nguyên tố cùng nhau.
Ví dụ 1: Cho hai số 7 và 8. Hỏi hai số đó có phải là hai số nguyên tố cùng nhau hay không?
Lời giải:
Ta có: 7 = 1 x 7 và 8 = 1 x 2 x 2 x 2.
- Ước chung lớn nhất của 7 và 8 là 1.
- Hai số 7 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Ví dụ 2: Cho hai số 13 và 25. Hỏi hai số đó có phải là hai số nguyên tố cùng nhau hay không?
Lời giải
Ta có 13 = 1 x 13 và 25 = 1 x 5 x 5.
- Ước chung lớn nhất của 13 và 25 là 1.
- Hay số 13 và 25 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Trên đây là 2 ví dụ để giúp các bạn hiểu rõ hơn về các bài toán số nguyên tố cùng nhau. Để làm nhiều bài tập về số nguyên tố cùng nhau, các bạn hãy tham khảo tài liệu bên dưới.
Trong toán học, các số nguyên a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau [tiếng Anh: coprime hoặc relatively prime] nếu chúng có Ước số chung lớn nhất là 1. Ví dụ 5 và 2 là nguyên tố cùng nhau vì chúng có ước chung lớn nhất là 1, nhưng 6 và 27 không nguyên tố cùng nhau vì chúng có ước chung lớn nhất là 3. Số 1 là nguyên tố cùng nhau với mọi số nguyên. Nhưng cũng có những trường hợp đặc biệt mà các hợp số là số nguyên tố cùng nhau. Ví dụ: 6 và 25 tuy là hợp số nhưng chúng có ước chung lớn nhất là 1 nên chúng là những số nguyên tố cùng nhau.
Một phương pháp xác định tính nguyên tố cùng nhau của hai số nguyên là sử dụng thuật toán Euclid. Phi hàm Euler của một số nguyên dương n là số các số nguyên giữa 1 và n nguyên tố cùng nhau với n.
Các tính chất[sửa | sửa mã nguồn]
Các điều kiện sau tương đương với điều kiện a và b nguyên tố cùng nhau:
- Tồn tại các số nguyên x và y sao cho ax + by = 1 [xem Đẳng thức Bézout].
- Số nguyên b là khả nghịch theo modulo a: nghĩa là tồn tại số nguyên y sao cho by ≡ 1 [mod a]. Nói cách khác, b là một đơn vị trong vành Z/aZ của các số nguyên modulo a.
Hình 1. Các số 4 và 9 là nguyên tố cùng nhau vì đường chéo không đi qua điểm nguyên nào trong hình chữ nhật
Ta cũng có: nếu a và b là nguyên tố cùng nhau và br ≡ bs [mod a], thì r ≡ s [mod a] [vì ta có thể chia cho b khi theo modulo a]. Tiếp theo, nếu a và b1 là nguyên tố cùng nhau, và a và b2 cũng nguyên tố cùng nhau, thì a và b1b2 cũng là nguyên tố cùng nhau[vì tích của các đơn vị lại là đơn vị].
Nếu a và b là nguyên tố cùng nhau và a là ước của tích bc, thì a là ước của c. Đây là tổng quát hóa của bổ đề Euclid [nếu p là số nguyên tố, và p là ước của tích bc, thì p là ước của b hoặc p là ước của c.
Hai số nguyên a và b là nguyên tố cùng nhau nếu và chỉ nếu đoạn thẳng nối điểm có tọa độ [a, b] trong Hệ tọa độ Descartes với gốc [0,0], không có điểm nào trên nó có tọa độ nguyên. [Hình 1.]
Xác suất để hai số nguyên chọn ngẫu nhiên là nguyên tố cùng nhau bằng 6/π2 [xem pi], xấp xỉ 60%.
Hai số tự nhiên a và b là nguyên tố cùng nhau nếu và chỉ nếu 2a − 1 và 2b − 1 là nguyên tố cùng nhau.
Ký hiệu nhóm liên quan[sửa | sửa mã nguồn]
Nếu n≥1 là một số nguyên, các tập hợp số nguyên tố cùng nhau với n, lấy theo modulo n, tạo thành một nhóm với phép nhân; nó được ký hiệu là [Z/nZ]× hoặc Zn*.
Mở rộng cho n số nguyên[sửa | sửa mã nguồn]
Cho n số nguyên a1, a2,..., an. Các số này được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của n số đó bằng 1.
Cần phân biệt với khái niệm nguyên tố cùng nhau từng đôi một. Các số a1, a2,..., an được gọi là nguyên tố cùng nhau từng đôi một nếu từng cặp hai số khác nhau trong chúng là nguyên tố cùng nhau.
Thừa số nguyên tố là gì lớp 6?
Thừa số nguyên tố là thừa số, nhưng là các số nguyên tố. Đây cách gọi của số nguyên tố khi sử dụng trong phép nhân các số nguyên tố, chẳng hạn: "Tích các thừa số nguyên tố". Ví dụ: 6 = 2 x 3 trong đó 2 và 3 là các số nguyên tố.
Khái niệm số nguyên tố là gì?
Số nguyên tố là tập hợp các số tự nhiên >1, chia hết cho 1 và chính nó. Hoặc hiểu một cách đơn giản, những số tự nhiên nào lớn hơn 1, không chia được cho số nào khác ngoài số 1 và chính số đó thì đó là số nguyên tố. Ví dụ số nguyên tố là 3, 5, 7, 13, 17, 23, 29, 97, 101, 997…
Số 1 là số nguyên tố hay hộp sọ tại sao?
Định nghĩa và ví dụ Chẳng hạn, trong các số từ 1 đến 6, số 2, 3 và 5 là số nguyên tố vì không có số nào khác có thể chia hết được chúng [số dư bằng 0]. 1 không phải là số nguyên tố vì nó đã được loại trừ ra khỏi định nghĩa.
Số nguyên tố sành đời là như thế nào?
Hai số nguyên tố sinh đôi là một cặp số nguyên tố chỉ cách nhau bởi đúng một số khác trên trục số tự nhiên. Ví dụ: Các cặp số nguyên tố sau là cặp số nguyên tố sinh đôi:[3, 5], [5, 7], [11,13], [17,19]... Trong trường hợp tổng quát, với số nguyên k cho trước, cặp số nguyên tố p và q gọi là sinh đôi nếu p - q = k.