Tóm tắt kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến
1. Định nghĩa đồng biến, nghịch biến
Cho hàm số y = f[x] xác định trên K , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng.
a] Hàm số y = f[x] đồng biến trên K nếu mọi x₁, x₂ ∊ K, x₁ < x₂ ⇒ f[x₁] < f[x₂].
b] Hàm số y = f[x] nghịch biến trên K nếu mọi x₁, x₂ ∊ K, x₁ < x₂ ⇒ f[x₁] > f[x₂].
2. Định lí
Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên K .
a] Nếu f’[x] > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] đồng biến trên K .
b] Nếu f’[x] < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] nghịch biến trên K .
c] Nếu f’[x] = 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] không đổi trên K .
Chú ý: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’[x] > 0 trên khoảng [a;b] thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a;b]. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’[x] < 0 trên khoảng [a;b] thì hàm số f nghịch biến trên đoạn [a;b].
3. Định lí mở rộng
Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên K.
a] Nếu f’[x] ≥ 0 với mọi x thuộc K và f’[x] = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f[x] đồng biến trên K.
b] Nếu f’[x] ≤ 0 với mọi x thuộc K và f’[x] = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f[x] nghịch biến trên K.
4. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số
Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính đạo hàm f’[x]. Tìm các điểm xᵢ [i = 1, 2, …,n] mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3: Sắp xếp các điểm xᵢ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đơn điệu
Dạng toán tìm số giá trị nguyên của m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước là một bài toán ít gặp trong chương trình toán lớp 12, tuy nhiên bài toán thường gây nhiều bỡ ngỡ cho gặp lần đầu. Và khi đề thi chuyển dần sang trắc nghiệm, dạng toán này lại được khai thác rất nhiều. Để giải bài toán này chúng ta cũng thực hiện biện luận m theo điều kiện của bài toán, riêng đến phần kết luận thực hiện phép đếm các phần tử.
Ví dụ 1. Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = [m2 – 1] x3 + [m – 1] x2 – x + 4 nghịch biến trên khoảng [-∞; +∞].
A. 0
B. 3
C. 2
D. 1
Lời giải
Chọn C
TH1: m = 1.
Ta có: y = -x + 4 là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên ℝ. Do đó nhận m = 1.
TH2: m = -1.
Ta có: y = -2×2 – x + 4 là phương trình của một đường Parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên ℝ. Do đó loại m = -1.
TH3: m ≠ ±1.
Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng [-∞; +∞] ⇔ y’ ≤ 0, ∀ x ∊ ℝ. Dấu “=” chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên ℝ.
⇔ 3[m2 – 1] x2 + 2[m – 1] x – 1 ≤ 0, ∀ x ∊ ℝ
Vì m ∊ ℤ nên m = 0
Vậy có 2 giá trị m nguyên cần tìm là m = 0 hoặc m = 1.
Ví dụ 2. Cho hàm số y = -x3 – mx2 + [4m + 9] x + 5 , với m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng [-∞; +∞]
A. 5
B. 4
C. 6
D. 7
Lời giải
Chọn D
Ta có:
TXĐ: D = ℝ
y’ = -3×2 – 2mx + 4m + 9
Hàm số nghịch biến trên [-∞; +∞] khi y’ ≤ 0, ∀ x ∊ [-∞; +∞]
⇔ m ∊ [-9; -3]
Vậy có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Ví dụ 3. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá tr nguyên của tham số m để hàm số hàm số y = ⅓[m2 – m] x3 + 2mx2 + 3x – 2 đồng biến trên khoảng [-∞; +∞]?
A. 4
B. 5
C. 3
D. 0
Lời giải
Chọn A
y’ = [m2 – m] x2 + 4mx + 3
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng [-∞; +∞] ⇔ y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ
+] Với m = 0
Ta có y’ = 3 > 0, ∀ x ∊ ℝ ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng [-∞; +∞]
+] Với m = 1
Ta có y’ = 4x + 3 > 0 ⇔ x > -¾ ⇒ m = 1 không thỏa mãn.
+ Với
Ta có y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ
⇔ -3 ≤ m < 0
Tổng hợp các trường hợp ta được -3 ≤ m ≤ 0
Vì m ∊ ℤ nên m ∊ {-3; -2: -1; 0}
Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài ra.
Ví dụ 4. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số trên y = ⅓mx3 – 2mx2 + [3m + 5] x đồng biến trên ℝ.
A. 4
B. 2
C. 5
D. 6
Lời giải
Chọn D
Ta có y’ = mx2 – 4mx + 3m + 5
Với a = 0 ⇔ m = 0 ⇒ y’ = 5 > 0.
Vậy hàm số đồng biến trên ℝ.
Với a ≠ 0 ⇔ m ≠ 0.
Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ
Vì m ∊ ℤ nên m ∊ {0; 1; 2; 3; 4; 5}
Ví dụ 5. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = ⅓x3 + mx2 + 4x – m đồng biến trên khoảng [-∞; +∞].
A. [-2; 2]
B. [-∞; 2]
C. [-∞; -2]
D. [2; +∞]
Lời giải
Chọn A
Ta có: y’ = x2 + 2mx + 4
Hàm số đồng biến trên khoảng [-∞; +∞] khi và chỉ khi y’ ≥ 0, ∀ x ∊ [-∞; +∞].
⇔ ∆ = m2 – 4 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ m ≤ 2.
Chia sẻ
- Đã sao chép
Dạng bài tập Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên cực hay
a] Tìm x nguyên để biểu thức A =
Bước 1. Tách A thành dạng
trong đó h[x] là một biểu thức nguyên khi x nguyên, m là nguyên.
Bước 2: A nguyên ⇔
Bước 3. Với mỗi giá trị của g[x], tìm x tương ứng và kết luận.
b] Tìm x để biểu thức A nguyên [Sử dụng phương pháp kẹp].
Bước 1: Áp dụng các bất đẳng thức để tìm hai số m, M sao cho m < A < M.
Bước 2: Tìm các giá trị nguyên trong khoảng từ m đến M.
Với mỗi trường hợp, tìm giá trị của x và kết luận.
Lưu ý: Đối chiếu điều kiện xác định của biểu thức.
Ví dụ 1: Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức
Hướng dẫn giải:
Điều kiện xác định: x ≥ 0; x ≠ 1 .
Ta có:
⇔ √x - 1 ∈ Ư[2] = {-2; -1; 1; 2}
Ta có bảng sau:
Vậy với x ∈ {0; 4; 9} thì biểu thức A đạt giá trị nguyên.
Ví dụ 2: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức
Hướng dẫn giải:
Đkxđ: x ≠ -1.
Ta có:
⇔ x + 1 ∈ Ư[2] = {-2; -1; 1; 2}
⇔ x ∈ {-3; -2; 0; 1}.
Vậy với x ∈ {-3; -2; 0; 1} thì biểu thức A nguyên.
Ví dụ 3: Tìm x để biểu thức
Hướng dẫn giải:
Đkxđ: x ≥ 0.
Ta có:
Ta có:
⇒
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
P đạt giá trị nguyên ⇔ P = 1
Vậy với
Bài 1: Giá trị nào của x dưới đây không làm cho biểu thức
A. 1/4 B. 4 C. 2 D. 0.
Đáp án: C
Bài 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
Đáp án: B
Bài 3: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Đáp án: B
Bài 4: Với tất cả các số nguyên x, giá trị nguyên lớn nhất của biểu thức
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Đáp án: D
Bài 5: Có bao nhiêu giá trị của x để biểu thức
A. 2 B. Vô số C. 3 D. 1
Đáp án: B
Bài 6: Tìm các giá trị nguyên của x để các biểu thức dưới đây nguyên:
Hướng dẫn giải:
a] Đkxđ: x ≠ -3.
A ∈ Z ⇔ ⇔ x + 3 ∈ Ư[3] = {-3; -1; 1; 3} ⇔ x ∈ {-6; -4; -2; 0}
b] Đkxđ: x ≠ 1/3 .
B ∈ Z ⇔
Ta có bảng:
Trong các giá trị trên, chỉ có x = 1 hoặc x = 0 thỏa mãn x nguyên.
Vậy x = 0 hoặc x = 1.
c]
Ta có bảng sau:
Trong các giá trị trên chỉ có x = 1 hoặc x = 0 thỏa mãn.
Vậy x = 0 hoặc x = 1.
Bài 7: Tìm các giá trị nguyên của x để các biểu thức dưới đây nguyên:
Hướng dẫn giải:
a]
Đkxđ: x ≥ 0; x ≠ 4 .
Ta có:
M ∈ Z ⇔
Ta có bảng:
Vậy với x ∈ {49; 9; 1} thì biểu thức M có giá trị nguyên.
b]
Đkxđ: x ≥ 0 ; x ≠ 4 .
Ta có:
N ∈ Z ⇔
Ta có bảng sau:
Vậy với x ∈ {1; 9; 81} thì biểu thức nhận giá trị nguyên.
Bài 8: Tìm các giá trị của x để các biểu thức
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: x ≥ 0 .
Ta có: x - 2√x + 2 = x - 2√x + 1 + 1 = [√x - 1]2 + 1 ≥ 1 > 0
⇒ 0 < P ≤ 3.
P nguyên ⇔ P ∈ {1; 2; 3}.
+ P = 1 ⇔ x - 2√x + 2 = 1 ⇔ x - 2√x + 1 = 0 ⇔ √x - 1 = 0 ⇔ x = 1.
+ P = 2 ⇔ x - 2√x + 2 = 1/4 ⇔ [√x - 1]2 = -3/4 < 0. Vô nghiệm.
+ P = 3 ⇔ x - 2√x + 2 = 1/9 ⇔ [√x - 1]2 = -8/9 < 0. Vô nghiệm.
Vậy chỉ có x = 1 làm cho P nguyên.
Bài 9: Chứng minh rằng biểu thức
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
Mà Q > 0 với mọi x.
⇒ 0 < Q ≤ 1/2
Vậy không có giá trị nào của x làm cho Q nguyên.
Bài 10: Cho
a] Rút gọn biểu thức P.
b] Tìm x để biểu thức
Hướng dẫn giải:
a] Điều kiện xác định: x > 0; x ≠ 1.
b] Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
⇒ hay 0 < Q ≤ 2.
Q nguyên ⇔ Q = 1 hoặc Q = 2.
+ Q = 1
+ Q = 2
⇔ x = 1 [không t.m đkxđ].
Vậy với
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:
Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi