VietJack
Bằng cách đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách Bảo mật của chúng tôi.
Hay nhất
Chọn B
Giả sử \[z=x+iy{\rm \; }\left[x,y\in {\rm R}\right].\] Khi đó ta có
\[\left\{\begin{array}{l} {\left|z\right|^{2} =2\left|z+\overline{z}\right|+4} \\ {\left|z-1-i\right|=\left|z-3+3i\right|} \end{array}\right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x^{2} +y^{2} =4\left|x\right|+4} \\ {\left[x-1\right]^{2} +\left[y-1\right]^{2} =\left[x-3\right]^{2} +\left[y+3\right]^{2} } \end{array}\right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x^{2} +y^{2} =4\left|x\right|+4} \\ {x-2y=4} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {y=\frac{x-4}{2} } \\ {x^{2} +\left[\frac{x-4}{2} \right]^{2} =4\left|x\right|+4} \end{array}\right.
\]
\[\begin{array}{l} {\Rightarrow x^{2} +\left[\frac{x-4}{2} \right]^{2} =4\left|x\right|+4} \\ {\Leftrightarrow 5x^{2} -16\left|x\right|-8x=0} \end{array}\]
\[\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {\left\{\begin{array}{l} {x\ge 0} \\ {5x^{2} -24x=0} \end{array}\right. } \\ {\left\{\begin{array}{l} {x 0\].
Cách giải:
Mặt cầu \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6z - 2 = 0\] có tâm là \[I\left[ {2;0; - 3} \right]\], bán kính \[R = \sqrt {{2^2} + {0^2} + {{\left[ { - 3} \right]}^2} + 2} = \sqrt {15} .\]
Chọn D.
Câu 5 [NB]
Phương pháp:
Đường thẳng đi qua \[M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] và có 1 VTCP \[\overrightarrow u \left[ {a;b;c} \right]\] có phương trình là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + bt\end{array} \right.\].
Cách giải:
Đường thẳng đi qua \[A\left[ {2; - 1;1} \right]\] và có VTCP \[\overrightarrow u = \left[ {1; - 2;3} \right]\] có phương trình là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 - 2t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\,\,\left[ {t \in \mathbb{R}} \right].\]
Chọn C.
Câu 6 [TH]
Phương pháp:
Hàm số \[F\left[ x \right]\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left[ x \right]\] khi và chỉ khi \[F'\left[ x \right] + C = f\left[ x \right]\] [C = hằng số].
Cách giải:
Ta có \[F\left[ x \right] = {x^2} + \sin x\]\[ \Rightarrow F'\left[ x \right] = 2x + \cos x\]
Nên \[F\left[ x \right]\] là nguyên hàm của hàm số \[y = 2x + \cos x.\]
Chọn B.
Câu 7 [NB]
Phương pháp:
Vecto \[\overrightarrow u = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j + c\overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow u = \left[ {a;b;c} \right]\].
Cách giải:
Ta có \[\overrightarrow x = \overrightarrow i - 3\overrightarrow j + 2\overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow x = \left[ {1; - 3;2} \right]\]
Chọn B.
Câu 8 [TH]
Phương pháp:
- Nhân hai số phức để tìm số phức đã cho.
- Áp dụng công thức tính mô đun của số phức: Số phức \[z = a + bi\] có môđun \[\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \].
Cách giải:
Ta có \[z = \left[ {3 - 2i} \right]i = 2 + 3i\].
\[ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} .\]
Chọn B.
Câu 9 [NB]
Phương pháp:
Điểm biểu diễn của số phức \[z = a + bi\] là \[A\left[ {a;b} \right]\].
Cách giải:
Ta có \[{\rm{w}} = 4 - i\] có điểm biểu diễn là \[Q\left[ {4; - 1} \right]\]
Chọn D.
Câu 10 [NB]
Phương pháp:
- Mặt phẳng \[Ax + By + Cz + D = 0\] có 1 VTPT là \[\overrightarrow n \left[ {A;B;C} \right]\].
- Mọi vectơ cùng phương với vectơ \[\overrightarrow n \] đều là 1 VTPT của \[\left[ P \right]\].
Cách giải:
Mặt phẳng \[\left[ P \right]\]\[:2x - y + 2z - 3 = 0\] có 1 VTPT là \[\overrightarrow n = \left[ {2; - 1;2} \right]\]
Mặt khác ta thấy \[\overrightarrow n = \left[ {2; - 1;2} \right]\] không cùng phương với \[\overrightarrow {{n_4}} = \left[ {6;3;6} \right]\] do đó \[\overrightarrow {{n_4}} = \left[ {6;3;6} \right]\] không là vecto pháp tuyến của \[\left[ P \right]\].
Chọn D.
Câu 11 [TH]
Phương pháp:
Áp dụng công thức tích phân Newton Leibniz: \[\int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} = F\left[ b \right] - F\left[ a \right]\] với \[F\left[ x \right]\] là 1 nguyên hàm của hàm số \[f\left[ x \right]\], hàm số \[f\left[ x \right]\] liên tục trên \[\left[ {a;b} \right]\].
Cách giải:
\[\int_0^2 {f'\left[ x \right]dx} = f\left[ 2 \right] - f\left[ 0 \right] = 0 - 3 = - 3.\]
Chọn B.
Câu 12 [NB]
Phương pháp:
Trong không gian Oxyz, điếm đối xứng với điểm \[A\left[ {x;y;z} \right]\] lên mặt phẳng \[\left[ {Oyz} \right]\] có tọa độ là \[\left[ { - x;y;z} \right]\].
Cách giải:
Điểm đối xứng của \[A\left[ {2;1; - 3} \right]\] qua mặt phẳng \[\left[ {Oyz} \right]\] là \[A'\left[ { - 2;1; - 3} \right]\]
Chọn A.
Câu 13 [TH]
Phương pháp:
Áp dụng tính chất của tích phân: \[\int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} = \int\limits_a^c {f\left[ x \right]dx} + \int\limits_c^b {f\left[ x \right]dx} .\]
Cách giải:
Ta có
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\int\limits_a^b {\left[ {f\left[ x \right] - 2g\left[ x \right]} \right]dx} = - 8\\ \Leftrightarrow \int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} - 2\int\limits_a^b {g\left[ x \right]dx} = - 8\\ \Leftrightarrow 2 - 2\int\limits_a^b {g\left[ x \right]dx} = - 8\\ \Leftrightarrow \int\limits_a^b {g\left[ x \right]dx} = 5.\end{array}\]
Chọn D.
Câu 14 [NB]
Phương pháp:
Cho hàm số \[f\left[ x \right]\]liên tục \[\left[ {a;b} \right]\], diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[f\left[ x \right]\], các đường thẳng \[x = a,\,\,x = b\] và trục Ox là \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right]} \right|dx} .\]
Cách giải:
Hình phẳng tô đậm là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {2^x}\], trục tung, trục hoành và đường thẳng \[x = 2\] có diện tích là \[S = \int\limits_0^2 {\left| {{2^x}} \right|dx} = \int\limits_0^2 {{2^x}dx} \,\,\left[ {Do\,\,{2^x} > 0\,\,\forall x} \right].\]
Chọn B.
Câu 15 [TH]
Phương pháp:
Tìm hai nghiệm phức của phương trình từ đó suy ra giá trị của P.
Cách giải:
Ta có: \[2{x^2} - 4x + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}i = z\\x = 1 - \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}i = w\end{array} \right.\] .
Khi đó \[P = \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{{\rm{w}}} = \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}i}} + \dfrac{1}{{1 - \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}i}} = \dfrac{4}{9}.\]
Chọn C.
Câu 16 [NB]
Phương pháp:
Khoảng cách từ \[M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] đến mặt phẳng \[\left[ P \right]:\,\,Ax + By + Cz + D = 0\] là
\[d\left[ {M;\left[ P \right]} \right] = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\].
Cách giải:
\[d\left[ {M;\left[ P \right]} \right] = \dfrac{{\left| {2 + 5\left[ { - 3} \right] - 2.0 + 1} \right|}}{{\sqrt {1 + {5^2} + {{\left[ { - 2} \right]}^2}} }} = \dfrac{{2\sqrt {30} }}{5}.\]
Chọn A.
Câu 17 [TH]
Phương pháp:
Áp dụng tính chất của hai số phức bằng nhau: \[{z_1} = {a_1} + {b_1}\], \[{z_2} = {a_2} + {b_2}\] \[ \Rightarrow {z_1} = {z_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} = {b_2}\end{array} \right.\].
Cách giải:
Ta có
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left[ {3x + 2yi} \right] + \left[ {2 + i} \right] = 2x - 3i\\ \Leftrightarrow \left[ {3x + 2} \right] + \left[ {2y + 1} \right]i = 2x - 3i\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 2 = 2x\\2y + 1 = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 2\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy \[\left[ {x;y} \right] = \left[ { - 2; - 2} \right]\].
Chọn B.
Câu 18 [TH]
Phương pháp:
- \[d \bot \left[ P \right] \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{n_P}} \] với \[\overrightarrow {{u_d}} \] là 1 VTCP của đường thẳng d, \[\overrightarrow {{n_P}} \] là 1 VTPT của mặt phẳng [P].
- Đường thẳng đi qua \[M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] và có 1 VTCP \[\overrightarrow u \left[ {a;b;c} \right]\] có phương trình là: \[\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\].
Cách giải:
Mặt phẳng \[\left[ P \right]:2x - y + 2z - 5 = 0\] có 1 VTPT là \[\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {2; - 1;2} \right]\].
Gọi \[\overrightarrow {{u_d}} \] là 1 VTCP của đường thẳng d. Vì \[d \bot \left[ P \right] \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {2; - 1;2} \right]\].
Vậy phương trình đường thẳng d đi qua \[A\left[ {3;1; - 1} \right]\] và có 1 VTCP \[\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {2; - 1;2} \right]\] là: \[\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 1}}{2}.\]
Chọn D.
Câu 19 [TH]
Phương pháp:
- Tìm tọa độ các điểm \[A,B,C\]: Điểm \[M\left[ {a;b} \right]\] biểu diễn cho số phức \[z = a + bi\].
- Áp dụng tính chất hình bình hành để xác định điểm D: ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \].
Cách giải:
Ta có
\[{z_1} = 4 - 3i \Rightarrow A\left[ {4; - 3} \right]\]
\[{z_2} = \left[ {1 + 2i} \right]i = - 2 + i \Rightarrow B\left[ { - 2;1} \right]\]
\[{z_3} = \dfrac{{1 - i}}{{1 + i}} = - i \Rightarrow C\left[ {0; - 1} \right]\]
Vì ABCD là hình bình hành nên \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \].
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 - 4 = 0 - {x_D}\\1 - \left[ { - 3} \right] = - 1 - {y_D}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 6\\{y_D} = - 5\end{array} \right.\].
Vậy số phức có điểm biểu diễn là điểm \[D\left[ {6; - 5} \right]\] có dạng \[z = 6 - 5i.\]
Chọn A.
Câu 20 [TH]
Phương pháp:
Sử dụng tính chất của hình hộp chữ nhật.
Cách giải:
Gọi \[B'\left[ {a;b;c} \right]\]
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}a = B'C' = OA = 6\\b = B'A' = OC = 8\\c = B'B = OO' = 5\end{array} \right. \Rightarrow B'\left[ {6;8;5} \right]\]
Chọn D.
Câu 21 [TH]
Phương pháp:
Đặt \[z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\]. Thay vào từng đáp án.
Cách giải:
Đặt \[z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\]
Xét đáp án A: \[z + \overline z = 2a\] \[ \Rightarrow \] Đáp án A sai.
Xét đáp án B: \[z - \overline z = 2bi\]\[ \Rightarrow \] Đáp án B sai.
Xét đáp án C: \[z.\overline z = \left[ {a + bi} \right]\left[ {a - bi} \right] = {a^2} + {b^2}\]\[ \Rightarrow \] Đáp án C sai.
Xét đáp án D: \[\left| z \right| = \left| {\overline z } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \]\[ \Rightarrow \] Đáp án D đúng.
Chọn D.
Câu 22 [NB]
Phương pháp:
Từ phương trình tham số, rút ẩn t để suy ra phương trình chính tắc.
Cách giải:
Ta có \[\left[ d \right]:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 3t\\z = 2 + t\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \dfrac{{x - 1}}{{ - 2}}\\t = \dfrac{y}{3}\\t = \dfrac{{z - 2}}{1}\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \dfrac{{x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z - 2}}{1}\] là phương trình tham số của đường thẳng d.
Chọn C.
Câu 23 [TH]
Phương pháp:
- Từ đồ thị suy ra tọa độ của M, N.
- Tìm hai số phức z, w: Điểm \[M\left[ {a;b} \right]\] biểu diễn cho số phức \[z = a + bi\].
- Tính \[\dfrac{z}{{\rm{w}}}\], sử dụng MTCT.
Cách giải:
Dựa vào đồ thị ta có \[M\left[ {3;2} \right],\] \[N\left[ {1; - 4} \right].\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 3 + 2i\\{\rm{w}} = 1 - 4i\end{array} \right.\\ \Rightarrow \dfrac{z}{{\rm{w}}} = \dfrac{{3 + 2i}}{{1 - 4i}} = - \dfrac{5}{{17}} + \dfrac{{14}}{{17}}i\end{array}\]
Khi đó phần ảo của số phức \[\dfrac{z}{{\rm{w}}}\] là \[\dfrac{{14}}{{17}}\].
Chọn A.
Câu 24 [TH]
Phương pháp:
- Áp dụng các công thức tính nguyên hàm: \[\int {\dfrac{1}{{ax + b}}dx = \dfrac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right|} + C.\]
- Giải bất phương trình logarit: \[\ln x > \ln y \Leftrightarrow x > y > 0\].
Cách giải:
Ta có \[\int\limits_1^5 {\dfrac{{dx}}{{2x - 1}}} = \left. {\dfrac{1}{2}\ln \left| {2x - 1} \right|} \right|_1^5 = \dfrac{1}{2}\ln 9 \]\[= \dfrac{1}{2}.ln{3^2} = \ln 3.\]
Theo bài ra ta có: \[\int\limits_1^5 {\dfrac{{dx}}{{2x - 1}}} > \ln \left[ {\dfrac{a}{2}} \right] \]
\[\Rightarrow \ln 3 > \ln \left[ {\dfrac{a}{2}} \right] \]\[\Leftrightarrow 3 > \dfrac{a}{2} > 0 \Leftrightarrow 0 < a < 6.\]
Mặt khác a là số nguyên thuộc khoảng \[\left[ {1;17} \right]\] nên \[1 < a < 6,\,\,a \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \in \left\{ {2;3;4;5} \right\}\].
Vậy có 4 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn A.
Câu 25 [TH]
Phương pháp:
- \[d \subset \left[ P \right] \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} = 0\].
- Lấy \[A \in d\] bất kì \[ \Rightarrow A \in \left[ P \right]\].
Cách giải:
Đường thẳng d có 1 VTCP \[\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {1; - 2;b} \right]\], mặt phẳng [P] có 1 VTPT là \[\overrightarrow n \left[ {1;1; - 1} \right]\].
Vì đường thẳng \[\left[ d \right]:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = a - 2t\\z = bt\end{array} \right.\] nằm trong mặt phẳng \[\left[ P \right]:x + y - z - 2 = 0\] nên \[\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} = 0\]\[ \Leftrightarrow 1 - 2 - b = 0 \Leftrightarrow b = - 1\].
Lấy điểm \[A\left[ {1;a;0} \right] \in \left[ d \right]\], vì \[d \subset \left[ P \right] \Rightarrow A \in \left[ P \right]\].
\[ \Rightarrow 1 + a - 0 - 2 = 0 \Leftrightarrow a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1.\]
Vậy \[a + b = 1 + \left[ { - 1} \right] = 0.\]
Chọn D.
Câu 26 [TH]
Phương pháp:
- Đặt \[t = 1 + \ln x\], tính vi phân hai vế.
- Đổi cận.
- Thay toàn bộ biến x thành biến t.
Cách giải:
Ta có \[I = \int\limits_1^e {\dfrac{{{{\left[ {1 + \ln x} \right]}^2}}}{x}dx} \]
Đặt \[t = 1 + \ln x \Rightarrow dt = \dfrac{{dx}}{x}\]
Đổi cân: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = e \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\].
Khi đó \[I = \int\limits_1^2 {{t^2}dt} .\]
Chọn B.
Câu 27 [TH]
Phương pháp:
- Dựa vào đồ thị hàm số xác định các giao điểm \[x = a,\,\,x = b\].
- Cho hàm số \[f\left[ x \right]\]liên tục \[\left[ {a;b} \right]\], diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[f\left[ x \right]\], \[g\left[ x \right]\], các đường thẳng \[x = a,\,\,x = b\] là \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} .\]
- Dựa vào đồ thị hàm số, xác định dấu và phá trị tuyệt đối.
- Tính tích phân.
Cách giải:
Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hai hàm số \[y = {x^2} + 3x - 1\] và \[y = - {x^2} + x + 3\] cắt nhau tại 2 điểm là \[x = - 2;\,\,x = 1.\]
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol \[y = {x^2} + 3x - 1;y = - {x^2} + x + 3\] là
\[\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left[ { - {x^2} + x + 3 - \left[ {{x^2} + 3x - 1} \right]} \right]dx} \\S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left[ { - 2{x^2} - 2x + 4} \right]dx} \end{array}\]
Chọn C.
Câu 28 [TH]
Phương pháp:
- Phương trình bậc hai nếu có 1 nghiệm phức là \[z = a + bi\] thì cũng sẽ nhận \[\overline z = a - bi\] là nghiệm.
- Thay hai số phức \[{z_1},\,\,{z_2}\] tính số phức \[w\].
Cách giải:
Phương trình \[{z^2} + 2z + m = 0\] có một nghiệm \[{z_1} = - 1 + 3i \Rightarrow \] Nghiệm còn lại là \[{z_2} = - 1 - 3i.\]
Khi đó ta có: \[w = {z_1} - 2{z_2} = - 1 + 3i - 2\left[ { - 1 - 3i} \right] = 1 + 9i\].
Vậy số phức \[w\] có phần ảo bằng 9.
Chọn C.
Câu 29 [TH]
Phương pháp:
- Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB: Trung điểm đoạn AB có tọa độ là \[\left[ {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right]\].
- Tính bán kính mặt cầu \[R = IA\], sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng \[IA = \sqrt {{{\left[ {{x_A} - {x_I}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_A} - {y_I}} \right]}^2} + {{\left[ {{z_A} - {z_I}} \right]}^2}} \].
- Mặt cầu tâm \[I\left[ {a;b;c} \right]\], bán kính \[R\] có phương trình \[{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - b} \right]^2} + {\left[ {z - c} \right]^2} = {R^2}\].
Cách giải:
Ta có \[A\left[ {2;2; - 1} \right],B\left[ { - 4;2; - 9} \right]\] nên trung điểm của đoạn thẳng AB là \[I\left[ { - 1;2; - 5} \right].\]
Mặt cầu đường kính AB có bán kính \[R = IA = \sqrt {{{\left[ { - 3} \right]}^2} + {0^2} + {{\left[ { - 4} \right]}^2}} = 5.\]
Mặt cầu tâm \[I\left[ { - 1;2; - 5} \right]\] và có bán kính \[R = 5\] có phương trình là
\[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {\left[ {z + 5} \right]^2} = 25\]
Chọn B.
Câu 30 [VD]
Phương pháp:
- Đặt \[z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\], thay vào dữ kiện để tìm a, b.
- Số phức bằng 0 khi và chỉ khi nó có phần thực và phần ảo cùng bằng 0.
Cách giải:
Đặt \[z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi.\]
Khi đó ta có:
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{z^2} + 2\overline z = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {a + bi} \right]^2} + 2\left[ {a - bi} \right] = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2abi + {b^2}{i^2} + 2a - 2bi = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} + 2a + \left[ {2ab - 2b} \right]i = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + 2a = 0\\2ab - 2b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + 2a = 0\\2b\left[ {a - 1} \right] = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + 2a = 0\\\left[ \begin{array}{l}b = 0\\a = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\{b^2} + 3 = 0\,\,\left[ {VN} \right]\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\{a^2} + 2a = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\\left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là \[z = 0\] và \[z = - 2\].
Chọn C.
Câu 31 [VD]
Phương pháp:
- Xác định vecto chỉ phương của hai đường thẳng: Đường thẳng \[\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + bt\end{array} \right.\], \[\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\] có 1 VTCP là \[\overrightarrow u \left[ {a;b;c} \right]\].
- Kiểm tra mối quan hệ của 2 VTCP:
+ Nếu \[\overrightarrow {{u_1}} ,\,\overrightarrow {{u_2}} \] cùng phương thì \[\left[ {{d_1}} \right]\parallel \left[ {{d_2}} \right]\] hoặc \[\left[ {{d_1}} \right] \equiv \left[ {{d_2}} \right]\].
+ Nếu \[\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\] thì \[\left[ {{d_1}} \right] \bot \left[ {{d_2}} \right]\].
Cách giải:
Đường thẳng \[\left[ {{d_1}} \right]:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 3t\\z = 3 + 4t\end{array} \right.\] có 1 VTCP là \[\overrightarrow {{u_1}} \left[ {2;3;4} \right]\].
Đường thẳng \[\left[ {{d_2}} \right]:\dfrac{{x - 3}}{4} = \dfrac{{y - 5}}{6} = \dfrac{{z - 7}}{8}\] có 1 VTCP là \[\overrightarrow {{u_2}} = \left[ {4;6;8} \right]\].
Dễ thấy \[\overrightarrow {{u_2}} = 2\overrightarrow {{u_1}} \], do đó \[\overrightarrow {{u_1}} ,\,\overrightarrow {{u_2}} \] cùng phương.
Lấy \[A\left[ {1;2;3} \right] \in \left[ {{d_1}} \right]\], thay vào phương trình đường thẳng \[{d_2}\] ta có: \[\dfrac{{1 - 3}}{4} = \dfrac{{2 - 5}}{6} = \dfrac{{3 - 7}}{8} = - \dfrac{1}{2}\] \[ \Rightarrow A \in {d_2}\].
Vậy \[\left[ {{d_1}} \right] \equiv \left[ {{d_2}} \right]\].
Chọn B.
Chú ý: Nhiều HS khi nhận thấy \[\overrightarrow {{u_1}} ,\,\overrightarrow {{u_2}} \] cùng phương vội vàng kết luận luôn \[\left[ {{d_1}} \right]\parallel \left[ {{d_2}} \right]\].
Câu 32 [TH]
Phương pháp:
- Tìm tọa độ điểm A, B, C: Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \[A\left[ {x;y;z} \right]\] lên trục \[Ox\], \[Oy\], \[Oz\] lần lượt có tọa độ là \[\left[ {x;0;0} \right]\], \[\left[ {0;y;0} \right]\], \[\left[ {0;0;z} \right]\].
- Viết phương trình mặt chắn: Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm \[\left[ {a;0;0} \right]\], \[\left[ {0;b;0} \right]\], \[\left[ {0;0;c} \right]\] là: \[\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\].
Cách giải:
Ta có A, B, C là hình chiếu vuông góc của điểm \[P\left[ {2; - 3;1} \right]\] trên trục Ox, Oy, Oz nên \[A\left[ {2;0;0} \right],\] \[B\left[ {0; - 3;0} \right],\] \[C\left[ {0;0;1} \right].\]
Phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B ,C là: \[\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{{ - 3}} + \dfrac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow 3x - 2y + 6z - 6 = 0\]
Chọn D.
Câu 33 [VD]
Phương pháp:
- Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu.
- Sử dụng công thức tính nguyên hàm: \[\int {\sqrt {ax + b} dx} = \dfrac{2}{{3a}}{\left[ {\sqrt {ax + b} } \right]^3} + C\].
Cách giải:
Ta có
\[\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }}} \\ = \int\limits_0^1 {\dfrac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt x }}{{x + 1 - x}}} dx\\ = \int\limits_0^1 {\left[ {\sqrt {x + 1} - \sqrt x } \right]dx}\\ = \left. {\dfrac{2}{3}\left[ {{{\left[ {\sqrt {x + 1} } \right]}^3} - {{\left[ {\sqrt x } \right]}^3}} \right]} \right|_0^1\\ = \dfrac{2}{3}\left[ {\left[ {\sqrt 8 - 1} \right] - \left[ {1 - 0} \right]} \right] \\= \dfrac{2}{3}\left[ {\sqrt 8 - 2} \right]\end{array}\]
Khi đó \[a = 8;\,\,b = 2.\]
Vậy \[T = a + b = 8 + 2 = 10.\]
Chọn A.
Câu 34 [VD]
Phương pháp:
- Tìm chiều cao của hình trụ bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng \[\left[ {ABC} \right]\] và \[\left[ {A'B'C'} \right]\].
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: \[Ax + By + Cz + D = 0\] và \[Ax + By + Cz + D' = 0\] là: \[d = \dfrac{{\left| {D - D'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\].
- Tính thể tích khối lăng trụ: \[V = Bh\] trong đó h là chiều cao, B là diện tích đáy của khối lăng trụ.
Cách giải:
Hai mặt phẳng \[\left[ {ABC} \right];\left[ {A'B'C'} \right]\] song song với nhau nên chiều cao khối trụ là \[h = d\left[ {\left[ {ABC} \right];\left[ {A'B'C'} \right]} \right].\]
Mà phương trình mặt phẳng \[\left[ {ABC} \right];\left[ {A'B'C'} \right]\] lần lượt là \[x - 2y + z + 2 = 0;\]\[x - 2y + z + 4 = 0\]
Nên \[h = d\left[ {\left[ {ABC} \right];\left[ {A'B'C'} \right]} \right]\]\[ = \dfrac{{\left| {4 - 2} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}.\]
Vậy thể tích khối lăng trụ là: \[V = h.{S_{ABC}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}.6 = 2\sqrt 6 .\]
Chọn B.
Câu 35 [VD]
Phương pháp:
- Đổi biến \[t = \dfrac{{x + 1}}{2}\].
- Vi phân hai vế.
- Đổi cận, thay toàn bộ biến x thành biến t.
- Sử dụng tính chất không phụ thuộc biến của tích phân: \[\int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left[ t \right]dt} \].
Cách giải:
Ta có \[I = \int\limits_1^5 {f\left[ {\dfrac{{x + 1}}{2}} \right]dx} \]
Đặt \[t = \dfrac{{x + 1}}{2} \Rightarrow dt = \dfrac{{dx}}{2} \Leftrightarrow dx = 2dt\]
Đổi cận: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = 5 \Rightarrow t = 3\end{array} \right.\].
Khi đó ta có: \[I = 2\int\limits_1^3 {f\left[ t \right]dt} = 2\int\limits_1^3 {f\left[ x \right]dx} = 2.3 = 6.\]
Chọn D.
Câu 36 [VD]
Phương pháp:
- Tìm mô đun của số phức \[z - 2i\].
- Giải bất phương trình \[\left| {z - 2i} \right| > 1\] bằng phương pháp bình phương 2 vế.
Cách giải:
Ta có \[z = m + 1 + mi \Rightarrow z - 2i = m + 1 + \left[ {m - 2} \right]i.\]
\[ \Rightarrow \left| {z - 2i} \right| = \sqrt {{{\left[ {m + 1} \right]}^2} + {{\left[ {m - 2} \right]}^2}} \].
Theo bài ra ta có: \[\left| {z - 2i} \right| > 1 \Rightarrow {\left[ {m + 1} \right]^2} + {\left[ {m - 2} \right]^2} > 1\]
\[ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 + {m^2} - 4m + 4 > 1\] \[ \Leftrightarrow 2{m^2} - 2m + 4 > 0\] [luôn đúng]
\[ \Rightarrow m \in \mathbb{R}\].
Kết hợp điều kiện bài toán, ta có \[m \in \left[ { - 5;5} \right],\,\,m \in \mathbb{Z}\]\[ \Rightarrow m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}.\]
Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn D.
Câu 37 [VD]
Phương pháp:
- Gọi vecto pháp tuyến của mặt phẳng là \[\overrightarrow n \].
- Phương trình mặt phẳng chứa trục Oy và qua điểm \[A\left[ {1;4; - 3} \right]\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n .\overrightarrow j = 0\\\overrightarrow n .\overrightarrow {OA} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow j ;\overrightarrow {OA} } \right]\].
- Viết phương trình mặt phẳng đi qua \[A\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] và có 1 VTPT là \[\overrightarrow n \left[ {A;B;C} \right]\] là:
\[A\left[ {x - {x_0}} \right] + \left[ {y - {y_0}} \right] + C\left[ {z - {z_0}} \right] = 0\].
Cách giải:
Gọi vecto pháp tuyến của mặt phẳng là \[\overrightarrow n \]
Phương trình mặt phẳng chứa trục Oy và qua điểm \[A\left[ {1;4; - 3} \right]\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n .\overrightarrow j = 0\\\overrightarrow n .\overrightarrow {OA} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow j ;\overrightarrow {OA} } \right]\].
Ta có: \[\overrightarrow j = \left[ {0;1;0} \right],\,\,\overrightarrow {OA} = \left[ {1;4; - 3} \right]\] \[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow j ;\overrightarrow {OA} } \right] = \left[ { - 3;0; - 1} \right]\].
\[ \Rightarrow \] Mặt phẳng cần tìm có 1 VTPT là \[\overrightarrow n \left[ { - 3;0; - 1} \right]\], do đó mặt phẳng cũng có vecto pháp tuyến là \[\left[ {3;0;1} \right]\].
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: \[3\left[ {x - 0} \right] + 0\left[ {y - 0} \right] - 1\left[ {z - 0} \right] = 0\]\[ \Leftrightarrow 3x - z = 0\].
Chọn D.
Câu 38 [VD]
Phương pháp:
- Tìm hàm số vận tốc: \[v\left[ t \right] = \int {a\left[ t \right]dt} \], sử dụng dữ kiện \[v\left[ 0 \right] = 15\] để tìm C.
- Quãng đường đi được sau 10 giây là: \[S = \int\limits_0^{10} {v\left[ t \right]dt} \].
Cách giải:
Ta có \[v = \int {a\left[ t \right]dt = \int {\left[ {3t - 8} \right]dt} } = \dfrac{{3{t^2}}}{2} - 8t + C.\]
Vì ô tô đang chạy với vận tốc 15m/s nên ta có: \[v\left[ 0 \right] = 15 \Rightarrow C = 15.\]
\[ \Rightarrow v = \dfrac{{3{t^2}}}{2} - 8t + 15.\]
Vậy quãng đường ô tô đi được sau 10 giây là: \[s = \int\limits_0^{10} {\left[ {\dfrac{{3{t^2}}}{2} - 8t + 15} \right]dt = 250} .\]
Chọn D.
Câu 39 [TH]
Phương pháp:
- Viết tọa độ tổng quát của M [dựa vào đường thẳng d].
- Thay tọa độ điểm M vào mặt phẳng \[\left[ P \right]\] rồi tìm tọa độ điểm M và suy ra a, b, c.
Cách giải:
Vì \[M = \left[ d \right] \cap \left[ P \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in \left[ d \right]\\M \in \left[ P \right]\end{array} \right.\].
Ta có \[M \in \left[ d \right]:\,\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{z}{2}\]\[ \Leftrightarrow M\left[ {2t + 1;\,\,t - 1;\,\,2t} \right].\]
\[M \in \left[ P \right]\] \[ \Rightarrow 2t + 1 - t + 1 + 4t + 3 = 0\]\[ \Leftrightarrow 5t + 5 = 0 \Leftrightarrow t = - 1.\]
Khi đó ta có \[M\left[ { - 1; - 2; - 2} \right]\]\[ \Rightarrow a = - 1,\,\,b = - 2,\,\,c = - 2\]
Vậy \[P = a + b + c = - 1 - 2 - 2 = - 5.\]
Chọn C.
Câu 40 [VD]
Phương pháp:
Sử dụng tích phân từng phần: \[\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \].
Cách giải:
Đặt \[I = \int\limits_1^2 {\left[ {x - 1} \right]f'\left[ x \right]dx} \]
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x - 1\\dv = f'\left[ x \right]dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left[ x \right]\end{array} \right.\]
Khi đó ta có: \[I = \left. {\left[ {x - 1} \right]f\left[ x \right]} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {f\left[ x \right]dx} \]\[= f\left[ 2 \right] - \int\limits_1^2 {f\left[ x \right]dx} \]
Mà \[I = b;\,\,f\left[ 2 \right] = a\,\,\left[ {gt} \right]\] nên \[\int\limits_1^2 {f\left[ x \right]dx} = a - b.\]
Chọn A.
Câu 41 [VD]
Phương pháp:
Áp dụng tính chất chia hết cho 3: Số chia hết cho 3 là số có tổng tất cả các chữ số chia hết cho 3.
Cách giải:
Trong đoạn \[\left[ {2;9} \right]\] có
+] 3 số chia hết cho 3: \[\left\{ {3;6;9} \right\}\].
+] 2 số chia 3 dư 1: \[\left\{ {4;7} \right\}\].
+] 3 số chia 3 dư 2: \[\left\{ {2;5;8} \right\}\].
Để \[a + b\] chia hết cho 3 thì
+] Cả 2 số a, b đều chia hết cho 3 có \[A_3^2 = 6\] số phức thỏa mãn.
+] 1 số chia 3 dư 1 và 1 số chia 3 dư 2: Có \[C_2^1.C_3^1.2! = 12\] số phức thỏa mãn.
Vậy có tất cả 18 số phức thỏa mãn.
Chọn D.
Câu 42 [VD]
Phương pháp:
- Tìm bán kính mặt cầu: Mặt cầu \[\left[ S \right]:\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\] có tâm \[I\left[ {a;b;c} \right]\] và bán kính \[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \] với \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\].
- Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng đã cho: - Khoảng cách từ \[M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] đến mặt phẳng \[\left[ P \right]:\,\,Ax + By + Cz + D = 0\] là \[d\left[ {M;\left[ P \right]} \right] = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\].
- Áp dụng định lý Pytago để tính bán kính đường tròn.
- Đường tròn bán kính r có chu vi \[C = 2\pi r\].
Cách giải:
Mặt cầu \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} = 5\] có tâm là \[O\left[ {0;0;0} \right]\], bán kính \[R = \sqrt 5 .\]
Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng \[\left[ P \right]:x + \sqrt 2 y - z + 3 = 0\] là \[d = \dfrac{3}{{\sqrt {1 + 2 + 1} }} = \dfrac{3}{2}.\]
Áp dụng định lý Pytago ta có \[{R^2} = {r^2} + {d^2} \Rightarrow r = \sqrt {5 - {{\left[ {\dfrac{3}{2}} \right]}^2}} = \dfrac{{\sqrt {11} }}{2}.\]
Vậy chu vi đường tròn bán kính r bằng \[C = 2\pi r = \pi \sqrt {11} .\]
Chọn A.
Câu 43 [VD]
Phương pháp:
- Từ giả thiết \[f'\left[ x \right] = {\left[ {xf\left[ x \right]} \right]^2}\], chia cả 2 vế cho \[{f^2}\left[ x \right]\] và sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế.
- Sử dụng giả thiết \[f\left[ 1 \right] = \dfrac{1}{3}\] tìm hằng số C.
- Tính giá trị \[f\left[ 2 \right]\].
Cách giải:
Ta có \[f'\left[ x \right] = {\left[ {xf\left[ x \right]} \right]^2}\]\[ \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left[ x \right]}}{{{f^2}\left[ x \right]}} = {x^2}\]
Lấy nguyên hàm hai vế ta được: \[\int {\dfrac{{f'\left[ x \right]}}{{{f^2}\left[ x \right]}}dx = \int {{x^2}dx} \Leftrightarrow } - \dfrac{1}{{f\left[ x \right]}} = \dfrac{{{x^3}}}{3} + C\]
Mà \[f\left[ 1 \right] = \dfrac{1}{3} \Rightarrow - \dfrac{1}{{\dfrac{1}{3}}} = \dfrac{1}{3} + C \Leftrightarrow C = \dfrac{{ - 10}}{3}\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow - \dfrac{1}{{f\left[ x \right]}} = \dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{10}}{3} = \dfrac{{{x^3} - 10}}{3}\\ \Rightarrow f\left[ x \right] = \dfrac{3}{{10 - {x^3}}}\end{array}\]
Vậy \[f\left[ 2 \right] = \dfrac{3}{{10 - {2^3}}} = \dfrac{3}{2}.\]
Chọn B.
Câu 44 [VDC]
Cách giải:
Ta có
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left| {z - 1 + i} \right| \le \left| {z - 3 - 5i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi - 1 + i} \right| \le \left| {x + yi - 3 - 5i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} \le {\left[ {x - 3} \right]^2} \\+ {\left[ {y - 5} \right]^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} + 2y + 1 \le {x^2}\\ - 6x + 9 + {y^2} - 10y + 25\\ \Leftrightarrow 4x + 12y - 32 \le 0\\ \Leftrightarrow x + 3y \le 8\end{array}\]
Khi đó ta có: \[\left[ {x;y} \right]\] là cặp số thỏa mãn \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + 3y \le 8\end{array} \right.\].
Miền nghiệm là tam giác OAB [phần không bị gạch, kể cả bờ là các cạnh của tam giác OAB], với \[O\left[ {0;0} \right]\], \[A\left[ {0;\dfrac{8}{3}} \right]\], \[B\left[ {8;0} \right]\].
Ta có: \[T\left[ O \right] = 0,\,\,T\left[ A \right] = 168,\,\,T\left[ B \right] = 280\].
Vậy \[\max T = 280 \Leftrightarrow z = 8.\]
Chọn D.
Câu 45 [VD]
Phương pháp:
Áp dụng công thức tính chỏm cầu \[{V_{cc}} = \pi {h^2}\left[ {R - \dfrac{h}{3}} \right]\], với \[R\] là bán khối cầu, h là chiều cao của chỏm cầu.
Cách giải:
Ta có đường kính mặt cầu là \[60.2 = 120\,\,\,\left[ {cm} \right].\]
Mà khoảng cách giữa hai đáy của thùng rượu là \[80cm\]
Nên chiều cao chỏm cầu là \[h = \dfrac{{120 - 80}}{2} = 20\,\,\left[ {cm} \right].\]
Thế tích của 1 chỏm cầu chiều cao \[h = 20\] và bán kính \[60cm\]là
\[{V_{cc}} = \pi {h^2}\left[ {R - \dfrac{h}{3}} \right] = \pi {.20^2}\left[ {60 - \dfrac{{20}}{3}} \right]\]\[ = \dfrac{{64000}}{3}\pi \,\,\left[ {c{m^3}} \right] = \dfrac{{64\pi }}{3}\,\,\left[ l \right]\]
Thể tích của cả khối cầu bán kính 60 cm là \[V = \dfrac{4}{3}\pi {r^3} = \dfrac{4}{3}\pi {.60^3}\]\[ = 288000\pi \,\,\left[ {c{m^3}} \right] = 288\pi \,\,\left[ l \right]\]
Khi đó thể tích thùng rượu là \[V' = V - 2{V_{cc}} = \dfrac{{736}}{3}\pi \,\,\left[ l \right] \approx 771\,\,\left[ l \right].\]
Chọn A.
Câu 46 [VDC]
Phương pháp:
- Đồ thị hàm số \[f\left[ x \right] = m{x^3} + n{x^2} + px - \dfrac{5}{2}\] đi qua các điểm có tọa độ \[\left[ {1;2} \right];\] \[\left[ { - 1; - 2} \right];\]\[\left[ { - 3;2} \right]\]. Xác định giá trị m, n, p.
- Cho hàm số \[f\left[ x \right]\]liên tục \[\left[ {a;b} \right]\], diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[f\left[ x \right]\], các đường thẳng \[x = a,\,\,x = b\] và trục Ox là \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right]} \right|dx} .\]
Cách giải:
Đồ thị hàm số \[f\left[ x \right] = m{x^3} + n{x^2} + px - \dfrac{5}{2}\] đi qua các điểm có tọa độ \[\left[ {1;2} \right];\] \[\left[ { - 1; - 2} \right];\]\[\left[ { - 3;2} \right]\] nên ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}m + n + p - \dfrac{5}{2} = 2\\ - m + n - p - \dfrac{5}{2} = - 2\\ - 27m + 9n - 3p - \dfrac{5}{2} = 2\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{2}\\n = \dfrac{5}{2}\\p = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow f\left[ x \right] = \dfrac{1}{2}{x^3} + \dfrac{5}{2}{x^2} + \dfrac{3}{2}x - \dfrac{5}{2}.\]
Xét phương trình haonfh độ giao điểm \[f\left[ x \right] = g\left[ x \right] \Leftrightarrow f\left[ x \right] - g\left[ x \right] = 0\].
Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình \[f\left[ x \right] - g\left[ x \right] = 0\] có 3 nghiệm là \[\left[ \begin{array}{l}{x_1} = - 3\\{x_2} = - 1\\{x_3} = 1\end{array} \right.\]
Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \[f\left[ x \right];g\left[ x \right]\] bằng
\[\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]dx} + \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {g\left[ x \right] - f\left[ x \right]} \right]dx} \\\,\,\,\, = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left[ {\dfrac{1}{2}{x^3} + \dfrac{5}{2}{x^2} + \dfrac{3}{2}x - \dfrac{5}{2} - {x^2} - 2x + 1} \right]dx} \\\,\,\,\,\,\, + \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {{x^2} + 2x - 1 - \dfrac{1}{2}{x^3} - \dfrac{5}{2}{x^2} - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{5}{2}} \right]dx} \\\,\,\,\, = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left[ {\dfrac{1}{2}{x^3} + \dfrac{3}{2}{x^2} - \dfrac{1}{2}x - \dfrac{3}{2}} \right]dx} \\\,\,\,\,\, + \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ { - \dfrac{1}{2}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}} \right]dx} \\\,\,\,\,\, = 2 + 2 = 4.\end{array}\]
Chọn C.
Câu 47 [VDC]
Phương pháp:
- Tìm \[\left[ P \right]\] là mặt phẳng chứa d và vuông góc với d.
- Tìm hình chiếu của A trên mặt phẳng \[\left[ P \right]\].
- Tìm phương trình đường thẳng d.
Cách giải:
+] Gọi \[\left[ P \right]\] là mặt phẳng chứa d và vuông góc với \[d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 5}}{2} = \dfrac{z}{{ - 1}}\]
Mặt phẳng \[\left[ P \right]\] có vecto pháp tuyến là \[\overrightarrow n = \left[ {2;2; - 1} \right]\] và đi qua \[M\left[ { - 2; - 2;1} \right]\] có phương trình là \[2x + 2y - z + 9 = 0\]
+] Đường thẳng m đi qua điểm A và vuông góc vói mặt phẳng \[\left[ P \right]\]
Nên đường thẳng m có vecto chỉ phương là \[\left[ {2;2; - 1} \right]\] và đi qua \[A\left[ {1;2; - 3} \right]\] có dạng \[\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z + 3}}{{ - 1}}\]
Gọi B là giao điểm của đường thẳng m và mặt phẳng \[\left[ P \right]\]
\[\begin{array}{l}B\left[ {2t + 1;2t + 2; - t - 3} \right] \\\in \left[ P \right]:2x + 2y - z + 9 = 0 \Rightarrow t = - 2\\ \Rightarrow B\left[ { - 3; - 2; - 1} \right]\end{array}\]
Để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d là nhỏ nhất thì d đi qua \[B\left[ { - 3; - 2; - 1} \right]\] và \[M\left[ { - 2; - 2;1} \right]\]
Khi đó \[\overrightarrow {BM} = \left[ {1;0;2} \right]\]
Phương trình đường thẳng d là \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = - 2\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\]
Chọn D.
Câu 48 [VDC]
Cách giải:
Gọi tâm mặt cầu là \[I\left[ {a;b;c} \right]\]
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}IM = IN\\IM = IP\\d\left[ {I;\left[ {Oyz} \right]} \right] = IM\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left[ {a - 2} \right]^2} + {\left[ {b - 1} \right]^2} + {\left[ {c - 4} \right]^2}\\ = {\left[ {a - 5} \right]^2} + {b^2} + {c^2}\\{\left[ {a - 2} \right]^2} + {\left[ {b - 1} \right]^2} + {\left[ {c - 4} \right]^2}\\ = {\left[ {a - 1} \right]^2} + {\left[ {b + 3} \right]^2} + {\left[ {c - 1} \right]^2}\\{\left[ {a - 2} \right]^2} + {\left[ {b - 1} \right]^2} + {\left[ {c - 4} \right]^2} \\= {a^2}\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \]\[\left\{ \begin{array}{l}3a - b - 4c = 2\\a + 4b + 3c = 5\\4 - 4a + {\left[ {b - 1} \right]^2} + {\left[ {c - 4} \right]^2} = 0\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = a - 1\\b = 2 - a\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow 4 - 4a + {\left[ {2 - a - 1} \right]^2}\\ + {\left[ {a - 1 - 4} \right]^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} - 12a + 30 = 0\end{array}\]
Phương trình vô nghiệm.
Chọn A.
Câu 49 [VD]
Phương pháp:
- Tìm điểm biểu diễn của các số phức.
- Dựa vào diện tích tam giác để xác định các số phức.
Cách giải:
Đặt \[z = a + bi\]\[ \Rightarrow {\rm{w}} = \left[ {1 + i} \right]\left[ {a + bi} \right] = a - b + \left[ {a + b} \right]i\]
Khi đó \[A\left[ {a;b} \right];B\left[ {a - b;a + b} \right]\]
Số phức \[z' = {\rm{w}} - z = - b + ai\]
Ta có \[\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \]
\[\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {{{\left[ {a - b} \right]}^2} + {{\left[ {a + b} \right]}^2}} \] \[ = \sqrt 2 .\sqrt {{a^2} + {b^2}} \]
\[ \Rightarrow OA = \sqrt 2 .OB\]
Mà \[\left| {z'} \right| = AB = OA\]
Tam giác OAB có \[OA = AB;OB = \sqrt 2 OA\] nên tam giác vuông cân tại A.
\[ \Rightarrow {S_{OAB}} = \dfrac{{A{B^2}}}{2} = 8\]\[ \Rightarrow AB = 4 \Rightarrow \left| {{\rm{w}} - z} \right| = 4\]
Chọn D.
Câu 50 [VD]
Phương pháp:
- Viết phương trình parabol.
- Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn
Cách giải:
Coi N là gốc tọa độ thì ta có \[M\left[ {0;4} \right];A\left[ { - 2;0} \right];B\left[ {2;0} \right]\]
Parabol có dạng \[y = - {x^2} + 4\]
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parobol và trục hoành là \[S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| { - {x^2} + 4} \right|dx} = \dfrac{{32}}{3}\]
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parobol là đường thẳng \[y = \dfrac{8}{3}\] là \[{S_1} = \int\limits_{ - \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}}^{\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}} {\left| { - {x^2} + 4 - \dfrac{8}{3}} \right|dx} \]
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parobol là đường thẳng \[y = \dfrac{4}{3}\] là \[{S_2} = \int\limits_{ - \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}}^{\dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}} {\left| { - {x^2} + 4 - \dfrac{4}{3}} \right|dx} \]
Khi đó số tiền để lắp kính là \[T = 200.{S_1} + 150\left[ {{S_2} - {S_1}} \right]\]\[ + 200\left[ {\dfrac{{32}}{3} - {S_2}} \right] = 1.946\]
Chọn C.
Nguồn: Sưu tầm
Loigiaihay.com