Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: |z|=1 và |z2+4|=23 .
A.1.
B.2.
C. 3.
D.4.
Đặt $z=a+bi$ ta có:
$\begin{cases}|z|=1\\|z+\overline{z}|=1\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}a^2+b^2=1\\4a^2=1\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}a^2+b^2=1\\a=\pm \dfrac12\end{cases}$
$\Rightarrow $a có $2$ nghiệm
$\Rightarrow \dfrac14+b^2=1$
$\Rightarrow b^2=\dfrac32$
$\Rightarrow b=\pm \dfrac{\sqrt{6}}{2}$
$\Rightarrow b$ có $2$ nghiệm
Vậy có tổng là $4$ nghiệm.
Đáp án $C$
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z2 = | z3|.
A. 2.
B. 3.
Đáp án chính xác
C. 4.
D. 5.
Xem lời giải
Chọn đáp án C
Vậy có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Số phức \[z = a + bi\] có phần thực là:
Số phức \[z = \sqrt 2 i - 1\] có phần thực là:
Hai số phức \[z = a + bi,z' = a + b'i\] bằng nhau nếu:
Số phức liên hợp của số phức \[z = a - bi\] là:
Cho hai số phức \[z = a + bi,z' = a' + b'i\]. Chọn công thức đúng:
Tìm số phức có phần thực bằng $12$ và mô đun bằng $13$:
Cho số phức $z = 1 + \sqrt {3}i $. Khi đó
Cho số phức \[z = 3 - 4i\]. Modun của \[z\] bằng
Cho số phức $z = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^9}$. Khi đó:
Số phức liên hợp của số phức \[z = \dfrac{1}{{1 + i}}\] là:
Số phức nghịch đảo của \[z = 3 + 4i\] là:
Cho số phức \[z = 3 - 2i\], khi đó \[2z\] bằng
Câu hỏi
Nhận biết
Có bao nhiêu số phức \[z \] thỏa mãn \[ \left| z \right| = 1 \] và \[ \left| {{z^3} + 2024z + \overline z } \right| - 2 \sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019 \]?
A.
B.
C.
D.
Tải trọn bộ tài liệu tự học tại đây
Giải chi tiết:
Ta có :
\[\begin{array}{l}\left| {{z^3} + 2024z + \overline z } \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {{z^3} + 2024z + \overline z } \right|}}{{\left| z \right|}} - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019\\ \Leftrightarrow \left| {{z^2} + 2024 + \dfrac{{\overline z }}{z}} \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019 \Leftrightarrow \left| {{z^2} + 2024 + {{\overline z }^2}} \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019\\ \Leftrightarrow \left| {{{\left[ {z + \overline z } \right]}^2} - 2z\overline z + 2024} \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019 \Leftrightarrow \left| {{{\left[ {z + \overline z } \right]}^2} + 2022} \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019\end{array}\]
Đặt \[z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi \Rightarrow z + \overline z = 2a\].
Khi đó phương trình cuối trở thành \[\left| {{{\left[ {2a} \right]}^2} + 2022} \right| - 2\sqrt 3 .\left| {2a} \right| = 2019 \Leftrightarrow 4{a^2} - 4\sqrt 3 \left| a \right| + 3 = 0\]
\[ \Leftrightarrow {\left[ {2\left| a \right| - \sqrt 3 } \right]^2} = 0 \Leftrightarrow \left| a \right| = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow a = \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\].
Mà \[\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1 \Rightarrow {b^2} = 1 - {a^2} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow b = \pm \dfrac{1}{2}\].
Vậy có bốn số phức thỏa mãn bài toán là \[{z_1} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{1}{2}i,\,\,{z_2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{1}{2}i,\,\,{z_3} = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{1}{2}i,\,\,{z_4} = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{1}{2}i.\]
Chọn B.