Cho hàm số $y = \frac{{3x 1}}{{x 3}}$ có đồ thị là [C]. Tìm điểm M thuộc đồ thị [C] sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
A. ${M_1}\left[ {1; 1} \right];{M_2}\left[ {7;5} \right]$
B. ${M_1}\left[ {1;1} \right];{M_2}\left[ { 7;5} \right]$
C. ${M_1}\left[ { 1;1} \right];{M_2}\left[ {7;5} \right]$
D. ${M_1}\left[ {1;1} \right];{M_2}\left[ {7; 5} \right]$
Hướng dẫn
Đồ thị [C] có tiệm cận đứng: ${\Delta _1}:x 3 = 0$ và tiệm cận ngang ${\Delta _2}:y 3 = 0.$
Gọi $M\left[ {{x_0};{y_0}} \right] \in \left[ C \right]$ với ${y_0} = \frac{{3{x_0} 1}}{{{x_0} 3}}\,\,\,\left[ {{x_0} \ne 3} \right]$. Ta có:
$d\left[ {M,{\Delta _1}} \right] = 2.d\left[ {M,{\Delta _2}} \right] \Leftrightarrow \left| {{x_0} 3} \right| = 2.\left| {{y_0} 3} \right|$
$\Leftrightarrow \left| {{x_0} 3} \right| = 2.\left| {\frac{{3{x_0} 1}}{{{x_0} 3}} 3} \right| \Leftrightarrow {\left[ {{x_0} 3} \right]^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 1\\ {x_0} = 7 \end{array} \right.$
Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là ${M_1}\left[ { 1;1} \right]$ và ${M_2}\left[ {7;5} \right].$