Đề bài
Trong mặt phẳng \[Oxy\]cho đường thẳng \[d\]có phương trình \[x=2\sqrt{2}\]. Hãy viết phương trình đường thẳng \[d\]là ảnh của \[d\] qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm \[O\]tỉ số \[k=\dfrac{1}{2}\]và phép quay tâm \[O\] góc \[{45}^o\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định nghĩa phép vị tự: Cho \[I\] và \[k\ne 0\]. Phép biến hình biến điểm \[M\] thành điểm \[M\] sao cho \[\vec{IM}=k\vec{IM}\] được gọi là phép vị tự tâm \[I\], tỉ số \[k\].
Sử dụng định nghĩa:
Cho \[O\] và góc lượng giác \[\alpha\]. Phép biến hình biến \[O\] thành chính nó, biến mỗi điểm \[M\] khác \[O\] thành điểm \[M\] sao cho \[OM=OM\] và góc lượng giác \[[OM;OM]\] bằng \[\alpha\] được gọi là phép quay tâm \[O\] góc \[\alpha\].
Lời giải chi tiết
Gọi \[d_1\]là ảnh của \[d\] qua phép vị tự tâm \[O\]tỉ số \[k=\dfrac{1}{2}\]thì phương trình của \[d_1\]là \[x=\sqrt{2}\]. Giả sử \[d\]là ảnh của \[d_1\] qua phép quay tâm \[O\] góc \[{45}^o\]. Lấy \[M[\sqrt{2};0]\]thuộc \[d_1\]thì ảnh của nó qua phép quay tâm \[O\]góc \[{45}^o\]là \[M[1;1]\] thuộc \[d\]. Vì \[OM \bot {d_1},OM' \bot d'\].
Do đó \[d\] là đường thẳng đi qua \[M\]và vuông góc với \[OM\]. Khi đó \[d'\] có phương trình \[x+y-2=0\].