Đề bài
Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\] có đáy là hình chữ nhật, hình chiếu của \[A'\] lên đáy \[\left[ {ABCD} \right]\] trùng với trung điểm của cạnh \[AD\]. Biết rằng \[AB = a,AD = 2a\] và thể tích hình hộp đã cho bằng \[2{a^3}\]. Khoảng cách từ \[B\] đến mặt phẳng \[\left[ {A'DCB'} \right]\] bằng:
A. \[\dfrac{{\sqrt 2 }}{6}a\] B. \[\dfrac{{\sqrt 2 }}{3}a\]
C. \[\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a\] D. \[a\sqrt 2 \]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Gọi \[H\] là trung điểm của \[AD\], \[E\] là hình chiếu của \[H\] trên \[A'D\].
- Nhận xét: \[d\left[ {B,\left[ {A'B'CD} \right]} \right] = d\left[ {A,\left[ {A'B'CD} \right]} \right]\]\[ = 2d\left[ {H,\left[ {A'B'C'D'} \right]} \right]\] và tính toán.
Lời giải chi tiết
Gọi \[H\] là hình chiếu của \[A'\] trên \[AD\], \[H\] là trung điểm của \[AD\], \[E\] là hình chiếu của \[H\] trên \[A'D\].
Ta có: \[{S_{ABCD}} = AB.AD = 2{a^2}\] \[ \Rightarrow A'H = \dfrac{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{2{a^3}}}{{2{a^2}}} = a\].
Dễ thấy \[AB//\left[ {A'B'CD} \right]\] \[ \Rightarrow d\left[ {B,\left[ {A'B'CD} \right]} \right] = d\left[ {A,\left[ {A'B'CD} \right]} \right]\] \[ = 2d\left[ {H,\left[ {A'B'CD} \right]} \right]\].
Lại có \[CD \bot \left[ {ADD'A'} \right] \Rightarrow CD \bot HE\]. Mà \[HE \bot A'D\] nên \[HE \bot \left[ {A'DCB'} \right]\].
Do đó \[d\left[ {H,\left[ {A'B'CD} \right]} \right] = HE\].
Mà \[HD = \dfrac{1}{2}AD = a,HA' = a\] nên \[\dfrac{1}{{H{E^2}}} = \dfrac{1}{{H{D^2}}} + \dfrac{1}{{A'{H^2}}}\]
\[ \Rightarrow HE = \dfrac{{HA'.HD}}{{\sqrt {A'{H^2} + H{D^2}} }}\]\[ = \dfrac{{a.a}}{{\sqrt {{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\] .
Vậy \[d\left[ {B,\left[ {A'B'CD} \right]} \right] = 2HE = a\sqrt 2 \].
Chọn D.