Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A\], các đường phân giác \[BD, CE\] [\[D AC, E AB\]]. Chứng minh rằng \[BEDC\] là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Hai tam giác bằng nhau có các cạnh tương ứng bằng nhau.
- Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau và hai góc ở đáy bằng nhau.
- Hai đường thẳng song song khi có cặp góc đồng vị bằng nhau.
- Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
- Hình thang cân là hình thang có hai góc kề với một đáy bằng nhau.
Lời giải chi tiết
\[\Delta ABC\] cân tại \[A\] [giả thiết]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB = AC\\
\widehat {ABC} = \widehat {ACB}
\end{array} \right.\] [tính chất tam giác cân]
Vì \[BD, CE\] lần lượt là phân giác của\[\widehat {ABC}\] và\[\widehat {ACB}\][giả thiết]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2}\\
\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = \dfrac{{\widehat {ACB}}}{2}
\end{array} \right.\] [tính chất tia phân giác]
Mà \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\] [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\]
Xét \[ABD\] và \[ACE\] có:
+] \[AB = AC\][chứng minh trên]
+] \[\widehat{A}\]chung
+] \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\][chứng minh trên]
\[ \Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACE{\rm{ }}\left[ {g.c.g} \right] \]
\[\Rightarrow A{\rm{D}} = A{\rm{E}}\] [\[2\] cạnh tương ứng].
Ta có \[AD = AE\][chứng minh trên] nên \[ADE\] cân tại \[A\] [dấu hiệu nhận biết tam giác cân]
\[ \Rightarrow \widehat {A{\rm{ED}}} = \widehat {AD{\rm{E}}}\][tính chất tam giác cân]
Xét \[ADE\] có: \[\widehat {A{\rm{ED}}} +\widehat {AD{\rm{E}}} + \widehat A = {180^0}\] [định lý tổng ba góc trong tam giác]
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow 2\widehat{A{\rm{ED}}} + \widehat A = {180^0}\\
\Rightarrow \widehat{A{\rm{ED}}} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\left[ 1 \right]
\end{array}\]
Xét \[ABC\] có: \[\widehat A +\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {180^0}\][định lý tổng ba góc trong tam giác]
Mà \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\] [chứng minh trên]
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow \widehat {2ABC} + \widehat A = {180^0}\\
\Rightarrow \widehat {ABC}= \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\left[ 2 \right]
\end{array}\]
Từ [1] và [2] \[\Rightarrow \widehat{A{\rm{ED}}}\] =\[\widehat{ABC}\], mà hai góc này là hai góc đồng vị nên suy ra \[DE // BC\] [dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song]
Do đó \[BEDC\] là hình thang [dấu hiệu nhận biết hình thang].
Lại có\[\widehat{ABC}\] =\[\widehat{ACB}\][chứng minh trên]
Nên \[BEDC\] là hình thang cân[dấu hiệu nhận biết hình thang cân]
Ta có:
\[DE//BC \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{B_2}}\][so le trong]
Lại có\[\widehat{B_{2}}\] =\[\widehat{B_{1}}\][chứng minh trên]nên\[\widehat{B_{1}}\] =\[\widehat{{D_{1}}}\]
\[ \Rightarrow \Delta EB{\rm{D}}\] cân tại \[E\] [dấu hiệu nhận biết tam giác cân]
\[ \Rightarrow EB = E{\rm{D}}\] [tính chất tam giác cân].
Vậy \[BEDC\] là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.