Đề bài
Chứng minh rằng nếu tam giác \[A'B'C'\] đồng dạng với tam giác \[ABC\] theo tỉ số \[k\], thì tỉ số của hai đường trung tuyến tương ứng với hai tam giác đó cũng bằng \[k\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng:
- Định lí:Nếu hai cạnh tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp đó bằng nhau, thì hai tam giác đồng dạng.
- Tính chất hai tam giác đồng dạng.
- Tính chất trung tuyến.
Lời giải chi tiết
Từ giả thiết \[\Delta A'B'C' \backsim \Delta ABC\] theo tỉ số k [h.30] nên ta có:
\[\widehat {A'} = \widehat A;\widehat {B'} = \widehat B;\widehat {C'} = \widehat C;\] \[\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{A'C'}}{{AC}} = \dfrac{{B'C'}}{{BC}} = k\]
Xét hai tam giác \[\Delta A'B'M'\] và \[\Delta ABM\]:
\[\dfrac{{B'C'}}{{BC}} = k\] nên \[\dfrac{{\dfrac{1}{2}B'C'}}{{\dfrac{1}{2}BC}} = k\] hay \[\dfrac{{B'M'}}{{BM}} = k\] [1]
Mặt khác \[\widehat {B'} = \widehat B\] và \[\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = k\] [2] [theo giả thiết]
Từ [1] và [2] suy ra \[\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{B'M'}}{{BM}}\]
Theo định lý về trường hợp đồng dạng thứ hai, ta suy ra:
\[\Delta A'B'M' \backsim \Delta ABM\] \[ \Rightarrow \dfrac{{A'M'}}{{AM}} = \dfrac{{A'B'}}{{AB}} = k\] [đpcm]
Vậy: nếu hai tam giác đồng dạng với nhau theo tỉ số \[k\] thì tỉ số hai trung tuyến tương ứng cũng bằng \[k\].