Đề bài
Cho một hình nón với thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh \[2a\] có diện tích xung quanh là \[{S_1}\] và một mặt cầu có đường kính bằng chiều cao hình nón có diện tích \[{S_2}\]. Khi đó hệ thức giữa \[{S_1}\] và \[{S_2}\] là:
A. \[{S_1} = {S_2}\] B. \[{S_1} = 4{S_2}\]
C. \[{S_2} = 2{S_1}\] D. \[2{S_2} = 3{S_1}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựng hình, tính các diện tích xung quanh của hình nón và diện tích mặt cầu rồi so sánh.
Chú ý: \[{S_{xq}} = \pi rl\], \[{S_{mc}} = 4\pi {r^2}\].
Lời giải chi tiết
Bán kính đáy hình nón là \[a\], chiều cao là \[a\sqrt 3 \], đường sinh là \[2a\].
Diện tích xung quanh \[{S_1} = \pi rl = \pi .a.2a = 2\pi {a^2}\].
Mặt cầu có bán kính \[\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\] nên \[{S_2} = 4\pi .{\left[ {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right]^2} = 3\pi {a^2}\].
Do đó \[\dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \dfrac{{2\pi {a^2}}}{{3\pi {a^2}}} \Rightarrow 3{S_1} = 2{S_2}\].
Chọn D.