Đề bài
Tam giác \[ABC\] có các đường cao \[BD, CE\] cắt nhau tại \[H\]. Đường vuông góc với \[AB\] tại \[B\] và đường vuông góc với \[AC\] tại \[C\] cắt nhau ở \[K\]. Tam giác \[ABC\] phải có điều kiện gì thì tứ giác \[BHCK\] là:
a] Hình thoi?
b] Hình chữ nhật?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng: Dấu hiệu nhận biết hình bình hành, hình thoi.
Lời giải chi tiết
Ta có: \[CE AB\] [gt]
\[KB AB\] [gt]
Suy ra \[BK // CH\] [1]
Tương tự \[BH // KC\] [2] [cùng vuông với AC]
Từ [1] và [2] ta được:
Tứ giác \[BHCK\] là hình bình hành [dấu hiệu nhận biết hình bình hành]
Gọi \[M\] là giao điểm của hai đường chéo \[BC\] và \[HK\].
a] \[BHCK\] là hình thoi khi và chỉ khi \[HM BC\] [dấu hiệu nhận biết hình thoi]
Vì \[HA BC\] nên \[HM BC A, H, M\] thẳng hàng.
Tam giác \[ABC\] có đường cao \[AH\] đồng thời là đường trung tuyến nêntam giác \[ABC\] cân tại \[A.\]
b] \[BHCK\] là hình chữ nhật \[ BK BH.\]
Ta lại có \[BK AB\] [gt] nên \[ H, B, A \] thẳng hàng.
Mà \[BH \bot AC\] nên \[AB \bot AC.\] Vậy tam giác \[ABC\] là tam giác vuông ở \[A.\]