Đề bài
Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:
a] \[\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overline {BC} \]
b] \[\overrightarrow {AB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} \]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xen điểm thích hợp chứng minh đẳng thức véc tơ.
Lời giải chi tiết
a] Ta có: \[\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} \]
\[\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} \]
Do đó: \[\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \] vì \[\overrightarrow {DC} = - \overrightarrow {CD} \]
b] Vì \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} \] và \[\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} \] nên \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} \]
Do đó: \[2\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CD} + 2\overrightarrow {DB} \]
Vậy \[\overrightarrow {AB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} \]