Đề bài - bài 4.41 trang 172 sbt đại số và giải tích 11

Đề bài

Chứng minh phương trình

\({x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n} = 0\) luôn có nghiệm vớinlà số tự nhiên lẻ.

Lời giải chi tiết

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n}\)xác định trên R

- Ta có

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n}} \right) \cr
& {\rm{ = }}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^n}\left( {1 + {{{a_1}} \over x} + {{{a_2}} \over {{x^2}}} + ... + {{{a_{n - 1}}} \over {{x^{n - 1}}}} + {{{a_n}} \over {{x^n}}}} \right) = + \infty \cr} \)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \)nên với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì mà \({x_n} \to + \infty \)ta luôn có \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = + \infty \)

Do đó, \(f\left( {{x_n}} \right)\)có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là 1 thì \(f\left( {{x_n}} \right) > 1\) kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nói cách khác, luôn tồn tại sốasao cho \(f\left( a \right) > 1\) (1)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n}} \right) \cr
& {\rm{ = }}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^n}\left( {1 + {{{a_1}} \over x} + {{{a_2}} \over {{x^2}}} + ... + {{{a_{n - 1}}} \over {{x^{n - 1}}}} + {{{a_n}} \over {{x^n}}}} \right) = - \infty \cr} \) (donlẻ).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty\)nên với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\)bất kì mà \({x_n} \to - \infty \) ta luôn có \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = - \infty \)hay \(\lim \left[ { - f\left( {{x_n}} \right)} \right] = + \infty \)

Do đó, \(- f\left( {{x_n}} \right)\)có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là 1 thì \(- f\left( {{x_n}} \right) > 1\) kể từ số hạng nào đó trở đi. Nói cách khác, luôn tồn tạibsao cho \(- f\left( b \right) > 1\)hay \(f\left( b \right) < - 1\) (2)

- Từ (1) và (2) suy ra \(f\left( a \right)f\left( b \right) < 0\)

Mặt khác, \(f\left( x \right)\) hàm đa thứcliên tục trên R nên liên tục trên [a; b]

Do đó, phương trình \(f\left( x \right) = 0\)luôn có nghiệm.