Đề bài
Cho ngũ giác đều \[ABCDE.\] Gọi \[I\] là giao điểm của \[AD\] và \[BE.\] Chứng minh \[D{I^2} = AI.AD\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
+] Số đo góc ở tâm chắn mỗi cạnh của đa giác đều \[n\] cạnh bằng \[\dfrac{360^\circ}{n}.\]
+] Nếu \[C\] là một điểm trên cung \[AB\] thì: \[sđ\overparen{AB}=sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{CB}.\]
+] Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
Lời giải chi tiết
Vẽ đường tròn ngoại tiếp ngũ giác đều \[ABCDE\]
\[sđ \overparen{AB} = sđ \overparen{BC} = sđ \overparen{CD}\]\[= sđ \overparen{DE} = sđ \overparen{AE}=\dfrac{360^\circ}{5}= 72^\circ\]\[\;\; [1]\]
\[\widehat {{E_1}} = \displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{AB}\] [tính chất góc nội tiếp] \[ [2]\]
\[\widehat {{D_1}} = \displaystyle{1 \over 2} sđ \overparen{AE}\] [tính chất góc nội tiếp] \[ [3]\]
Từ \[[1],\] \[[2]\] và \[[3]\] suy ra: \[\widehat {{E_1}} = \widehat {{D_1}}\]
Xét \[AIE\] và \[AED:\]
+] \[\widehat {{E_1}} = \widehat {{D_1}}\] [chứng minh trên]
+] \[\widehat A\] chung
Suy ra: \[AIE\] đồng dạng \[AED [g.g]\]
Do đó: \[\displaystyle{{AI} \over {AE}} = \displaystyle{{AE} \over {AD}}\]
\[ \Rightarrow \] \[AE^2= AI. AD \]\[\;\; [*]\]
Lại có: \[\widehat {{E_2}} =\displaystyle {1 \over 2}sđ \overparen{BCD}\] [tính chất góc nội tiếp] hay \[\widehat {{E_2}} = \displaystyle{1 \over 2} [sđ \overparen{BC} + sđ \overparen{CD}\]] \[\;\; [4]\]
\[\widehat {{I_1}} = \displaystyle{1 \over 2} [sđ \overparen{DE} + sđ \overparen{AB}\]] [tính chất góc có đỉnh ở trong đường tròn] \[ [5]\]
Từ \[[1],\] \[[4]\] và \[[5]\] suy ra: \[\widehat {{E_2}} = \widehat {{I_1}}\]
\[ \Rightarrow \] \[DEI\] cân tại \[D\] \[ \Rightarrow DE = DI\]
\[ DE = AE\;\; [gt]\]
Suy ra:\[DI = AE \;\; [**]\]
Từ \[[*]\] và \[[**]\] suy ra:\[ DI^2= AI. AD\]