Đề bài
a] Chứng minh rằng: Nếu tam giác \[ABC\] có đường trung tuyến \[AM\] bằng nửa cạnh \[BC\] thì tam giác đó vuông tại \[A.\]
b] Ứng dụng: Một tờ giấy bị rách ở mép [h.110]. Hãy dùng thước và compa vẽ đường vuông góc với \[AB\] tại \[A.\]
Hướng dẫn: Vẽ điểm \[C\] sao cho \[CA = CB,\] rồi vẽ điểm \[E\] thuộc tia đối của tia \[CB\] sao cho \[CE = CB.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+] Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau
+] Tổng ba góc trong tam giác bằng \[180^\circ \]
Lời giải chi tiết
a]
Xét tam giác \[AMB\] cân tại \[M\] [vì \[MA = MB = \dfrac{{BC}}{2}\] ] nên \[\widehat {MBA} = \widehat {MAB}\] [tính chất]
Xét tam giác \[AMC\] cân tại \[M\] [vì \[MA = MC = \dfrac{{BC}}{2}\] ] nên \[\widehat {MCA} = \widehat {MAC}\] [tính chất]
Suy ra \[\widehat {MBA} + \widehat {MCA} = \widehat {MAB} + \widehat {MAC}\]\[ = \widehat {BAC}\] hay \[\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = \widehat {BAC}\] [1]
Xét tam giác \[ABC\] có \[\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} \]\[= 180^\circ \] [2] [định lý tổng ba góc trong tam giác]
Từ [1] và [2] suy ra \[\widehat {BAC} = \dfrac{{\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB}}}{2} \]\[= \dfrac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \]
Hay tam giác \[ABC\] vuông tại \[A.\]
b]
Cách vẽ:
+] Vẽ điểm \[E\] sao cho \[EA = EB\]
+] Vẽ đường tròn tâm \[E\] bán kính \[EB\], sau đó kẻ đường kính \[BC.\]
+] Nối \[AC\] ta có \[AC \bot AB\] tại \[A.\]
Chứng minh:
Theo cách vẽ ta có \[EB = EA = EC = \dfrac{{BC}}{2}\] hay tam giác \[ABC\] có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền nên theo câu a] ta có \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] hay \[AC \bot AB\] tại \[A.\]