Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] vuông ở \[A\] và đường cao \[AH.\] Vẽ đường tròn tâm \[O\] đường kính \[AB.\] Biết \[BH = 2cm\] và \[HC = 6cm.\] Tính:
\[a]\] Diện tích hình tròn \[[O].\]
\[b]\] Tổng diện tích hai hình viên phân \[AmH\] và \[BnH\] [ứng với các cung nhỏ].
\[c]\] Diện tích hình quạt tròn \[AOH\] [ứng với cung nhỏ \[AH\]].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Trong tam giác vuông, bình phương một cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
+] Diện tích \[S\] của một hình tròn bán kính \[R\] được tính theo công thức: \[S=\pi.R^2\]
+] Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
Lời giải chi tiết
\[a]\] \[ABC\] có \[\widehat A = {90^0}\]
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\[A{B^2} = BH.BC \]\[\Rightarrow A{B^2} = 2.\left[ {2 + 6} \right] = 16\]
Suy ra \[AB = 4\, [cm]\]
Diện tích hình tròn tâm \[O\] là:
\[S = \displaystyle \pi {\left[ {{{AB} \over 2}} \right]^2} \]\[= \displaystyle\pi {\left[ {{4 \over 2}} \right]^2} = 4\pi \] \[ [cm^2]\]
\[b]\] Trong tam giác vuông \[ABC\] ta có:
\[A{H^2} = HB.HC = 2.6 = 12\]
Suy ra \[AH = 2\sqrt 3 \] \[[cm]\]
\[S_{\Delta AHB}= \displaystyle{1 \over 2}AH.BH \]\[= \displaystyle{1 \over 2}.2.2\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \]\[ [cm^2]\]
Tổng diện tích hai hình viên phân \[AmH\] và \[BnH\] bằng diện tích nửa hình tròn tâm \[O\] trừ diện tích \[AHB\] nên tổng diện tích hai hình viên phân là:
\[S = 2\pi - 2\sqrt 3 = 2\left[ {\pi - \sqrt 3 } \right]\]\[ [cm^2]\]
\[c]\] \[BOH\] có \[OB = OH = BH = 2 cm\]
\[ \Rightarrow \Delta BOH\] đều
\[ \Rightarrow \widehat B = {60^0}\]
\[\widehat B = \displaystyle{1 \over 2} sđ \overparen{AmH}\] [tính chất góc nội tiếp]
\[ \Rightarrow sđ \overparen{AmH}\] \[ = 2\widehat B = {120^0}\]
\[S_{qAOH}=\displaystyle{{\pi {{.2}^2}.120} \over {360}} = \displaystyle{{4\pi } \over 3}\]\[ [cm^2]\]