Đề bài
Tìm số nguyên x để phân số sau có giá trị là số nguyên:
\[\eqalign{ & a]\,\,A = {{x + 1} \over {x - 2}} \cr & b]\,\,B = {{10x - 9} \over {2x - 3}} \cr} \]
Lời giải chi tiết
\[a]A = {{x + 1} \over {x - 2}}\] . Điều kiện: \[x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2,x \in Z\]
\[A = {{x + 1} \over {x - 2}} = {{x - 2 + 3} \over {x - 2}} = {{x - 2} \over {x - 2}} + {3 \over {x - 2}} = 1 + {3 \over {x - 2}}\]
Để \[{{x + 1} \over {x - 2}}\] là số nguyên thì \[{3 \over {x - 2}}\] là số nguyên. Do đó: \[x - 2 \in UCLN[3] = \left\{ { - 1;1; - 3;3} \right\}\]
\[x \in \left\{ {1;3; - 1;5} \right\}.\] Vậy \[x \in \left\{ { - 1;1;3;5} \right\}\]
\[b]B = {{10x - 9} \over {2x - 3}}.\] Điều kiện: \[2x - 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne {3 \over 2},x \in Z\]
\[B = {{10x - 9} \over {2x - 3}} = {{5[2x - 3] + 15 - 9} \over {2x - 3}} = {{5[2x - 3]} \over {2x - 3}} + {6 \over {2x - 3}} = 5 + {6 \over {2x - 3}}\]
Để \[{{10x - 9} \over {2x - 3}}\] là số nguyên thì \[{6 \over {2x - 3}}\] là số nguyên
Do đó: \[\eqalign{ & 2x - 3 \in UCLN[6] = \left\{ { - 1; - 2; - 3; - 6;1;2;3;6} \right\} \cr & 2x \in \left\{ {2;1;0; - 3;4;5;6;9} \right\} \cr & x \in \left\{ {1;{1 \over 2};0; - {3 \over 2};2;{5 \over 2};3;{9 \over 2}} \right\} \cr} \]
Vì \[x \in Z\] nên \[x \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}.\] Vậy \[x \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\]