Đề bài
Ở hình 70, cho biết ABCD là một hình vuông. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt trên AB, BC, CD, DA sao cho \[MB = NC = PD = QA.\] Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[AB = BC = CD = AD\] [ABCD là hình vuông]
\[\eqalign{ & MB = NC = DP = AQ\,\,\left[ {gt} \right] \cr & \Rightarrow AM = BN = CP = DQ \cr} \]
Xét \[\Delta MBN\] và \[\Delta NPC\] có:
\[MB = NC\,\,\left[ {gt} \right]\]
\[BN = PC\,\,\left[ {cmt} \right]\]
\[\widehat {MBN} = \widehat {NCP}\,\,\left[ { = {{90}^0}} \right]\]
\[ \Rightarrow \Delta MBN = \Delta NCP\,\,\left[ {c.g.c} \right] \Rightarrow MN = NP\] và \[\widehat {MNB} = \widehat {NPC}\]
Chứng minh tương tự ta có: \[\Delta QAM = \Delta PDQ;\,\,\Delta MBN = \Delta QAM\]
\[ \Rightarrow QM = PQ,\,\,MN = QM \Rightarrow MN = NP = QM = PQ\].
Do đó tứ giác MNPQ là hình thoi.
Mặt khác \[\widehat {MNB} + \widehat {CNP} = \widehat {NPC} + \widehat {CNP} = {90^0} \Rightarrow \widehat {MNP} = {90^0}\]
Hình thoi MNPQ có \[\widehat {MNP} = {90^0}\] nên là hình vuông.