Đề bài
Cho hình thoi ABCD có \[\widehat A = {60^ \circ }\]. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng EBFGDH là lục giác đều.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Lúc giác đều có 6 cạnh bằng nhau và 6 góc bằng nhau.
Lời giải chi tiết
\[\Delta ABD\] cân [AB = AD] có \[\widehat A = {60^ \circ }\] [gt] nên \[\Delta ABD\] đều
\[ \Rightarrow AB = BC = CD = AD = BD\] và EH, FG lần lượt là các đường trung bình của \[\Delta ABD\] và \[\Delta CBD.\]
Ta có: \[EH = FG = \dfrac{1 }{2}BD\]
Lại có E, F, G, H là các trung điểm của AB, BC, CD, DE nên EB = BF = FG = GD = DH = HE [1]
Mặt khác \[\widehat {AEH} = {60^ \circ }[\Delta AEH [đều] \] \[\Rightarrow \widehat {BEH} = {120^ \circ }\] [kề bù]
Tương tự ta chứng minh được \[\widehat {BFG} = \widehat {DGF} = \widehat {DHE} = {120^ \circ }\]
Hiển nhiên \[\widehat {ABC} = \widehat {ADC} = {120^ \circ }\] [vì \[\widehat A = {60^ \circ }\]]
\[ \Rightarrow \widehat {BFG} = \widehat {DGF} = \widehat {HDE} = \widehat {EBF}\]\[\, = \widehat {HDG} = {120^ \circ }\] [2]
Từ [1] và [2] \[ \Rightarrow EBFGDH\] là lục giác đều.