Đề bài
Cho hàm số : \[y = f\left[ x \right] = \left[ {1 - \sqrt 3 } \right]x\]
a. Tính : \[f\left[ {1 + \sqrt 3 } \right];f\left[ {1 - \sqrt 3 } \right];f\left[ { - \sqrt 3 } \right]\]
b. Chứng minh rằng hàm số nghịch biến trên \[\mathbb R\].
c. So sánh : \[f\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]\,và \,f\left[ {2 + \sqrt 3 } \right]\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a.Để tính giá trị \[{y_0}\]của hàm số \[y = f\left[ x \right]\] tại điểm \[{x_0}\] ta thay \[x = {x_0}\] vào \[f\left[ x \right]\], ta được \[{y_0} = f\left[ {{x_0}} \right]\].
b. Giả sử \[{x_1} < {x_2}\] và \[{x_1},{x_2} \in \mathbb R\].
Xét hiệu \[H = f\left[ {{x_1}} \right] - f\left[ {{x_2}} \right]\].
+ Nếu \[H < 0\] thì hàm số đồng biến trên \[\mathbb R\]
+ Nếu \[H > 0\] thì hàm số nghịch biến trên \[\mathbb R\]
c. Dựa vào tính chất hàm số nghịch biến.
Lời giải chi tiết
a. Ta có:
\[\eqalign{ & f\left[ {1 + \sqrt 3 } \right] = \left[ {1 - \sqrt 3 } \right]\left[ {1 + \sqrt 3 } \right] \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= 1 - 3 = - 2; \cr & f\left[ {1 - \sqrt 3 } \right] = {\left[ {1 - \sqrt 3 } \right]^2} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= 1 - 2\sqrt 3 + 3 \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= 4 - 2\sqrt 3 \cr & f\left[ { - \sqrt 3 } \right] = \left[ {1 - \sqrt 3 } \right]\left[ { - \sqrt 3 } \right] \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,= - \sqrt 3 + 3 \cr} \]
b. Với \[{x_1},\,{x_2}\]bất kì thuộc \[\mathbb R\] và \[{x_1} f\left[ {{x_2}} \right] \cr} \]
Vậy hàm số nghịch biến trên \[\mathbb R\].
c. Ta có: \[{x_1} = 1 + \sqrt 3 ;{x_2} = 2 + \sqrt 3 \] và \[{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left[ {{x_1}} \right] > f\left[ {{x_2}} \right]\] [do \[y=f[x]\] làhàm số nghịch biến]
Suy ra \[f\left[ {1 + \sqrt 3 } \right] > f\left[ {2 + \sqrt 3 } \right]\] [vì hàm số đã cho nghịch biến]