Đề bài - đề số 17 - đề kiểm tra học kì 1 - toán 9
\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{x - 2\sqrt x }}{{x - 4}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\;\; = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\end{array}\)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Đề bài I. TRẮC NGHIỆM (1 điểm)Trả lời câu hỏi bằng cách viết lại chữ cái trước đáp án đúng vào bài làm: Câu 1 :Nếuxthỏa mãn điều kiện \(\sqrt {3 + \sqrt x } = 2\) thì x nhận giá trị là: A.0B.4 C.5 D.1 Câu 2 :Điều kiện để hàm số bậc nhất \(y = \left( {1 - m} \right)x + m\,\,\left( {m \ne 1} \right)\)là hàm số nghịch biến là: A.\(m > 1\) B.\(m \ge 1\) C.\(m \le 1\) D.\(m < 1\) Câu 3 :Cho tam giácMNPvuông tạiM, đường caoMH. Chọn hệ thức sai: A.\(M{H^2} = HN.HP\) B.\(M{P^2} = NH.HP\) C.\(MH.NP = MN.MP\) D.\(\dfrac{1}{{M{N^2}}} + \dfrac{1}{{M{P^2}}} = \dfrac{1}{{M{H^2}}}\) Câu 4 :Cho hai đường tròn \(\left( {I;7cm} \right)\)và \(\left( {K;5cm} \right)\). Biết \(IK = 2cm\). Quan hệ giữa hai đường tròn là: A.Tiếp xúc trong B.Tiếp xúc ngoài C.Cắt nhau D.Đựng nhau II. TỰ LUẬN (9 điểm) Câu 1 (1 điểm):Thực hiện phép tính: a) \(3\sqrt {\dfrac{1}{3}} + 4\sqrt {12} - 5\sqrt {27} \) b) \(\dfrac{{3 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} - \dfrac{2}{{\sqrt 3 - 1}}\) Câu 2 (2 điểm):Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{x - 2\sqrt x }}{{x - 4}}\) và \(Q = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\,\,\left( {x \ge 0;x \ne 4} \right)\) a) Rút gọnP b) Tìmxsao cho \(P = 2\) c) Biết \(M = P:Q\). Tìm giá trị củaxđể \({M^2} < \dfrac{1}{4}\) Câu 3 (2 điểm):Cho hàm số \(y = \left( {m - 4} \right)x + 4\) có đồ thị là đường thẳng \(\left( d \right)\)\(\left( {m \ne 4} \right)\). a) Tìmmđể đồ thị hàm số đi qua \(A\left( {1;6} \right)\) b) Vẽ đồ thị hàm số vớimtìm được ở câu a. Tính góc tạo bởi đồ thị hàm số vừa vẽ với trụcOx(làm tròn đến phút). c) Tìmmđể đường thẳng \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng\(\left( {{d_1}} \right):y = \left( {m - {m^2}} \right)x + m + 2\) Câu 4 (3,5 điểm):Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểmAnằm ngoài đường tròn. TừAkẻ tiếp tuyếnAEđến đường tròn \(\left( O \right)\) (vớiElà tiếp điểm). Vẽ dâyEHvuông góc vớiAOtạiM. a) Cho biết bán kính \(R = 5cm,\,\,OM = 3cm\). Tính độ dài dâyEH. b) Chứng minhAHlà tiếp tuyến của đường tròn\(\left( O \right)\). c) Đường thẳng quaOvuông góc vớiOAcắtAHtạiB. Vẽ tiếp tuyếnBFvới đường tròn \(\left( O \right)\) (Flà tiếp điểm). Chứng minh 3 điểmE, O, Fthẳng hàng và \(BF.AE = {R^2}\). d) Trên tiaHBlấy điểmI(\(I \ne B\)), quaIvẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn \(\left( O \right)\) cắt các đường thẳngBF, AElần lượt tạiCvàD. Vẽ đường thẳngIFcắtAEtạiQ. Chứng minh \(AE = DQ\). Câu 5 (0,5 điểm):Chox,ylà các số thực dương thỏa mãn \(x + y \le 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right).\sqrt {1 + {x^2}{y^2}} \). LG trắc nghiệm Lời giải chi tiết: I. TRẮC NGHIỆM
LG bài 1 Lời giải chi tiết: a) \(3\sqrt {\dfrac{1}{3}} + 4\sqrt {12} - 5\sqrt {27} = \sqrt 3 + 8\sqrt 3 - 15\sqrt 3 = - 6\sqrt 3 \) b) \(\dfrac{{3 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} - \dfrac{2}{{\sqrt 3 - 1}} = \dfrac{{\left( {\sqrt 3 + 2} \right)\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} - \dfrac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{3 - 1}} = \sqrt 3 + 2 - \sqrt 3 - 1 = 1\) LG bài 2 Lời giải chi tiết: Cho biểu thức\(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{x - 2\sqrt x }}{{x - 4}}\) và\(Q = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\,\,\left( {x \ge 0;x \ne 4} \right)\) a) Rút gọnP \(\begin{array}{l}P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{x - 2\sqrt x }}{{x - 4}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\;\; = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\end{array}\) b) Tìmxsao cho\(P = 2\) \(P = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = 2 \) \(\Leftrightarrow \sqrt x = 2\sqrt x - 4 \) \(\Leftrightarrow \sqrt x = 4 \Leftrightarrow x = 16\) c) Biết\(M = P:Q\). Tìm giá trị củaxđể\({M^2} < \dfrac{1}{4}\) \(M = P:Q = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\) \({M^2} < \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}} \right)^2} < \dfrac{1}{4} \) \(\Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} < \dfrac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow 2\sqrt x < \sqrt x + 2 \Leftrightarrow \sqrt x < 2 \Leftrightarrow x < 4\) Kết hợp điều kiện đầu bài \( \Rightarrow 0 \le x < 4\) LG bài 3 Lời giải chi tiết: Cho hàm số\(y = \left( {m - 4} \right)x + 4\)có đồ thị là đường thẳng\(\left( d \right)\)\(\left( {m \ne 4} \right)\). a) Tìmmđể đồ thị hàm số đi qua\(A\left( {1;6} \right)\) \(A\left( {1;\;6} \right)\) thuộc đường thẳng \(\left( d \right).\) Ta thay \(x = 1;\,\,y = 6\) vào hàm số \(y = \left( {m - 4} \right)x + 4\) ta được \(6 = \left( {m - 4} \right).1 + 4 \Leftrightarrow m = 6\;\;\left( {tm} \right)\) Vậy với\(m = 6\) thì đồ thị hàm số đi qua \(A\left( {1;6} \right)\) b) Vẽ đồ thị hàm số vớimtìm được ở câu a. Tính góc tạo bởi đồ thị hàm số vừa vẽ với trụcOx(làm tròn đến phút). Với \(m = 6\) thì \(y = 2x + 4\) Ta có bảng giá trị:
Đường thẳng \(y = 2x + 4\) đi qua hai điểm \(\left( {0;4} \right)\) và \(\left( { - 2;0} \right)\) Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi đồ thị hàm số vừa vẽ với trụcOx\( \Rightarrow \tan \alpha = 2 \Rightarrow \alpha \approx {63^o}{26'}\) c) Tìmmđể đường thẳng\(\left( d \right)\)song song với đường thẳng\(\left( {{d_1}} \right):y = \left( {m - {m^2}} \right)x + m + 2\) \(\left( d \right)//\left( {{d_1}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - {m^2} = m - 4\\m + 2 \ne 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 4\\m \ne 2\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 2\end{array} \right.\\m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 2\;\;\left( {tm} \right)\) Vậy với \(m = - 2\) thỏa mãn yêu cầu đề bài. LG bài 4 Lời giải chi tiết: Cho đường tròn\(\left( {O;R} \right)\)và điểmAnằm ngoài đường tròn. TừAkẻ tiếp tuyếnAEđến đường tròn\(\left( O \right)\)(vớiElà tiếp điểm). Vẽ dâyEHvuông góc vớiAOtạiM. a) Cho biết bán kính\(R = 5cm,\,\,OM = 3cm\). Tính độ dài dâyEH. Theo đề bài ta có: \(EH \bot OA\) tạiMnênMlà trung điểm củaEHhay \(EH = 2EM\)(định lý mối liên hệ giwuax đường kính và dây cung) Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuôngOMEcó: \(EM = \sqrt {O{E^2} - O{M^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\) Vậy \(EH = 2EM = 8\,\,(cm)\) b) Chứng minhAHlà tiếp tuyến của đường tròn\(\left( O \right)\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot EH\\ME = MH\end{array} \right. \Rightarrow \)OAlà đường trung trực củaEH\( \Rightarrow AE = AH\) Xét hai tam giácOEAvà tam giácOHAcó: \(OE = OH\,\,( = R);\,\,\,AE = AH;\,\,OA\)chung \( \Rightarrow \Delta OEA = \Delta OHA\)(c.c.c) \( \Rightarrow \angle OHA = \angle OEA = {90^o}\) hay \(AH \bot OH\) VậyAHlà tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) (đpcm). c) Đường thẳng quaOvuông góc vớiOAcắtAHtạiB. Vẽ tiếp tuyếnBFvới đường tròn\(\left( O \right)\)(Flà tiếp điểm). Chứng minh 3 điểmE, O, Fthẳng hàng và\(BF.AE = {R^2}\). Có \(AH \bot OH\;\;\left( {cmt} \right)\) hayBlà giao của hai tiếp tuyếnBH; BF \( \Rightarrow \angle BOF = \angle BOH\), lại có \(\angle EOA = \angle HOA\) \( \Rightarrow \angle EOA + \angle AOB + \angle BOF = 2\left( {\angle AOH + \angle BOH} \right) = 2\angle AOB = {180^o}\) \( \Rightarrow \)E, O, Fthẳng hàng. (đpcm) Có \(\angle EOA + \angle BOF = {180^o} - \angle AOB = {90^o} \Rightarrow \angle OAE = \angle BOF\) (cùng phụ \(\angle AOE\)) Xét \(\Delta AOE\) và \(\Delta OBF\)có: \(\angle OAE = \angle BOF\); \(\angle AEO = \angle BFO = {90^o}\) \( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{OF}} = \dfrac{{OE}}{{BF}} \Rightarrow AE.BF = OE.OF = {R^2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) d) Trên tiaHBlấy điểmI(\(I \ne B\)), quaIvẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn\(\left( O \right)\)cắt các đường thẳngBF, AElần lượt tạiCvàD. Vẽ đường thẳngIFcắtAEtạiQ. Chứng minh\(AE = DQ\). Có \(BF//AQ\) (do cùng vuông góc vớiEF) \( \Rightarrow \dfrac{{BF}}{{CF}} = \dfrac{{AQ}}{{DQ}}\)(định lý Talet) (*) Dễ dàng chứng minh \(\Delta COD\) vuông tạiO. GọiKlà tiếp điểm của tiếp tuyến thứ 2 quaIvới \(\left( O \right)\) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuôngCODđường caoDKta có: \(O{K^2} = DK.CK\) MàDE, DKlà các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)cắt nhau tạiDnên \(DE = DK\) Tương tự \(CK = CF \Rightarrow O{K^2} = CF.DE \Leftrightarrow CF.DE = {R^2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\) suy ra: \(CF.DE = AE.BF \Leftrightarrow \dfrac{{BF}}{{CF}} = \dfrac{{DE}}{{AE}}\) (**) Từ (*) và (**) suy ra: \(\dfrac{{AQ}}{{DQ}} = \dfrac{{DE}}{{AE}} \Leftrightarrow \dfrac{{AQ}}{{AQ - DQ}} = \dfrac{{DE}}{{DE - AE}} \Leftrightarrow \dfrac{{AQ}}{{AD}} = \dfrac{{DE}}{{AD}} \Leftrightarrow AQ = DE\) Câu 5: Chox,ylà các số thực dương thỏa mãn\(x + y \le 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(P = \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right).\sqrt {1 + {x^2}{y^2}} \). Cóx, ylà các số thực dương \( \Rightarrow \dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y}\) là các số thực dương Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}} = \dfrac{2}{{\sqrt {xy} }}\) Vậy \(P \ge \dfrac{2}{{\sqrt {xy} }}.\sqrt {1 + {x^2}{y^2}} = 2\sqrt {\dfrac{1}{{xy}} + xy} \) Ta có: \(1 \ge x + y \ge 2\sqrt {xy} \)(dox, ylà hai số thực dương)\( \Rightarrow xy \le \dfrac{1}{4}\) \(\dfrac{1}{{xy}} + xy = \dfrac{1}{{16xy}} + xy + \dfrac{{15}}{{16}}.\dfrac{1}{{xy}} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{{16xy}}.xy} + \dfrac{{15}}{{16}}\dfrac{1}{{\dfrac{1}{4}}} = 2.\dfrac{1}{4} + \dfrac{{15}}{4} = \dfrac{{17}}{4}\) \( \Rightarrow P \ge 2\sqrt {\dfrac{{17}}{4}} = \sqrt {17} \). Dấu = xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\x + y = 1\\xy = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{2}\) Vậy giá trị nhỏ nhất củaPlà \(\sqrt {17} \) đạt được khi \(x = y = \dfrac{1}{2}.\) Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 (Đề thi học kì 1) môn Toán 9 tại Tuyensinh247.com
|