Để phương trình có 2 nghiệm pb
|
Khi các em học tới phương trình bậc 2 một ẩn, thì việc ghi nhớ cách tính biệt thức delta là điều tất nhiên có vai trò chính để giải được phương trình bậc 2, cách tính biệt thức delta này các em đã ghi nhớ nằm lòng chưa? Bài viết này sẽ trả lời cho các em câu hỏi: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào? khi đó delta thỏa điều kiện gì?. Đang xem: điều kiện để phương trình có 2 nghiệm thực I. Phương trình bậc 2 – kiến thức cơ bản cần nhớ • Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a≠0) • Công thức nghiệm tính delta (ký hiệu: Δ) Δ = b2 – 4ac + Nếu Δ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: + Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép: + Nếu Δ 2 – ac với b = 2b”. + Nếu Δ” > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: + Nếu Δ” = 0: Phương trình có nghiệm kép: + Nếu Δ” Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào? – Trả lời: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi biệt thức delta ≥ 0. (khi đó phương trình có nghiệm kép, hoặc có 2 nghiệm phân biệt). > Lưu ý: Nếu cho phương trình ax2 + bx + c = 0 và hỏi phương trình có nghiệm khi nào? thì câu trả lời đúng phải là: a=0 và b≠0 hoặc a≠0 và Δ≥ 0. • Thực tế đối với bài toán giải phương trình bậc 2 thông thường (không chứa tham số), thì chúng ta chỉ cần tính biệt thức delta là có thể tính toán được nghiệm. Tuy nhiên bài viết này đề sẽ đề cập đến dạng toán hay làm các em bối rối hơn, đó là tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có chứa tham số m có nghiệm. II. Một số bài tập tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm * Phương pháp giải: – Xác định các hệ số a, b, c của phương trình, đặc biệt là hệ số a. Phương trình ax2 + bx + c = 9 là phương trình bậc 2 chỉ khi a≠0. – Tính biệt thức delta: Δ = b2 – 4ac – Xét dấu của biệt thức để kết luận sự tồn tại nghiệm, hoặc áp dụng công thức để viết nghiệm. * Bài tập 1: Chứng minh rằng phương trình: 2×2 – (1 – 2a)x + a – 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của a. * Lời giải: – Xét phương trình: 2×2 – (1 – 2a)x + a – 1 = 0 có: a = 2; b = -(1 – 2a) = 2a – 1; c = a – 1. Δ = (2a – 1)2 – 4.2.(a – 1) = 4a2 – 12a + 9 = (2a – 3)2. – Vì Δ ≥ 0 với mọi a nên phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi a. Xem thêm: Diện Tích Xây Dựng Chung Cư Theo Tt Bxd Mới Nhất, Cách Xác Định Diện Tích Sàn Căn Hộ Chung Cư * Bài tập 2: Cho phương trình mx2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0 (*). Tìm giá trị của m để phương trình trên có nghiệm. * Lời giải: – Nếu m = 0 thì phương trình đã cho trở thành: 2x – 3 = 0 là phương trình bậc nhất một ẩn, có nghiệm x = 3/2. – Xét m ≠ 0. Khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc 2 một ẩn, khi đó, ta có: a = m; b = -2(m – 1); c = m – 3. Và Δ = <-2(m-1)>2 – 4.m.(m-3) = 4(m2 – 2m + 1) – (4m2 – 12m) = 4m2 – 8m + 4 – 4m2 + 12m = 4m + 4 – Như vậy, m = 0 thì pt (*) có nghiệm và với m ≠ 0 để phương trình (*) có nghiệm thì Δ≥0 ⇔ 4m + 4 ≥ 0 ⇔ m ≥ -1. ⇒ Kết luận: Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ -1. * Bài tập 3: Chứng minh rằng phương trình x2 – 2(m + 4)x + 2m + 6 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. * Bài tập 4: Xác định m để các phương trình sau có nghiệm: x2 – mx – 1 = 0. * Bài tập 5: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: 3×2 + (m – 2)x + 1 = 0. * Bài tập 6: Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm: x2 – 2mx – m + 1 = 0. * Bài tập 7: Với giá trị nào của m thì phương trình sau: mx2 – 4(m – 1)x + 4m + 8 = 0 có nghiệm. Xem thêm: Các Dạng Bài Tập Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Chung Của 2 Đồ Thị Hàm Số Như vậy với bài viết đã giải đáp được thắc mắc: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào? khi đó delta cần thỏa điều kiện gì? cùng các bài tập về tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm ở trên đã giúp các em dễ hiểu hơn hay chưa? Các em hãy cho góp ý và đánh giá ở dưới bài viết để chúng ta cùng trao đổi thêm nhé, chúc các em học tốt. Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được thitbohitachi.vn biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo. Bạn đang xem: Phương trình có 2 nghiệm pb
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 1. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho x1 = px2 (với p là một số thực) B1- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt . B2- Áp dụng định lý Vi - ét tìm:  B3- Kết hợp (1) và (3) giải hệ phương trình: B4- Thay x1 và x2 vào (2) ⇒ Tìm giá trị tham số. 2. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện: |x1 - x2| = k(k ∈ R) - Bình phương trình hai vế: (x1 - x2)2 = k2 ⇔ ... ⇔ (x1 + x2)2 - 4x1x2 = k2 - Áp dụng định lý Vi-ét tính x1 + x2 và x1x2 thay vào biểu thức ⇒ kết luận. 3. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kỳ: B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (∆ ≥ 0) B2: Áp dụng Vi-ét tính x1 + x2 và x1x2 (*) +/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm > α Ta có: +/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm < α Ta có: +/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm: x1 < α < x2 Ta có: (x1 - α)(x2 - α) < 0 (*). Thay biểu thức Vi-ét vào (*) để tìm m Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 - (2m - 1)x + m2 - 1 = 0 (x là ẩn số) a) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. b) Định m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình đã cho thỏa mãn (x1 - x2)2 = x1 - 3x2 Giải a) Δ = (2m - 1)2 - 4.(m2 - 1)= 4m2 - 4m + 1 - 4m2 + 4 = 5- 4m Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Δ > 0 ⇔ 5 - 4m > 0 ⇔ m < b) Phương trình có hai nghiệm ⇔ m ≤ Kết hợp với điều kiện Vậy với m = 1 hoặc m = - 1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn (x1 - x2)2 = x1 - 3x2. Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - 10mx + 9m = 0 (m là tham số) a) Giải phương trình đã cho với m = 1. b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa điều kiện x1 - 9x2 = 0. Giải a) Với m = 1 phương trình đã cho trở thành x2 - 10x + 9 = 0. Ta có: a + b + c = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là b) Δ' = (-5m)2 - 1.9m = 25m2 - 9m Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là Δ' > 0 ⇔ 25m2 - 9m > 0 Theo hệ thức Vi-ét ta có Từ (*) và giả thiết ta có hệ phương trình: Thay vào phương trình (**) ta có: Với m = 0 ta có Δ' = 25m2 - 9m = 0 không thỏa mãn điều kiện phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Với m = 1 ta có Δ' = 25m2 - 9m = 16 > 0 thỏa mãn điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Kết luận: Vậy với m = 1thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa điều kiện x1-9x2 = 0 Ví dụ 3: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + 2m - 5 = 0 (m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < 1 < x2 Giải a) Ta có: Δ = [-2(m - 1)]2 - 4.1.(2m - 5) = 4m2 - 12m + 22 = (2m)2 - 2.2m.3 + 9 + 13 = (2m-3)2 + 13 > 0 (luôn đúng với mọi m) Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Ta có: x1 < 1 < x2 ⇒ Thay (I) vào (II) ta có: (2m - 5) - (2m - 2) + 1 < 0 ⇔ 0.m - 2 < 0 (đúng với mọi m). Vậy với mọi m thì phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < 1 < x2 Câu 1: Cho phương trình x2 - (2m + 2)x + 2m = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn A. m = 0 B. m = 1 C. m = 3 D. m = 4 Giải Phương trình x2 - (2m + 2)x + 2m = 0 ⇔ x2 - 2(m + 1)x + 2m = 0 Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm x1, x2 là Vậy m = 0 là giá trị cần tìm. Đáp án đúng là A Câu 2: Cho phương trình x2 + 2x - m2 - 1 = 0 (m là tham số) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa mãn x1 = -3x2 A. m = 3 B. m = ±1 C. m = ±√2 D. m = -2 Giải Ta có: Δ' = 12 - 1.(-m2 - 1)=1 + m2 + 1 = m2 + 2 > 0 (luôn đúng với mọi m) Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Theo Vi-ét ta có: Ta có: x1 + x2 = -2 (do trên) và x1 = -3x2 nên có hệ phương trình sau: Thay (*) vào biểu thức x1.x2 = -m2 - 1 ta được: Vậy m = ±√2 là các giá trị cần tìm. Đáp án đúng là C Câu 3: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + m2 + m - 1 = 0 (m là tham số) Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện Giải Δ' = (m + 1)2 - (m2 + m - 1) = m2 + 2m + 1 - m2 - m + 1 = m + 2 Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ' > 0 ⇔ m + 2 > 0 ⇔ m > -2 Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: Do đó: Kết hợp với điều kiện m > -2 Đáp án đúng là C Câu 4: Cho phương trình Giải Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì ∆ ≥ 0 Phương trình có nghiệm khác 0 Kết hợp với điều kiện Vậy là các giá trị cần tìm. Đáp án đúng là B Câu 5: Cho phương trình Tìm m để phương trình có hai nghiệm là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3. A. m = ±2 B. m = ±√2 C. m = - 1 D. m = 0 Giải Ta có: Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m. Giả sử phương trình có hai nghiệm là x1, x2. Áp dụng Vi-et ta có: Theo đề bài x1, x2 là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 nên ta có: Vậy m = ±2 là các giá trị cần tìm. Đáp án đúng là A Câu 6: Cho phương trình x2 - 2x - 2m2 = 0 với x là ẩn số. Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức x12 = 4x22. A. m = ±2 B. m = ±1 C. m = -6 D. m = 3 Giải Ta có: Δ' = (-1)2 - (-2m2 )= 1 + 2m2 > 0 Suy ra phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2 theo hệ thức Vi-ét: Vậy m = ±2 là giá trị cần tìm. Đáp án đúng là A Câu 7: Cho phương trình x2 – 5x + m = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn |x1 - x2| = 3. A. m = 2 B. m = 4 C. m = 6 D. m = 8 Giải Ta có: ∆ = 25 – 4m Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì Theo Vi-ét, ta có: x1 + x2 = 5 (1) và x1.x2 = m (3) Mặt khác theo giả thiết ta có: |x1 - x2| = 3 (2) Giải hệ (1) và (2): Với x1 = 4, x2 = 1 thay vào (3) ta được m = 4 Với x1 = 1, x2 = 4 thay vào (3) ta được m = 4 m = 4 thỏa mãn điều kiện (*) , vậy m = 4 là giá trị cần tìm Đáp án đúng là B Câu 8: Cho phương trình bậc hai x2 + 2(m - 1)x - (m + 1)= 0 Tìm giá trị m để phương trình có một nghiệm lớn hơn và một nghiệm nhỏ hơn 1. Giải Ta có: Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m. Theo hệ thức Vi- ét ta có: Để phương trình có một nghiệm lớn hơn , một nghiệm nhỏ hơn 1 thì (x1 - 1)(x2 - 1) < 0 Đáp án đúng là C Câu 9: Cho phương trình bậc hai: x2 + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0 Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2 A. m > - 1 B. m > 2 C. m < 2 D. m < 0 Giải Ta có: Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m. Theo hệ thức Vi- ét ta có: Để phương trình có hai nghiệm đều nhỏ hơn 2 thì: Vậy đáp án đúng là D Câu 10: Cho phương trình x2 - (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn -3 < x1 < x2 < 6 A. m > 1 B. -2 < m < 2 C. -4 < m < 4 D. m < 3 Giải Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Theo hệ thức Vi-et ta có: Vì -3 < x1 < x2 < 6 nên Vậy -4 < m < 4. Đáp án đúng là C Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9. Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. chuong-4-ham-so-y-ax2-phuong-trinh-bac-hai-mot-an.jsp |
