1. Thực hiện các hoạt động sau để hiểu về khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
a] Đọc và thực hiện
Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Gọi A và B là hai điểm bất kì thuộc đường thẳng a. AH và BK là các đường vuông góc kẻ từ A và B đến đường thẳng b [Hình 3].
Đo độ dài AH và BK. Nêu nhận xét.
Trả lời:
Sau khi đo AH và BK, ta thấy hai đoạn thẳng này có độ dài bằng nhau.
b] Đọc kĩ nội dung sau
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia
c] Cho tứ giác ABKH có bốn góc vuông, AH = b và AB = a [Hình 5].
Khi đó AB // HK và AH // BK.
Suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và HK chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng HK bằng AH và bằng b.
Tương tự hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AH và BK.
Trả lời:
Vì AH // BK nên suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng AH và BK chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BK bằng AB và bằng a.
2. Thực hiện các hoạt động sau để hiểu về tính chất khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
a] Đọc và thực hiện
Cho đường thẳng b. Gọi a và a' là hai đường thẳng song song với đường thẳng b và cùng cách đường thẳng b một khoảng bằng 5cm [Hình 6]. Gọi [I] và [II] là các nửa mặt phẳng đối nhau có bờ b. Gọi M và M' là các điểm cách đường thẳng b một khoảng bằng 5cm, trong đó M thuộc nửa mặt phẳng [I], M' thuộc nửa mặt phẳng [II]. Kiểm tra xem điểm M có thuộc đường thẳng a không, điểm M' có thuộc đường thẳng a' không?
Trả lời:
Sau khi kiểm tra, ta thấy M có thuộc đường thẳng a, điểm M' có thuộc đường thẳng a'.
b] Đọc kĩ nội dung sau
- Các điểm cách đường thẳng b một khoảng h nằm trên hai đường thẳng song song với b và cách b một khoảng h.
3. Thực hiện các hoạt động sau để hiểu về các đường thẳng song song cách đều
a] Đọc nội dung sau và trả lời câu hỏi
- Các dòng kẻ được tô màu như hình 1 có phải là các đường thẳng song song cách đều không?
- Từ hoạt động khởi động, em có nhận xét gì về độ dài các đoạn thẳng được tạo ra khi các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng?
Trả lời:
- Các dòng kẻ được tô màu như hình 1 có là các đường thẳng song song cách đều.
- Từ hoạt động khởi động, em có thể nhận xét đưa ra nhận xét sau: "Các đoạn thẳng được tạo ra khi các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng có độ dài bằng nhau".
b] Đọc kĩ nội dung sau
c] Tính độ dài đoạn thẳng AE biết đoạn BC dài 7cm [Hình 9].
Trả lời:
Ta có: AH, BI, CJ, DK, EL cùng vuông góc với HL và khoảng cách giữa AH và BI, BI và CJ, CJ và DK, DK và EL lại bằng nhau nên AH, BI, CJ, DK, EL là các đoạn thẳng song song cách đều nhau.
Từ đó suy ra AB = BC = CD = DE.
Như vậy, ta có: AE = AB + BC + CD + DE = 4.BC = 4.7 = 28 [cm].
1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
a] Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia
b] Định lí: [về đường thẳng song song cách đều]
Các đường thẳng song song cách đều chắn trên một đường thẳng bất kì các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.
2. Tính chất đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước
a] Tính chất 1: Nếu các đường thẳng a song song với đường thằng d và có khoảng cách đến đường thẳng d bằng h thì mọi điểm thuộc đường thẳng a đều cách d một khoảng bằng h.
b] Tính chất 2: Các điểm có khoẳng cách không đổi h đến đường thẳng d cố định thì nằm trên hai đường thẳng song song song với d và cách d một khoảng bằng h.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G; E là trung điểm của AG, các đường thẳng song song với BC và qua E và G lần lượt cắt AB tại các điểm F và H. Chứng minh rằng AF = FH = HB.
Bài giải:
Gọi D là trung điểm của BC, ta có AG = 2DG [do G là trọng tâm của tam giác ABC]
Ta có AG = 2AE = 2EG [do E là trung điểm AG]
AE = EG = DG
Xét tam giác AHG có:
E là trung điểm AG.
EF song song HG.
F là trung điểm của AH.
AF = FH [1]
Mặt khác ta lại có các đường thẳng EF, HG, BC song song với nhau.
mà EG = GD nên EF, HG, BC là các đường thẳng song song cách đều.
nên FH = HB [2]
Từ [1] và [2] ta có AF = FH = HB.
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là một điểm thuộc cạnh BC. Gọi E, D lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Tìm vị trí của M trên BC sao cho độ dài DE là nhỏ nhất.
Bài giải:
Dễ thấy rằng tứ giác ADME có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật AM = DE.
Nên vị trí điểm M sao cho DE nhỏ nhất tức là vị trí điểm M sao cho AM nhỏ nhất.
Mà AM nhỏ nhất chỉ khi M là hình chiếu của A lên BC.
Vậy DE nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A lên BC hay AM vuông góc với BC.
Bài 1: Tìm tập hợp [quỹ tích] các điểm cách đều hai đường thẳng song song cho trước:
Bài giải:
a] Thuận: Giả sử đường thẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng là .
Giả sử là điểm cách đều hai đường thẳng và ; và là khoảng cách từ điểm đến .
Ta có: mà [không đổi].
Vậy điểm nằm trên đường thẳng cách đường thẳng một khoảng
[có thể nói nằm trên đường thẳng song song cách đều hai đường thẳng ]
b] Đảo: Ngược lại, lấy điểm bất kỳ thuộc đường thẳng d và vẽ ⊥ , ⊥ .
Tứ giác và là hình chữ nhật nên: .
Do đó P cách đều hai đường thẳng song song
Vậy tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đường thẳng song song là đường thẳng d song song và cách đều hai đường thẳng .
Xem thêm: Hình thoi
Trên đây là các kiến thức cần nhớ và các bài tập ví dụ minh họa về nội dung của bài học Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước – toán cơ bản lớp 8.
Chúc các em học tập hiệu quả!