Eigenvectors là gì

Số vector riêng độc lập với nhau và số trị riêng, tối đa bằng số chiều của ma trận đó. Không nhất thiết số trị riêng bằng số vector riêng độc lập, vì có thể nhiều vector riêng cùng chung trị riêng. Theo định nghĩa, vector riêng phải là vector khác 0, nhưng trị riêng thì có thể bằng 0, khi đó ma trận A là bất khả nghịch.

Trị riêng phức, vector riêng phức: khi bạn giải pt , ở bên trên chúng ta mới chỉ quan tâm nghiệm thực, thực tế pt vẫn có thể có nghiệm phức, do đó ma trận vẫn có trị riêng phức, vector riêng phức nếu bạn quan tâm đến không gian phức.

Chéo hoá ma trận [diagonalization matrix]:

Nếu ma trận A có dạng , trong đó ma trận D là ma trận đường chéo, P là ma trận khả nghịch, thì ta tính được .

Các bước xác định P và D:
Bước 1: tìm trị riêng của ma trận A.
Bước 2: tìm tất cả n vector riêng độc lập của ma trận A.
Bước 3: ma trận P được ghép bởi các vector riêng.
Còn ma trận D được tạo bởi các trị riêng ở đường chéo.

Sau đây là ví dụ: .
Giải tìm trị riêng:

Với , .
Với , và .
Suy ra ,
Và .

Không phải ma trận nào cũng chéo hoá được. Ở bước 2 trên, nếu bạn ko xác định đủ được n vector riêng độc lập thì nghĩa là ma trận đó ko thể chéo hoá. Nếu một ma trận có tới n trị riêng khác nhau thì chắc chắn ma trận đó chéo hoá được [nhưng điều ngược lại chưa chắc đúng].

Cho một ma trận vuông A kích thước \[n \times n\], vector cột v có kích thước \[n \times 1\] và một số vô hướng \[\lambda\]. Nếu \[Av = \lambda v\] thì \[v\] là vector riêng của A và \[\lambda\] là trị riêng của A.

2. Cách tìm trị riêng, vector riêng:

• Để tìm trị riêng và vector riêng, ta giải phương trình sau:

\[det |A-\lambda I| = 0\]  [1]

• Trong đó \[I\] là ma trận đơn vị.

3. Ví dụ:

• Cho ma trận A như sau:

\[A=\begin{bmatrix} 5 & 2 \\[0.3em] 9 & 2 \end{bmatrix}\]

• Theo [1], ta cần giải phương trình sau:

\[\begin{aligned} det|a-\lambda I| &= det \Bigg|\begin{bmatrix} 5 & 2 \\[0.3em] 9 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\[0.3em] 0 & \lambda \end{bmatrix} \Bigg| = det \Bigg| \begin{bmatrix} 5-\lambda & 2 \\[0.3em] 9 & 2-\lambda \end{bmatrix} \Bigg| \\ &= [5-\lambda][2-\lambda]-18 = \lambda^2-7\lambda-8=[\lambda-8][\lambda+1] = 0 \end{aligned}\]

• Ta có 2 trị riêng như sau: \[\lambda_1=8,\lambda_2=-1\]
  • Với \[\lambda_1=8\]:

  \[\begin{aligned} Av &= \begin{bmatrix} 5 & 2 \\[0.3em] 9 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\[0.3em] y \end{bmatrix} = 8 \begin{bmatrix} x \\[0.3em] y \end{bmatrix} \\ &\Rightarrow \begin{bmatrix} 5x+2y \\[0.3em] 9x+2y \end{bmatrix} = 8 \begin{bmatrix} x \\[0.3em] y \end{bmatrix} \end{aligned}\] [2]

  • Từ [2], ta có \[y=3x/2\]. Ta chọn \[x = 2, y= 3\]. Do đó vector riêng ứng với \[\lambda_1=8\] sẽ là:
  \[\Rightarrow v_1= \begin{bmatrix} 2 \\[0.3em] 3 \end{bmatrix}\]

Chú ý: do [2] là hệ phương trình thuần nhất nên có vô số nghiệm.

Tương tự với \[\lambda_2=-1\]:

\[\Rightarrow v_2= \begin{bmatrix} 1 \\[0.3em] -3 \end{bmatrix}\]

4. Hiện thực:

Đoạn code sau sử dụng thư viện numpy của python để tìm trị riêng và vector riêng của một ma trận: