Từ điểm A nằm ngoài đường thẳng d, vẽ đường vuông góc AH, các đường xiên AB, AC đến đường thẳng d. Điền dấu [>, AH; AC > AH.
- Nếu HB lớn hơn HC, thì AB lớn hơn AC.
hoặc có thể HB nhỏ hơn HC, thì AB không nhỏ hơn AC.
- Nếu AB lớn hơn AC, thì HB lớn hơn HC.
hoặc có thể AB nhỏ hơn AC, thì HB không nhỏ hơn HC.
Giải bài tập 3 trang 86 SGK Toán 7 Tập 2
Đề bài:
Cho tam giác DEF. Viết ra bất đẳng thức liên quan đến các cạnh của tam giác này.
Trả lời:
Xét trong tam giác DEF, chúng ta thấy các điều kiện bất đẳng thức và mối quan hệ giữa các cạnh như sau:
DE < EF
DF < EF
EF < DE
DF - EF < DE [với DF > EF]
Giải bài tập 4 trang 86 SGK Toán 7 Tập 2
Đề bài:
Ghép hai ý ở hai cột để đưa ra khẳng định chính xác:
Ghép a - d' ; b - a' ; c - b' ; d - c'.
Giải bài tập 5 trang 86 SGK Toán 7 Tập 2
Đề bài:
Nối các cặp đối tượng tương ứng để đưa ra khẳng định chính xác:
Trả lời:
Nối a - b', b - a', c - d', d - c' để có kết quả đúng.
Giải bài tập 6 trang 87 SGK Toán 7 Tập 2
Đề bài:
- Đặc điểm quan trọng của trọng tâm trong tam giác và các phương pháp xác định trọng tâm.
- Nam khẳng định: 'Có khả năng vẽ một tam giác sao cho trọng tâm nằm bên ngoài tam giác'. Nam nói đúng hay sai? Tại sao?
Trả lời:
- - Trọng tâm của tam giác có những đặc điểm quan trọng như sau:
'Trọng tâm nằm ở khoảng giữa đỉnh và điểm trung điểm của đoạn thẳng nối đỉnh đó với trung điểm của cạnh đối diện.'
- Phương pháp xác định trọng tâm:
+ Phương pháp 1: Vẽ hai đoạn thẳng trung tuyến cho hai cạnh bất kỳ và xác định điểm giao nhau của chúng.
+ Phương pháp 2: Vẽ một đoạn thẳng trung tuyến và chia đoạn đó thành ba phần bằng nhau, sau đó xác định điểm ở một phần hai giữa đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện.
- Không thể vẽ tam giác sao cho trọng tâm nằm bên ngoài vì đường trung tuyến và trung điểm của một cạnh luôn nằm bên trong tam giác, làm cho ba đường trung tuyến không thể cắt nhau ở điểm nằm bên ngoài tam giác.
Giải bài tập 7 trang 87 SGK Toán 7 Tập 2
Đề bài:
Các tam giác nào có ít nhất một đoạn trung tuyến cũng là đoạn phân giác, trực tâm, và đoạn cao?
Trả lời:
Tam giác nào có ít nhất một đoạn trung tuyến cũng là đoạn phân giác, trực tâm, và đoạn cao? Tam giác cân và tam giác vuông cân.
Giải bài tập 8 trang 87 SGK Toán 7 Tập 2
Đề bài:
Tam giác nào có ít nhất một đoạn trung tuyến đồng thời là trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm [nằm trong tam giác] cách đều ba cạnh?
Trả lời:
Tam giác có trọng tâm đồng thời là trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm [nằm trong tam giác] cách đều ba cạnh là tam giác đều.
Giải bài tập 63 trang 87 SGK Toán 7 Tập 2
Đề bài:
Cho tam giác ABC với AC < AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = AB. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = AC. Vẽ các đoạn thẳng AD,
- So sánh góc ADC và góc AEB.
- So sánh các đoạn thẳng AD và AE.
Trả lời:
Giải bài tập 64 trang 86 SGK Toán 7 Tập 2
Đề bài:
Gọi MH là đường cao của tam giác MNP. Chứng minh rằng:
[yêu cầu xét hai trường hợp: khi góc N nhọn và khi góc N tù].
Trả lời:
[Giải thích ở phần [**]: nếu tổng của hai cặp số cùng bằng nhau [bằng 9090 độ chẳng hạn] thì số nào cộng với số lớn hơn thì nhỏ hơn số kia. Tức là:
a + b = 90 độ
c + d = 90 độ
mà b > d thì suy ra a
Giải bài tập 65 trang 87 SGK Toán 7 Tập 2
Đề bài:
Có thể vẽ được bao nhiêu tam giác [khác nhau] với ba cạnh lần lượt có độ dài là 1cm, 2cm, 3cm, 4cm và 5cm?
Trả lời:
Để tạo thành một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ phải lớn hơn cạnh còn lại.
Vậy nên chỉ có các bộ tam giác sau là khả thi: [2,3,4]; [2,4,5]; [3,4,5].
[Lưu ý: Để xét nhanh chóng, áp dụng Lưu ý trang 63 SGK Toán 7 Tập 2], tức là so sánh độ dài lớn nhất với tổng hai cạnh hoặc so sánh độ dài nhỏ nhất với hiệu hai cạnh.
Ví dụ với bộ tam giác có độ dài [1, 2, 3] không thỏa mãn điều kiện bởi vì:
- Bất đẳng thức 3 > 2 + 1 là sai.
- Hoặc bất đẳng thức 3 - 2 < 1 là sai.
Giải bài tập 66 trang 87 SGK Toán 7 Tập 2
Đề bài:
Thách thức: Bốn khu dân cư được xây dựng như hình 58. Hãy xác định vị trí lý tưởng để đặt một nhà máy sao cho tổng khoảng cách từ nhà máy đến bốn điểm dân cư này là nhỏ nhất.
Trả lời:
Gọi P là một điểm bất kỳ [vị trí lựa chọn cho nhà máy] A, B, C, D lần lượt là bốn điểm dân cư.
Tổng khoảng cách từ nhà máy đến bốn khu dân cư là: PA + PB + PC + PD
Kiểm tra:
- Nếu P nằm trên đoạn AC thì:
OA + OC = AC
OB + OD > BD
\=> OA + OB + OC + OD > AC + BD
- Nếu P nằm trên đoạn BD thì:
OB + OD = BD
OA + OC > AC
\=> OA + OB + OC + OD > AC + BD
- Nếu O không nằm trên AC và BD thì:
OA + OC > AC
OB + OD > BD
\=> OA + OB + OC + OD > AC + BD
- Nếu O là giao điểm của AC và BD thì:
OA + OB + OC + OD = AC + BD
Vậy khi O là giao điểm của AC và BD thì tổng khoảng cách từ nhà máy này đến các khu dân cư là ngắn nhất.
[Lưu ý: một số sách giải và trang web cho rằng tổng khoảng cách ngắn nhất là khi O ở tâm đường tròn của 4 điểm là không chính xác, bởi vì chỉ có chắc chắn 1 đường tròn đi qua 3 điểm, còn có đi qua điểm còn lại hay không thì chưa đúng.]
Giải bài tập 67 trang 87 SGK Toán 7 Tập 2
Đề bài:
Xét tam giác MNP với trung tuyến MR và trọng tâm Q.
- Tính tỉ số diện tích của hai tam giác MNP và RPQ.
- Tính tỉ số diện tích của hai tam giác MNQ và RNQ.
- So sánh diện tích giữa tam giác RPQ và RNQ.
Dùng kết quả trên để chứng minh tam giác QMN, QNP, QPM có diện tích bằng nhau.
Gợi ý: Hai tam giác ở mỗi câu a, b, c có chung đường cao.
Trả lời:
Giải bài tập 68 trang 88 SGK Toán 7 Tập 2
Đề bài:
Cho góc xOy. Hai điểm A, B nằm trên hai cạnh Ox, Oy.
- Tìm điểm M cách đều hai cạnh góc xOy và cách đều hai điểm A, B.
- Trong trường hợp OA = OB, có bao nhiêu điểm M thỏa mãn điều kiện của câu a?
Trả lời:
- Tìm M khi độ dài OA, OB là bất kỳ.
- Vì M cách đều hai cạnh Ox, Oy của góc xOy nên M nằm trên đường phân giác Oz của góc xOy [1].
- Vì M cách đều hai điểm A, B nên M nằm trên đường trung trực của đoạn AB [2].
Từ [1] và [2] suy ra điểm M là giao điểm của đường phân giác Oz của góc xOy và đường trung trực của đoạn AB.
- Tìm M khi OA = OB
- Vì điểm M cách đều hai cạnh của góc xOy nên M nằm trên đường phân giác của góc xOy [3].
- Ta có OA = OB. Điều này dẫn đến tam giác AOB là tam giác cân tại O.
Trong tam giác cân OAB, đường phân giác Oz cũng là đường trung trực của đoạn AB [4].
Từ [3] và [4] suy ra có vô số điểm M nằm trên đường phân giác Oz của góc xOy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Giải bài tập 69 trang 88 SGK Toán 7 Tập 2
Đề bài:
Hai đường thẳng phân biệt a và b không song song. Điểm M nằm bên trong hai đường thẳng này. Qua M, vẽ đường thẳng c vuông góc với a tại P, cắt b tại Q và đường thẳng d vuông góc với b tại R, cắt a tại S. Chứng minh rằng đường thẳng qua M, vuông góc với SQ cũng đi qua giao điểm của a và b.
Trả lời:
Vì a và b không song song, giả sử chúng cắt nhau tại điểm A.
Xét tam giác AQS có:
Đoạn QP vuông góc với AS [do QP vuông góc với a]
Đoạn SR vuông góc với AQ [do SR vuông góc với b]
Kết luận: Đoạn QP và RS cắt nhau tại M. Vậy, M là trực tâm của tam giác AQS.
Đường thẳng đi qua M và vuông góc với QS tại H sẽ là đường cao thứ ba của tam giác AQS.
Vậy MH phải đi qua đỉnh A của tam giác AQS hay đường thẳng vuông góc với QS đi qua giao điểm của a và b [đpcm].
Giải bài tập 70 trang 88 SGK Toán 7 Tập 2
Đề bài:
A và B là hai điểm phân biệt, d là đoạn thẳng nối chúng. Hãy tìm điểm trung trực của AB.
- Ký hiệu PA là mặt phẳng chứa d không chứa điểm A. Gọi M là điểm giao của đường thẳng NB và d. So sánh NB với NM + MA để suy ra NA
- Ký hiệu PB là mặt phẳng chứa d không chứa điểm B. Gọi N' là điểm thuộc PB. Chứng minh N'B
- Gọi L là điểm sao cho LA < LB. Hỏi điểm L nằm ở đâu, trong PA, PB hay trên.
Trả lời câu hỏi:
- Điều này dễ nhận thấy khi quan sát:
- Mọi người có thể nhận thấy rằng điểm M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB, do đó chiều dài MA bằng MB.
Với M nằm giữa NB, chúng ta có:
NB bằng tổng của NM và MA, hay nói cách khác, NB = NM + MA [vì MB = MA]
Do đó, có thể kết luận NB = NM + MA
- Trong tam giác NMA, chúng ta thấy rằng NA nhỏ hơn NM.
Bởi vì NM + MA bằng NB, từ đó suy ra NA nhỏ hơn NB
- Khi Nối N'A cắt [d] tại P, chúng ta thấy rằng P nằm trên đường trung trực của đoạn AB, do đó: PA bằng PB
Giải thích bằng cách tính toán: N'A bằng tổng của N'P và PA, hay nói cách khác, N'A = N'P + PB
Trong tam giác N'PB, chúng ta thấy rằng N'B nhỏ hơn N'P.
Kết luận: N'B nhỏ hơn N'A
- Kết quả sau khi phân tích:
- Vì LA nhỏ hơn LB, nên điểm L không thuộc đường trung trực của AB.
- Từ câu b], chúng ta suy ra với mọi điểm N' thuộc PB, N'B nhỏ hơn N'A. Do đó, để LA nhỏ hơn LB, điểm L không thuộc.
- Từ câu a], chúng ta suy ra với mọi điểm N thuộc PA, NA nhỏ hơn NB. Do đó, để LA nhỏ hơn LB, điểm L thuộc.
Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc và tăng trải nghiệm khách hàng. Mọi ý kiến đóng góp xin vui lòng liên hệ tổng đài chăm sóc: 1900 2083 hoặc email: [email protected]