Giải bài tập Toán Hình 10 chương 3 bài 1 trang 80

Bài 1: Phương trình đường thẳng

Bài 1 [trang 80 SGK Hình học 10]

Lập phương trình tham số của đường thằng d trong mỗi trường hợp sau:

a] d đi qua điểm M[ 2; 1] và có vec tơ chỉ phương

b] d đi qua điểm M[–2; 3] và có vec tơ pháp tuyến

Lời giải

Chú ý có 1 ảnh 2 chỗ

a] Phương trình tham số của d là:

b] d có vectơ pháp tuyến là

⇒ d có 1 vectơ chỉ phương là

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là:

Tham khảo toàn bộ: Giải Toán 10

• Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 7, 8, 9, 10, 11, 12 trang 163, 164 SGK...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 162 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 157 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 154 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 151 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 146 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 140 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3 trang 136 SGK Sinh học 10 Nâng...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 133 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 129 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 126 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 10...

Page 2

• Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 7, 8, 9, 10, 11, 12 trang 163, 164 SGK...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 162 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 157 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 154 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 151 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 146 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 140 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3 trang 136 SGK Sinh học 10 Nâng...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 133 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 129 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 126 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 10...

Page 3

• Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 7, 8, 9, 10, 11, 12 trang 163, 164 SGK...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 162 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 157 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 154 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 151 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 146 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 140 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3 trang 136 SGK Sinh học 10 Nâng...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 133 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 129 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 126 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 10...

Page 4

• Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 7, 8, 9, 10, 11, 12 trang 163, 164 SGK...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 162 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 157 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 154 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 151 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 146 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 140 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3 trang 136 SGK Sinh học 10 Nâng...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 133 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 129 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 126 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 10...

Page 5

Bài 1 trang 88 sgk hình học 10

Xác đinh độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm , tọa độ các đỉnh và vẽ các elip có phương trình sau:

a] \[\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9}= 1\]

b] \[4x^2+ 9y^2= 1\]

c] \[4x^2+ 9y^2= 36\]

Giải

a] Ta có: \[a^2= 25 \Rightarrow a = 5\] độ dài trục lớn \[2a = 10\] 

               \[ b^2= 9 \Rightarrow  b = 3\] độ dài trục nhỏ \[2a = 6\] 

               \[c^2= a^2– b^2= 25 - 9 = 16  \Rightarrow c = 4\]

Vậy hai tiêu điểm là : \[F_1[-4 ; 0]\] và \[F_2[4 ; 0]\]

Tọa độ các đỉnh    \[A_1[-5; 0], A_2[5; 0],  B_1[0; -3],  B_2[0; 3]\].

b]

 \[4x^2+ 9y^2= 1\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{\frac{1}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{9}} = 1\]

  \[a^2  =\frac{1}{4}\Rightarrow a = \frac{1}{2}\]  \[\Rightarrow\] độ dài trục lớn \[2a = 1\]

  \[b^2= \frac{1}{9}\Rightarrow b = \frac{1}{3}\] \[\Rightarrow\]  độ dài trục nhỏ \[2b = \frac{2}{3}\]

   \[c^2= a^2– b^2= \frac{1}{}4- \frac{1}{9} =  \frac{5}{36}\] \[\Rightarrow c = \frac{\sqrt{5}}{6}\]

 \[F_1[-\frac{\sqrt{5}}{6} ; 0]\] và \[F_2[\frac{\sqrt{5}}{6} ; 0]\]

  \[A_1[-\frac{1}{2}; 0], A_2[\frac{1}{2}; 0]\], \[B_1[0; -\frac{1}{3} ], B_2[0; \frac{1}{3} ]\].

c] Chia \[2\] vế của phương trình cho \[36\] ta được :

\[\frac{x^{2}}{9}+ \frac{y^{2}}{4}= 1\]

Từ đây suy ra: \[2a = 6,     2b = 4,    c = \sqrt5\]

Suy ra \[F_1[-\sqrt5 ; 0]\] và \[F_2[\sqrt5 ; 0]\]

 \[A_1[-3; 0], A_2[3; 0],  B_1[0; -2],  B_2[0; 2]\].

Bài 2 trang 88 sgk hình học 10

Lập phương trình chính tắc của elip, biết:

a]  Trục lớn và trục nhỏ lần lươt  là \[8\] và \[6\]

b] Trục lớn bằng \[10\] và tiêu cự bằng \[6\]

Giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng :

\[\frac{x^{2}}{a^{2}}\] + \[\frac{y^{2}}{b^{2}}\] = 1

a] Ta có \[a > b\] : 

\[2a = 8  \Rightarrow a = 4 \Rightarrow a^2= 16\]

\[2b = 6   \Rightarrow b = 3 \Rightarrow  b^2= 9\]

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng \[\frac{x^{2}}{16}\]  + \[\frac{y^{2}}{9}\] = 1

b] Ta có: \[2a = 10 \Rightarrow a = 5  \Rightarrow  a^2= 25\]

               \[2c = 6   \Rightarrow c = 3  \Rightarrow c^2= 9\]

           \[\Rightarrow b^2=a^2-c^2 \Rightarrow b^2= 25 - 9 = 16\]

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng \[\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16}= 1\]

Bài 3 trang 88 sgk hình học 10

Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:

a] Elip đi qua các điểm \[M[0; 3]\] và \[N[ 3; \frac{-12}{5}]\]

b] Một tiêu điểm là \[F_1[ -\sqrt3; 0]\] và điểm \[M[1; \frac{\sqrt{3}}{2}]\] nằm trên elip

Giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng:    \[\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\]

a] Elip đi qua \[M[0; 3]\]

\[\frac{0^{2}}{a^{2}} + \frac{3^{2}}{b^{2}}= 1  \Rightarrow   b^2= 9\]

Elip đi qua \[N[ 3; \frac{-12}{5}]\]

\[\frac{3^{2}}{a^{2}} + \frac{\left[\frac{-12}{5}\right]^{2}}{9} = 1  \Rightarrow  a^2= 25\]

Phương trình chính tắc của elip là : \[\frac{x^{2}}{25}  + \frac{y^{2}}{9} = 1\]

b] Ta có: \[c = \sqrt3  \Rightarrow    c^2= 3\]

Elip đi qua điểm  \[M[1; \frac{\sqrt{3}}{2}]\]

\[\frac{1}{a^{2}} + \frac{\left[\frac{\sqrt{3}}{2}\right]^{2}}{b^{2}}= 1  \Rightarrow   \frac{1}{a^{2}}+ \frac{3}{4b^{2}}= 1\]  [1]

Mặt khác:  \[ c^2=a^2-b^2\]

\[\Rightarrow 3 =  a^2-b^2\Rightarrow a^2=b^2 + 3\]

Thế vào [1] ta được : \[\frac{1}{b^{2}+ 3} + \frac{3}{4b^{2}} = 1\]

\[\Rightarrow  a^2= 4b^2+ 5b^2- 9 = 0 \]

\[\Rightarrow b^2 =1\] hoặc \[ b^2= \frac{-9}{4}\][ loại]

Với \[ b^2= 1\Rightarrow  a^2= 4\]

Phương trình chính tắc của elip là : \[\frac{x^{2}}{4}  + \frac{y^{2}}{1}= 1\]

Bài 4 trang 88 sgk hình học 10

Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có các trục lớn là \[80cm\] và trục nhỏ là \[40 cm\] từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước \[80cm \times 40cm\], người ta vẽ một hình elip lên tấm ván như hình 3.19. Hỏi phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

Giải

 Ta có: \[2a  = 80 \Rightarrow a = 40\]

           \[2b = 40\Rightarrow b = 20\]

 \[ c^2= a^2– b^2= 1200 \Rightarrow  c = 20\sqrt 3\]

Phải đóng đinh tại các điểm  \[F_1, F_2\]  và cách mép ván:

\[F_2A  = OA – OF_2= 40 - 20\sqrt3\]

\[\Rightarrow  F_2A = 20[2 - \sqrt3]   ≈  5,4cm\]

Chu vi vòng dây bằng:   \[F_1F_2+ 2a  =   40\sqrt 3 + 80\]

                                    \[\Rightarrow F_1F_2+2a  =   40[2 + \sqrt 3]\]

                                         \[ F_1F_2+ 2a  ≈ 149,3cm\]

Bài 5 trang 88 sgk hình học 10

Cho hai đường tròn \[{C_1}[{F_1};{R_1}]\]  và \[{C_2}[{F_2};{R_2}]\]. \[C_1\] nằm trong \[C_2\] và \[F_1≠  F_2\]. Đường tròn \[[C]\]  thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với \[C_1\] và tiếp xúc trong với \[C_2\].Hãy chứng tỏ rằng tâm \[M\] của đường tròn \[[C]\] di động trên một elip.

Giải

Gọi \[R\] là bán kính của đường tròn \[[C]\]

\[[C]\] và \[C_1\] tiếp xúc ngoài với nhau, cho ta:

\[MF_1= R_1+ R\]  [1]

\[[C]\] và \[C_2\] tiếp xúc trong với nhau, cho ta:

\[MF_2= R_2- R\]  [2]

Từ [1] VÀ [2] ta được 

\[M{F_1} + M{F_2} = {R_1} + {R_2} = R\] không đổi

Điểm M có tổng  các khoảng cách \[M{F_1} + M{F_2} \] đến hai điểm cố định \[F_1\] và \[F_2\] bằng một độ dài không đổi \[{R_1} + {R_2}\]

Vậy tập hợp điểm \[M\] là đường elip, có các tiêu điểm \[F_1\] và \[F_2\]   và có tiêu cự

\[F_1F_2= R_1+R_2\]

Giaibaitap.me

Page 6

Câu 1 trang 93 SGK Hình học 10

Cho hình chữ nhật \[ABCD\]. Biết các đỉnh \[A[5; 1], C[0; 6]\] và phương trình \[CD: x + 2y – 12 = 0\].

Tìm phương trình các đường thẳng chứa các cạnh còn lại.

Trả lời:

 

Cạnh \[AB\] là đường thẳng đi qua \[A[ 5; 1]\] và song song với \[CD\].

Vì \[CD\] có phương trình \[x + 2y – 12 = 0\] nên phương trình của \[AB\] có dạng:

\[x + 2y + m = 0\]

\[AB\] đi qua \[A[5; 1]\] nên ta có:

\[5 + 2.1 + m = 0 ⇒ m = -7\]

Vậy phương trình của \[AB\] là: \[x + 2y – 7 = 0\]

\[AD\] là đường thẳng qua \[A\] và vuông góc với \[CD\].

Phương trình của \[CD\] là: \[x + 2y – 12 = 0\] nên phương trình của \[AD\] có dạng:

\[2x – y + n  = 0\]

\[AD\] đi qua \[A[5, 1]\]  cho ta: \[2.5  - 1 + n = 0 ⇒ n = -9\]

Phương trình của \[AD\]: \[2x  - y -  9 = 0\]

\[CB\] là đường  thẳng qua \[C\] và song song với \[AD\] nên phương trình của \[CB\] có dạng:

\[2x – y + p = 0\]

\[CB\] đi qua \[C [0; 6]\] nên:     \[ 2.0 – 6 + p = 0 ⇒ p = 6\]

Phương trình của \[CB\] là: \[2x – y = 6 = 0\]

Vậy

\[AB: x + y – 7 = 0\]

\[BC : 2x  - y  + 6 = 0\]

\[AD : 2x – y – 9 = 0\]

Câu 2 trang 93 SGK Hình học 10

Cho \[A[1; 2] B[-3; 1]\] và \[C[4; -2]\]. Tìm tập hợp điểm \[M\]  sao cho \[M{A^2} + M{B^2} = M{C^2}\]

Trả lời:

Gọi \[[x; y]\] là tọa độ của điểm \[M\].

\[\eqalign{ & \overrightarrow {MA} = [x - 1;y - 2] \cr & \overrightarrow {MB} = [x + 3;y - 1] \cr

& \overrightarrow {MC} = [x - 4;y + 2] \cr} \]

Theo giả thiết, ta có:

\[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {y{\rm{ }} - 2} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {x + {\rm{ }}3} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {y + 1} \right]^2} = {\rm{ }}{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {y{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right]^2}\]

\[\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}12x{\rm{ }}-{\rm{ }}10y{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \cr

& \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}6} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {y{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right]^2} = {\rm{ }}66 \cr} \]

Vậy quỹ tích các điểm \[M\] thỏa mãn đẳng thức \[M{A^2} + M{B^2} = M{C^2}\] là đường tròn tâm \[I [-6; 5]\] và bán kính \[R  = \sqrt{66}\].

Câu 3 trang 93 SGK Hình học 10

 Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng:

\[{\Delta _1} : 5x + 3y – 3 = 0\]

\[{\Delta _2}: 5x + 3y + 7 = 0\]

Trả lời:

Gọi \[M[x; y]\] là một điểm bất kì trong mặt phẳng, ta có:

\[\eqalign{ & d[M,{\Delta _1}] = {{|5x + 3y - 3|} \over {\sqrt {{5^2} + {3^2}} }} = {{|5x + 3y - 3|} \over {\sqrt {34} }} \cr

& d[M,{\Delta _2}] = {{|5x + 3y + 7|} \over {\sqrt {{5^2} + {3^2}} }} = {{|5x + 3y + 7|} \over {\sqrt {34} }} \cr} \]

 Điểm \[M\] cách đều hai đường thẳng \[{\Delta _1},{\Delta _2}\] nên: 

\[\eqalign{ & {{|5x + 3y - 3|} \over {\sqrt {34} }} = {{|5x + 3y + 7|} \over {\sqrt {34} }} \cr

& \Leftrightarrow |5x + 3y - 3| = |5x + 3y + 7| \cr} \]

Ta xét hai trường hợp:

[*] \[5x + 3y – 3 = - [5x + 3y + 7] ⇔ 5x + 3y + 2 = 0\]

[**] \[5x + 3y – 3 = 5x + 3y + 7\] [vô nghiệm]

Vậy tập hợp các điểm \[M\] cách đều hai đường thẳng \[{\Delta _1},{\Delta _2}\]  là đường thẳng  \[Δ: 5x + 3y + 2 = 0\]

Dễ thấy \[Δ\] song song với \[{\Delta _1},{\Delta _2}\]  và hai đường thẳng \[{\Delta _1},{\Delta _2}\]  nằm về hai phía đối với \[Δ\].

Câu 4 trang 93 SGK Hình học 10

Cho đường thẳng \[Δ: x – y + 2\] và hai điểm \[O[0; 0]; A[2; 0]\]

a] Tìm điểm đối xứng của \[O\] qua \[Δ\]

b] Tìm điểm \[M\] trên \[Δ\] sao cho độ dài đường gấp khúc \[OMA\] ngắn nhất.

Trả lời:

a] Gọi \[H\] là hình chiếu của \[O\] trên \[Δ, H\] là giao điểm của đường thẳng qua \[O\] và vuông góc với \[Δ\].

\[\overline {OH}  = [x;y]\]

\[ Δ: x – y + 2 = 0\] có vecto chỉ phương \[\overrightarrow u [1;1]\]

 \[\overrightarrow {OH}  \bot \Delta  \Rightarrow 1.x + 1.y = 0 \Leftrightarrow x + y = 0\]

Tọa độ điểm \[H\] là nghiệm của hệ phương trình:

\[\left\{ \matrix{ x + y = 0 \hfill \cr

x - y + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H[ - 1;1]\]

Gọi \[O’\] là đỉnh đối xứng của \[O\] qua \[Δ\] thì \[H\] là trung điểm của đoạn thẳng \[OO’\]

\[\eqalign{ & {x_H} = {{{x_O} + {x_{O'}}} \over 2} \Leftarrow - 1 = {{0 + {x_{O'}}} \over 2} \Rightarrow {x_{O'}} = - 2 \cr

& {y_H} = {{{y_O} + {y_{O'}}} \over 2} \Leftarrow - 1 = {{0 + {y_{O'}}} \over 2} \Rightarrow {y_{O'}} = 2 \cr} \]

Vậy \[O’[-2;2]\].

b] Nối \[O’A\] cắt \[Δ\] tại \[M\]

Ta có: \[OM = O’M\]

\[⇒ OM + MA = O’M + MA = O’A\]

 

Giả sử trên \[Δ\] có một điểm \[M’ ≠ M\], ta có ngay:

\[OM’ +M’A > O’A\]

Vậy điểm \[M\], giao điểm của \[O’A\] với \[Δ\], chính là điểm thuộc \[Δ\] mà độ dài của đường gấp khúc \[OMA\] ngắn nhất.

\[A[2; 0]; O[-2; 2]\] nên \[O’A\] có hệ phương trình: \[x + 2y – 2 = 0\]

Tọa độ của điểm \[M\] là nghiệm của hệ:

\[\left\{ \matrix{ x + 2y - 2 = 0 \hfill \cr

x - y + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow M[ - {2 \over 3},{4 \over 3}]\]

Giaibaitap.me

Page 7

Câu 5 trang 93 SGK Hình học 10

Cho ba điểm \[A[4; 3], B[2; 7], C[-3; -8]\]

a] Tìm tọa độ điểm \[G\] , trực tâm \[H\] của tam giác \[ABC\].

b] Tìm \[T\] là trực tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\]. Chứng minh \[T, G, H\] thẳng hàng.

c] Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].

Trả lời:

Ta có:

\[\eqalign{ & {x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} \Rightarrow {x_G} = {{4 + 2 - 3} \over 3} = 1 \cr

& {y_G} = {{{y_A} + {y_B} + {y_C}} \over 3} \Rightarrow {y_G} = {{3 + 7 - 8} \over 3} = {2 \over 3} \cr} \]

Vậy \[G\left[1,{2 \over 3}\right]\]

Gọi \[[x; y]\] là tọa độ của \[H\]

\[\eqalign{ & \overrightarrow {AH} = [x - 4,y - 3];\overrightarrow {BC} = [ - 5, - 15] \cr & \overrightarrow {BH} = [x - 2,y - 7];\overrightarrow {AC} = [ - 7, - 11] \cr & \overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \cr & \Leftrightarrow - 5[x - 4] - 15[y - 3] = 0 \Leftrightarrow x + y - 13 = 0 \cr & \overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \cr

& \Leftrightarrow - 7[x - 2] - 11[y - 7] = 0 \Leftrightarrow 7x + 11y - 91 = 0 \cr} \]

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:

\[\left\{ \matrix{ x + y - 13 = 0 \hfill \cr

7x + 11y - 91 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H[13;0]\]

b] Tâm \[T\] của đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] thỏa mãn điều kiện

\[TA = TB = TC ⇒ TA^2= TB^2= TC^2\], cho ta:

\[{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right]^2} +{\left[ {y-3} \right]^2} = {\rm{ }}{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right]^2} + {\left[ {y{\rm{ }}-{\rm{ }}7} \right]^2} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}7 =0\]

\[{\left[ {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right]^2} +{\left[ {y-3} \right]^2} = {\rm{ }}{\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {y +8} \right]^2} \Leftrightarrow {\rm{ }}7x{\rm{ }} + 11y +24 = 0\]

Do đó tọa độ tâm \[T\] của đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC] là nghiệm của hệ:

\[\left\{ \matrix{ x - 2y + 7 = 0 \hfill \cr

7x + 11y + 24 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow T[ - 5;1]\]

Ta có: \[\overrightarrow {TH}  = [ - 18;1];\overrightarrow {TG}  = [6;{-1 \over 3}]\]

Ta có: \[\overrightarrow {TH}  = {3}\overrightarrow {TG} \]

Vậy ba điểm \[H, G, T\] thẳng hàng.

c] Đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] có tâm \[T[-5; 1]\], bán kính \[R = AT = \sqrt{85}\]

\[{R^2} = A{T^2} = {\left[ { - 5-{\rm{ }}4} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {1-3} \right]^2} = 85\]

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] là:

\[[x + 5]^2+ [y – 1]^2= 85\]

Câu 6 trang 93 SGK Hình học 10

Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi đường thẳng \[3x – 4y + 12 = 0\] và \[12x+5y-7 = 0\]

Trả lời:

Gọi \[M[x; y]\] thuộc đường phân giác của góc tạo bởi đường thẳng trên.

Khi đó, khoảng cách từ \[M\] đến \[d_1 : 3x  - 4y + 12 = 0\] là:

 \[d[M,{d_1}] = {{|3x - 4y + 12|} \over {\sqrt {9 + 16} }} = {{|3x - 4y + 12|} \over 5}\]

Khoảng cách từ \[M\] đến \[d_2: 12x + 15y – 7 = 0\] là:

\[d[M,{d_2}] = {{|12x + 5y - 7|} \over {\sqrt {144 + 25} }} = {{|12x + 5y - 7|} \over {13}}\]

Ta có: \[M\] thuộc đường  phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng \[d_1\] và \[d_2\] nên cách đều hai đường thẳng đó.Suy ra: 

\[\eqalign{ & d[M,{d_1}] = d[M,{d_2}] \Leftrightarrow {{|3x - 4y + 12|} \over 5} = {{|12x + 5y - 7|} \over {13}} \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {{3x - 4y + 12} \over 5} = {{12x + 5y - 7} \over {12}} \hfill \cr {{3x - 4y + 12} \over 5} = - {{12x + 5y - 7} \over {13}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 21x + 77y - 191 = 0 \hfill \cr

99x - 27y + 121 = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \]

Vậy ta có phương trình của hai đường phân giác của các góc tạo bởi \[d_1\] và \[d_2\] là:

\[\Delta _1: 21x + 77y – 191 = 0\]

\[\Delta _2: 99x – 27y + 121 = 0\]

Câu 7 trang 93 SGK Hình học 10

Cho đường tròn \[[C]\] có tâm \[I[1, 2]\] và bán kính bằng \[3\]. Chứng minh rằng tập hợp các điểm \[M\] từ đó ta sẽ được hai tiếp tuyến với \[[C]\] tạo với nhau một góc \[60^0\] là một đường tròn. Hãy viết phương trình đường tròn đó.

Trả lời:

 

Theo tính chất của tiếp tuyến ta có: \[\widehat {AMI} = {30^0}\]

\[IM = {{IA} \over {\sin \widehat {AMI}}} = {3 \over {\sin {{30}^0}}} = {3 \over {{1 \over 2}}} = 6\]

Gọi tọa độ của \[M\] là \[[x ;y]\] Ta có:

\[O{M^2} = {[x - 1]^2} + {[y - 2]^2} = 36\]

Vậy quỹ tích \[M\] là đường tròn tâm \[I [1; 2]\], bán kính \[R = 6\]

Phương trình đường tròn là: \[{[x - 1]^2} + {[y - 2]^2} = 36\]

Câu 8 trang 93 SGK Hình học 10

Tìm góc giữa hai đường thẳng \[\Delta_1\] và \[\Delta_2\] trong các trường hợp sau:

a] \[\Delta_1\]: \[2x + y – 4 = 0\] ; \[\Delta_2\]: \[5x – 2y + 3 = 0\]

b] \[\Delta_1\]: \[y = -2x + 4\]  ;   \[{\Delta _2}:y = {1 \over 2}x + {3 \over 2}\]        

Trả lời:

a] Vecto pháp tuyến \[\Delta_1\] là \[\overrightarrow {{n_1}}  = [2;1]\]

Vecto pháp tuyến \[{\Delta _2}\] là \[\overrightarrow {{n_2}}  = [5; - 2]\]

\[\eqalign{ & \cos [{\Delta _1},{\Delta _2}] = {{|\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} |} \over {|\overrightarrow {{n_1}} |.|\overrightarrow {{n_2}} |}} = {{|2.5 + 1.[ - 2]|} \over {\sqrt 5 .\sqrt 9 }} = {8 \over {\sqrt {145} }} \cr

& \Rightarrow [{\Delta _1},{\Delta _2}] \approx {48^0}21'59'' \cr} \]

b] \[y  = -2x + 4 ⇔ 2x + y – 4 = 0\]

 \[y = {1 \over 2}x + {3 \over 2} \Leftrightarrow x - 2y + 3 = 0\]

Vì \[2.1 + 1.[-2] = 0 ⇔\Delta_1⊥{\Delta _2}\]

Chú ý:

_  Hệ số góc của  \[\Delta_1\] là \[k = -2\]

_ Hệ số góc của \[{\Delta _2}\] là \[k' = {1 \over 2}\]

Vì \[k.k' = 2.{1 \over 2} =  - 1 \Rightarrow {\Delta _1} \bot {\Delta _2}\]

Câu 9 trang 93 SGK Hình học 10

Cho elip \[[E] = {{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\] . Tìm tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm và vẽ elip đó.

Trả lời:

 

Phương trình chính tắc của Elip \[[E] = {{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\] có dạng là:

\[{{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\]

Ta có:

\[\eqalign{& \left\{ \matrix{{a^2} = 16 \hfill \cr {b^2} = 9 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{a = 4 \hfill \cr b = 3 \hfill \cr} \right. \cr 

& c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt 7 \cr} \]

_ Tọa độ các đỉnh \[A_1[-4;0], A_2[4; 0], B_1[0; -3]\] và \[B_2[0; 3]\]

_ Tọa độ các tiêu điểm \[F_1[-\sqrt7; 0]\] và \[F_2[\sqrt7; 0]\]

Giaibaitap.me

Page 8

• Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 7, 8, 9, 10, 11, 12 trang 163, 164 SGK...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 162 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 157 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 154 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 151 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 146 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 140 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3 trang 136 SGK Sinh học 10 Nâng...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 133 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 129 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 126 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 10...

Page 9

• Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 7, 8, 9, 10, 11, 12 trang 163, 164 SGK...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 162 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 157 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 154 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 151 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 146 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 140 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3 trang 136 SGK Sinh học 10 Nâng...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 133 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 129 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 126 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 10...

Page 10

• Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 7, 8, 9, 10, 11, 12 trang 163, 164 SGK...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 162 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 157 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 154 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 151 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 146 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 140 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3 trang 136 SGK Sinh học 10 Nâng...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 133 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 129 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 126 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 10...

Page 11

• Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 7, 8, 9, 10, 11, 12 trang 163, 164 SGK...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 162 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 157 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 154 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 151 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 146 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 140 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3 trang 136 SGK Sinh học 10 Nâng...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 133 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 129 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 126 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 10...

Page 12

• Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 7, 8, 9, 10, 11, 12 trang 163, 164 SGK...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 162 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 157 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 154 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 151 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 146 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 140 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3 trang 136 SGK Sinh học 10 Nâng...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 133 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 129 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 126 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 10...

Page 13

• Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 7, 8, 9, 10, 11, 12 trang 163, 164 SGK...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 162 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 157 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 154 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 151 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 146 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 140 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3 trang 136 SGK Sinh học 10 Nâng...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 133 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 129 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 126 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 10...

Page 14

• Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 7, 8, 9, 10, 11, 12 trang 163, 164 SGK...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 162 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 157 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 154 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 151 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 146 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 140 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3 trang 136 SGK Sinh học 10 Nâng...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 133 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 129 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 126 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 10...

Page 15

• Giải bài 11, 12, 13, 14 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 110 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 7, 8, 9, 10, 11, 12 trang 163, 164 SGK...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 162 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 157 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 154 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 151 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 146 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 140 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3 trang 136 SGK Sinh học 10 Nâng...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 133 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 129 SGK Sinh học 10...
• Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 126 SGK Sinh học...
• Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 10...

Page 16

Câu 1 trang 98 SGK Hình học 10

Cho hai vecto \[a\] và \[b\] sao cho \[|\overrightarrow a | = 3;|\overrightarrow b | = 5;[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ] = {120^0}\] . Với giá trị nào của m thì hai vecto \[\overrightarrow a  + m\overrightarrow b \] và \[\overrightarrow a  - m\overrightarrow b \] vuông góc với nhau?

Trả lời:

Để hai vecto \[\overrightarrow a  + m\overrightarrow b \] và \[\overrightarrow a  - m\overrightarrow b \] vuông góc với nhau thì:

\[\eqalign{ & [\overrightarrow a + m\overrightarrow b ][\overrightarrow a - m\overrightarrow b ] = 0 \cr & \Leftrightarrow {[\overrightarrow a ]^2} - m\overrightarrow a \overrightarrow b + m\overrightarrow a \overrightarrow b - {m^2}{[\overrightarrow b ]^2} = 0 \cr & \Leftrightarrow |\overrightarrow a {|^2} - m|\overrightarrow a ||\overrightarrow b |cos[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ] + m|\overrightarrow a ||\overrightarrow b |cos[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ] - {m^2}|\overrightarrow b | = 0 \cr & \Leftrightarrow 9 + {{15} \over 2}m - {{15} \over 2}m - 25{m^2} = 0 \cr

& \Leftrightarrow 9 - 25{m^2} = 0 \Leftrightarrow m = \pm {3 \over 5} \cr} \]

Câu 2 trang 98 SGK Hình học 10

Cho tam giác \[ABC\] có hai điểm \[M,N\]  sao cho 

\[\left\{ \matrix{ \overrightarrow {AM} = \alpha \overrightarrow {AB} \hfill \cr

\overrightarrow {AN} = \beta \overrightarrow {AC} \hfill \cr} \right.\]

a] Hãy vẽ \[M, N\] khi \[\alpha  = {2 \over 3};\beta  =  - {2 \over 3}\]

b]  Hãy tìm mối liên hệ giữa \[α, β\] để \[MN//BC\]

Trả lời:

a] Ta có:

\[\eqalign{ & \overrightarrow {AM} = {2 \over 3}\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \overrightarrow {AM} \uparrow \uparrow \overrightarrow {AB} \hfill \cr AM = {2 \over 3}AB \hfill \cr} \right. \cr & \overrightarrow {AN} = - {2 \over 3}\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \overrightarrow {AN} \uparrow \downarrow \overrightarrow {AC} \hfill \cr

AN = {2 \over 3}AC \hfill \cr} \right. \cr} \]

b] Ta có:

\[\eqalign{ & \overrightarrow {AM} = \alpha \overrightarrow {AB} \cr & \overrightarrow {AN} = \beta \overrightarrow {AC} \cr & \Rightarrow \overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AN} = \alpha \overrightarrow {AB} - \beta \overrightarrow {AC} \cr & \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \alpha \overrightarrow {AB} - \beta \overrightarrow {AC} \cr

& \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \alpha [\overrightarrow {AB} - {\beta \over \alpha }\overrightarrow {AC} ],\alpha \ne 0 \cr} \]

Ta cũng có: \[\overrightarrow {BC}  =  - [\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} ]\]

Do đó, để \[MN // BC\] thì

\[\left\{ \matrix{ \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \hfill \cr

\overrightarrow {AB} - {\beta \over \alpha }\overrightarrow {AC} \hfill \cr} \right.\]

 phải cùng phương, cho ta \[{\beta  \over \alpha } = 1 \Rightarrow \alpha  = \beta \]

Câu 3 trang 99 SGK Hình học 10

 Cho tam giác đều \[ABC\] cạnh \[a\]

a] Cho \[M\] là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\]. Tính \[MA^2+ MB^2+ MC^2\] theo \[a\]

b] Cho đường thẳng \[a\] tùy ý, tìm điểm \[N\] trên đường thẳng \[d\] sao cho \[NA^2+ NB^2 + NC^2\] nhỏ nhất

Trả lời:

 

a] Ta có:

\[\eqalign{ & \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OM} \cr & {\overrightarrow {MA} ^2} = {[\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OM} ]^2} = {\overrightarrow {OA} ^2} + {\overrightarrow {OM} ^2} - 2\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OM} \cr

& \Rightarrow {\overrightarrow {MA} ^2} = 2{R^2} - 2\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OM} [1] \cr} \]

Tương tự ta có:

\[\eqalign{ & M{B^2} = {\overrightarrow {MB} ^2} = 2{R^2} - 2\overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OM} [2] \cr

& M{C^2} = {\overrightarrow {MC} ^2} = 2{R^2} - 2\overrightarrow {OC.} \overrightarrow {OM} [3] \cr} \]

Từ [1], [2] và [3] suy ra:

 \[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 6{R^2} - 2\overrightarrow {OM} [\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} ]\]

Tam giác \[ABC\] là tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm \[O\] nên \[O\] cũng là trọng tâm của tam giác \[ABC\], cho ta \[\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow  0\]

Vậy \[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 6{R^2} \]

Vì đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh \[a\] nên ta có:

\[a = R\sqrt3   ⇒ 6R^2= 2[R\sqrt3]^2\]

Vậy  \[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}  = 2a^2\]

b] Gọi \[G\] là trọng tâm của tam giác ta có:

\[\eqalign{ & \overrightarrow {NA} = \overrightarrow {NG} + \overrightarrow {GA} \cr

& \Rightarrow {\overrightarrow {NA} ^2} = {\overrightarrow {GA} ^2} + 2\overrightarrow {NG} .\overrightarrow {GA} + {\overrightarrow {GA} ^2} \cr} \]

Tương tự ta có:

\[\eqalign{ & {\overrightarrow {NB} ^2} = {\overrightarrow {NG} ^2} + 2\overrightarrow {NG} .\overrightarrow {GB} + {\overrightarrow {GB} ^2} \cr & {\overrightarrow {NC} ^2} = {\overrightarrow {NG} ^2} + 2\overrightarrow {NG} .\overrightarrow {GC} + {\overrightarrow {GC} ^2} \cr

& \Rightarrow N{A^2} + N{B^2} + N{C^2} = 3N{G^2} + 2\overrightarrow {NG} [\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ] + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} \cr} \] 

Vì \[G\] là trọng tâm của tam giác

⇒ \[\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \]

\[\eqalign{ & {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2} = 3G{A^2} = 3.{[{2 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2}]^2} = {a^2} \cr

& \Rightarrow N{A^2} + N{B^2} + N{C^2} = {a^2} + 3N{G^2} \cr} \]

\[a^2\] là số không đổi nên tổng \[N{A^2} + N{B^2} + N{C^2}\] nhỏ nhất khi \[NG\] đạt giá trị nhỏ nhất. Vì \[NG\] là khoảng cách từ \[G\] đến điểm \[N\] thuộc đường thẳng \[d\] nên \[NG\] nhỏ nhất khi \[NG⊥d\] hay \[N\] là hình chiếu của trọng tâm \[G\] trên đường thẳng \[d\].

Câu 4 trang 99 SGK Hình học 10

Cho tam giác \[ABC\] đều có cạnh bằng \[6cm\]. Một điểm \[M\] nằm trên cạnh \[BC\] sao cho \[BM  = 2cm\]

a] Tính độ dài của đoạn thẳng \[AM\] và tính cosin của góc \[BAM\]

b] Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\]

c] Tính độ dài đường trung tuyến vẽ từ \[C\] của tam giác \[ACM\]

d] Tính diện tích tam giác \[ABM\]

Trả lời:

 

a] Ta có:

\[\eqalign{ & A{M^2} = B{A^2} + B{M^2} - 2BA.BM.\cos\widehat {ABM} \cr & \Rightarrow A{M^2} = 36 + 4 - 2.6.2.{1 \over 2} \cr

& \Rightarrow A{M^2} = 28 \Rightarrow AM = 2\sqrt 7 [cm] \cr} \]

Ta cũng có:

\[\eqalign{ & \cos \widehat {BAM }= {{A{B^2} + A{M^2} - B{M^2}} \over {2AB.AM}} \cr

& \Rightarrow \cos\widehat { BAM }= {{5\sqrt 7 } \over {14}} \cr} \]

b] Trong tam giác \[ABM\], theo định lí Sin ta có:

\[\eqalign{ & {{AM} \over {\sin \widehat {ABM}}} = 2R \Leftrightarrow R = {{AM} \over {2\sin \widehat {ABM}}} \cr

& R = {{2\sqrt 7 } \over {2\sin {{60}^0}}} = {{2\sqrt {21} } \over 3}[cm] \cr} \]

c] Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:

\[\eqalign{ & C{P^2} = {{C{A^2} + C{M^2}} \over 2} - {{A{M^2}} \over 4} \cr & \Rightarrow C{P^2} = {{36 + 16} \over 2} - {{28} \over 4} \cr

& \Rightarrow C{P^2} = 19 \Rightarrow CP = \sqrt {19} \cr}\]

d] Diện tích tam giác \[ABM\] là:

\[S = {1 \over 2}BA.BM\sin \widehat {ABM} = {1 \over 2}6.2\sin {60^0} = 3\sqrt 3 [c{m^2}]\]

Giaibaitap.me

Page 17

Câu 5 trang 99 SGK Hình học 10

Chứng minh rẳng trong mọi tam giác ABC ta đều có:

a] \[a = b \cos C + c \cos B\]

b] \[\sin A = \sin B.\sin C + \sin C.\cos B\]

c] \[h_a= 2R.\sin B\sin C\]

Trả lời:

 

a] Trong tam giác \[ABC\], theo định lí cosin ta có:

\[\left\{ \matrix{ \cos C = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}} \hfill \cr

\cos B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} \hfill \cr} \right.\] 

Ta có:

\[\eqalign{ & b\cos C + c\cos B = b[{{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}}] + c[{{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}}] \cr

& = {{2{a^2} + {b^2} - {c^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2a}} \cr} \]

Vậy \[a = b \cos C + c \cos B\]

b] Trong tam giác \[ABC\] , theo định lí sin:

\[\eqalign{ & {a \over {\sin A}} = {b \over {{\mathop{\rm sinB}\nolimits} }} = {c \over {\sin C}} = 2R \cr

& \Rightarrow \sin A = {a \over {2R}},\sin B = {b \over {2R}},\sin C = {c \over {2R}} \cr} \]

 Ta có: 

\[\eqalign{ & \sin B\cos C + \sin C\cos B \cr & = {b \over {2R}}.{{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}} + {c \over {2R}}.{{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} \cr

& = {a \over {2R}} = \sin A \cr} \]

c] Ta lại có: \[a.{h_a} = 2S \Rightarrow {h_a} = {{2S} \over a}\]

mà \[S = {{abc} \over {4R}} \Rightarrow {h_a} = {{2bc} \over {4R}} = {{bc} \over {2R}}[2]\]

Thế \[b = 2RsinB, c = 2Rsin C\] vào [2] ta được:

\[{h_a} = {{2R{\mathop{\rm sinB}\nolimits} .2RsinC} \over {2R}} \Rightarrow {h_a} = 2R\sin B\sin C\]

Câu 6 trang 99 SGK Hình học 10

Cho các điểm \[A[2; 3]; B[9; 4]; M[5; y]; P[x; 2]\]

a] Tìm \[y\] để tam giác \[AMB\] vuông tại \[M\]

b] Tìm \[x\] để ba điểm \[A, P\] và \[B \]thẳng hàng

Trả lời:

a] Ta có: 

\[\left\{ \matrix{ \overrightarrow {MA} = [ - 3;3 - y] \hfill \cr

\overrightarrow {MB} = [4;4 - y] \hfill \cr} \right.\]

Tam giác \[AMB\] vuông tại \[M\] nên \[\overrightarrow {MA}  \bot \overrightarrow {MB} \]

Suy ra: 

\[\eqalign{ & - 3.4{\rm{ }} + \left[ {3-y} \right]\left[ {4-y} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow {y^2} - 7y = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ y = 0 \hfill \cr

y = 7 \hfill \cr} \right. \cr} \]

b] Ta có: 

\[\left\{ \matrix{ \overrightarrow {AP} = [x - 2, - 1] \hfill \cr

\overrightarrow {AB} = [7,1] \hfill \cr} \right.\]

Để ba điểm \[A, P\] và \[B\] thẳng hàng thì  \[\overrightarrow {AP}  = k\overrightarrow {AB} \]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x - 2 = 7k \hfill \cr - 1 = k \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 5 \hfill \cr

k = - 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow x = - 5\]

Câu 7 trang 99 SGK Hình học 10

Cho tam giác \[ABC\] với \[H\] là trực tâm. Biết phương trình của đường thẳng \[AB, BH\] và \[AH\] lần lượt là: \[4x + y – 12 = 0, 5x – 4y – 15 = 0\] và \[2x + 2y – 9 = 0\]

Hãy viết phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba.

Trả lời:

Tọa độ đỉnh \[A\] là nghiệm của hệ: 

\[\left\{ \matrix{ 4x + y - 12 = 0 \hfill \cr

2x + 2y - 9 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow A[{5 \over 2},2]\]

Đường thẳng \[BH : 5x – 4y – 15 = 0\] có vecto chỉ phương \[\overrightarrow u  = [4,5]\]

Cạnh \[AC\] vuông góc với \[BH\] nên nhận vecto u làm một vecto pháp tuyến, \[AC\] đi qua \[A[{5 \over 2},2]\] và có vecto pháp tuyến \[\overrightarrow u  = [4,5]\] nên có phương trình là:

 \[4.[x - {5 \over 2}] + 5[y - 2] = 0 \Leftrightarrow 4x + 5y - 20 = 0\]

Tương tự, tọa độ đỉnh \[B\] là nghiệm của hệ: 

\[\left\{ \matrix{ 4x + y - 12 = 0 \hfill \cr

6x - 4y - 15 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow B[3,0]\]

\[AH: 2x + 2y – 9 = 0\] có vecto chỉ phương \[\overrightarrow v  = [ - 2,2] = 2[ - 1,1]\]

\[BC\] vuông góc với \[AH\] nên nhận vecto \[\overrightarrow {v'}  = [ - 1,1]\] làm vecto pháp tuyến, phương trình \[BC\] là:

\[ - 1[x - 3] + [y - 0] = 0 \Leftrightarrow x - y - 3 = 0\]

Tọa độ \[H\] là nghiệm của hệ phương trình:

\[\left\{ \matrix{ 5x - 4y - 15 = 0 \hfill \cr

2x + 2y - 9 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow H[{{11} \over 3},{5 \over 6}]\]

Đường cao \[CH\] đi qua \[H\] và vuông góc với \[AB\]

Hoàn toàn tương tự, ta viết được phương trình của \[CH\]:

\[CH: 3x – 12y – 1= 0\]

Câu 8 trang 99 SGK Hình học 10

Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng

\[Δ :4x + 3y – 2 = 0\] và tiếp xúc với đường thẳng

\[d_1: x + y – 4 = 0\] và \[d_2: 7x – y + 4 = 0\]

Trả lời:

Ta biết đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của một góc tù thì có tâm nằm trên đường phân giác của góc đó.

Tâm \[I\] của đường tròn cần tìm là giao điểm của \[Δ\] với các đường phân giác của các góc đo do hai đường thẳng \[d_1\] và \[d_2\] tạo thành.

Phương trình hai đường thẳng phân giác của các góc do \[d_1\] và \[d_2\] tạo thành là:

   \[{{x + y + 4} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} =  \pm {{7x - y + 4} \over {\sqrt {{7^2} + {1^2}} }}\]                                                        

Rút gọn, ta được phương trình hai phân giác:

\[p_1: x – 3y – 8 = 0\]

\[p_2: 3x + y + 8 = 0\]

Tâm \[I \] của đường tròn có tọa độ là nghiệm của hệ:

\[[I]\left\{ \matrix{ x - 3y - 8 = 0 \hfill \cr 4x + 3y - 2 = 0 \hfill \cr} \right.;[II]\left\{ \matrix{ 3x + y + 8 = 0 \hfill \cr

4x + 3y - 2 = 0 \hfill \cr} \right.\]

Hệ [I] cho ta nghiệm là \[I_1[2; -2]\]

Hệ [II] cho ta nghiệm là \[I_2[-4; 6]\]

Bán kính \[R\] là khoảng cách từ \[I\] đến một cạnh, tức là đến đường thẳng \[d_1\] [hoặc \[d_2\]] nên:

_ Với tâm \[I_1 [2; -2]\] \[ \Rightarrow {R_1} = {{|2 - 2 + 4|} \over {\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \]       

Và được đường tròn \[[C_1]: [x – 2]^2+ [y + 2]^2= 8\]

_ Với tâm \[I_2[-4; 6]\]  \[ \Rightarrow {R_2} = {{| - 4 + 6 + 4|} \over {\sqrt 2 }} = 3\sqrt 2 \]      

Và được đường tròn \[[C_2]: [x + 4]^2+ [y – 6]^2= 18\]

Câu 9 trang 99 SGK Hình học 10

Cho elip \[[E]\] có phương trình: \[{{{x^2}} \over {100}} + {{{y^2}} \over {36}} = 1\]

a] Hãy xác định tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm của elip \[[E]\] và vẽ elip đó

b] Qua  tiêu điểm của elip dựng đường thẳng song song với \[Oy\] và cắt elip tại hai điểm \[M\] và \[N\]. Tính độ dài đoạn thẳng \[MN\].

Trả lời:

 

a] Ta có: \[a^2= 100 ⇒ a = 10\]

              \[b^2= 36 ⇒ b = 6\]

              \[c^2= a^2– b^2= 64 ⇒ c = 8\]

Từ đó ta được: \[A_1[-10; 0], A_2[10; 0], B_1[0; -3], B_2[0;3], F_1[-8; 0], F_2[8; 0]\]

b] Thế \[x = 8\] vào phương  trình của elip ta được:

 \[{{64} \over {100}} + {{{y^2}} \over {36}} = 1 \Rightarrow y =  \pm {{18} \over 5}\]

Ta có: \[{F_2}M = {{18} \over 5} \Rightarrow MN = {{36} \over 5}\]

Giaibaitap.me