PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài
1. Cơ sở lý luận
Trong hoạt động giáo dục hiện nay, đòi hỏi học sinh cần phải tự học tự nghiên cứu rất cao. Tức là cái đích cần phải biến quá trình giáo dục thành quá trình tự giáo dục. Như vậy, học sinh có thể phát huy được năng lực sáng tạo, tư duy khoa học, từ đó xử lý linh hoạt được các vấn đề của đời sống xã hội.
Một trong những phương pháp để giúp học sinh đạt được điều đó đối với môn Toán đó là khích lệ các em sau mỗi đơn vị kiến thức cần khắc sâu, tìm tòi những bài toán liên quan. Làm được như vậy có nghĩa là các em rất cần sự say mê học tập, tự nghiên cứu đào sâu kiến thức.
2. Cơ sở thực tiễn
Bài toán chứng minh các đường thẳng đi qua một điểm cố định là bài toán thú vị và thường gặp trong các kỳ thi dành cho học sinh giỏi cấp THCS . Điều khó khăn với các em là dạng toán này ít xuất hiện trong sách giáo khoa, sách bài tập mà thường trong các sách tham khảo. Cùng với các bài toán quỹ tích, đây là dạng bài toán liên quan đến các yếu tố “động”, là dạng toán khá phức tạp đối với các em. Chính vì vậy mà các em thường không nắm được phương pháp giải bài toán loại này, đặc biệt là vị trí của điểm cố định nằm ở đâu. Tuy nhiên loại toán này lại góp phần quan trọng trong việc góp phần rèn luyện tư duy hàm.
II. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ phương hướng tìm điểm cố định đồng thời vận dụng phương pháp tìm điểm cố định để giải một số bài toán hay và khó. Như vậy, giáo viên có thể giúp học sinh nắm vững, khai thác sâu, đầy đủ một cách có hệ thống đơn vị kiến thức.
III. Nhiệm vụ của đề tài
+ Đưa ra các phương pháp tìm điểm cố định, gợi ý học sinh tìm điểm cố định .
+ Đưa ra các loại bài tập vận dụng phương pháp tìm điểm cố định hay và khó có bài tập minh họa.
IV. Giới hạn đề tài : Đề tài này được gói gọn với một đơn vị kiến thức trọng tâm ở bộ môn Hình Học lớp 9; Đại số 9.
V. Giải quyết vấn đề
Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp cơ bản sau:
1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
Kết hợp kinh nghiệm giảng dạy có được với sự nghiên cứu tài liệu, tôi đã sử dụng các tài liệu như:
- Sách giáo khoa Toán 9 - NXB Giáo dục.
- Sách bài tập Toán 9- NXB Giáo dục.
- Toán nâng cao Hình học 9 - NXB Thành phố Hồ Chí Minh.
- Toán nâng cao và các chuyên đề 9 - NXB Giáo dục.
- 100 bài toán Hình học hay và khó - NXB Hà Nội.
- Các bài toán hay và khó về đường tròn - NXB Đà Nẵng.
- Hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán hình học - NXB Thành phố Hồ Chí Minh.
2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn.
Tôi tiến hành dạy thử nghiệm đối với học sinh lớp 9E - Trường THCS Bá Ngọc và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi của trường.
3. Phương pháp đánh giá.
Kết thúc chuyên đề đối với học sinh lớp 9E, và học sinh bồi dưỡng Toán tôi có tiến hành kiểm tra đánh giá mức độ nhận thức và suy luận của các em.
Các phương pháp chính:
1. Phương pháp xét vị trí đặc biệt.
2. Phương pháp sử dụng bài toán phụ.
3. Phương pháp lập hệ tọa độ Đề Các vuông góc.
I. Phương pháp xét vị trí đặc biệt
* Trong các bài toán này có các yếu tố [điểm, đường thẳng, đường tròn…] cố định và các yếu tố thay đổi. Với mỗi vị trí của điểm thay đổi, ta xác định một đường thẳng. Tập hợp các đường thẳng như vậy ta gọi là một họ đường thẳng. Ta phải chứng minh họ đường thẳng này đi qua một điểm cố định. Để xác định điểm cố định, ta thường chọn hai cách sau:
Cách 1: Lấy hai đường thẳng của họ [thường chọn vị trí đặc biệt] và tìm giao điểm của chúng. Sau đó chứng minh một đường thẳng bất kỳ của họ đi qua .
Hoặc lấy một đường thẳng có vị trí đặc biệt cắt một đường nào đó đã có hoặc xuất hiện khi giải toán chứng minh đường thẳng bất kỳ của họ đi qua điểm đó.
Cách 2: Chọn một vị trí đặc biệt để có một đường thẳng của họ. Đường thẳng bất kỳ của họ cắt đường thẳng này tại điểm. Ta chứng minh điểm đó cố định.
* Sau đây là một ví dụ minh hoạ cho cả hai cách trên:
Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm O và đường thẳng [d] không đi qua O. Trên [d] có điểm T di động [không nằm trong đường tròn]. Kẻ tiếp tuyến TM, TN tới đường tròn. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Gợi ý:
Ta xét trưòng hợp đường thẳng [d] cắt đường tròn tại hai điểm A, B.
Cách 1: Để tìm điểm cố định, ta xét hai vị trí đặc biệt của T là A và B. Khi T º A thì hai tiếp tuyến TM và TN trở thành tiếp tuyến Ax. Khi T º B thì hai tiếp tuyến TM và TN trở thành tiếp tuyến By. Giả sử Ax và By cắt nhau ở I. Khi đó I là điểm cố định. Ta chứng minh mọi đường thẳng bất kỳ của họ đều đi qua I.
Cách 2: Chọn một vị trí đặc biệt của T. Khi T º B thì hai tiếp tuyến TM và TN trở thành tiếp tuyến By. Giả sử đường thẳng MN bất kỳ cắt By tại điểm I. Ta chứng minh I là điểm cố định.
Hai hướng chứng minh trên cho ta hai cách giải bài toán này [trong trường hợp [d] cắt đường tròn tại hai điểm A và B] như sau.
Lời giải:
Cách 1: Gọi giao điểm của hai tiếp tuyến của đường tròn [O] tại A và B là I. Khi đó I là điểm cố định. Ta chứng minh đường thẳng MN bất kỳ luôn đi qua I.
Nối IO. Dễ thấy IO vuông góc với AB. Ta lại có
Suy ra
Mặt khác IA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O nên góc IAO = 900. Do AH
áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có : OI =
Từ [1] và [2] ta có: OI = OI’ suy ra I
Cách 2: Hạ OH
Hay OI =
* Không phải bài toán nào cũng thực hiện được theo hai cách. Tuỳ thuộc vào các vị trí đặc biệt của từng bài toán để có thể thực hiện theo cách một hay cách hai. Sau đây là một ví dụ minh hoạ cho hướng chứng minh thứ nhất.
Ví dụ 2: Cho góc vuông xOy và hai điểm A, B thứ tự chuyển động trên Ox và Oy sao cho OA + OB =a [a là độ dài cho trước]. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng AB đi qua một điểm cố định.
Gợi ý:
Ta xét hai vị trí đặc biệt của A và B.
Khi A º O thì B º B0 [ B0 nằm trên Oy và OB0 = a] nên đường trung trực của AB trở thành đường trung trực Mt của OB0.
Khi B º O thì A º A0 [A0 nằm trên Ox và OA0 = a] nên đường trung trực của AB trở thành đường trung trực Nz của OA0. Gọi S là giao điểm của Mt và Nz thì S là điểm cố định. Ta có lời giải sau:
Lời giải:
Dựng hình vuông OMSN với M Î Oy, N Î Ox; ON = OM =
Ta có OA+ OB = a [gt] và ON = OM =
Xét hai tam giác vuông SNA và SMB có SN = SM [ hai cạnh hình vuông];
AN = BM [c/m trên]
Suy ra DSNA =DSMB [c.g.c].
Vậy SA = SB và S thuộc đường trung trực của AB.
Do N, M cố định nên S cố định. Vậy đường trung trực của AB đi qua điểm S cố định.
* Thông thường nếu chọn được hai vị trí đặc biệt thì ta sử dụng cách thứ nhất. Nếu bài toán chỉ chọn được một vị trí đặc biệt thì ta chọn cách thứ hai.Ví dụ sau minh hoạ cho hướng chứng minh thứ hai.
Ví dụ 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB; M là một điểm chuyển động trên nửa đường tròn [O]; C là một điểm trên tia AM sao cho AC = BM. Chứng minh rằng đường thẳng [d] vuông góc với AM tại C luôn đi qua một điểm cố định.
Gợi ý:
Để tìm điểm cố định, trước hết ta xét một vị trí đặc biệt của M. Khi M º B thì C º A, đường thẳng [d] trở thành tia tiếp tuyến Ax [tia Ax thuộc nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn [O] đang xét]. Giả sử tia Ax cắt đường thẳng [d] đã vẽ ở D. Dễ thấy DA = AB. Từ đó ta có lời giải sau:
Lời giải:
Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn [O] vẽ tiếp tuyến Ax cắt đường thẳng [d] tại D, ta có AD ^ AB [ tính chất của tiếp tuyến] và
Xét hai tam giác vuông ADC và BAM có AC = BM [gt];
Từ đó DADC = DBAM [g.c.g], dẫn đến AD = AB. Do tia Ax cố định, AD = AB
[không đổi] nên D cố định. Vậy đường thẳng [d] vuông góc với AM tại C luôn đi qua một điểm D cố định.
* Có những bài toán không tìm được vị trí đặc biệt ta có thể chọn một vị trí nào đó và tìm điểm cố định theo cách thứ hai. Ví dụ sau minh họa điều đó.
Ví du 4: Cho đường tròn tâm O và điểm P cố định ở bên trong đường tròn [khác 0]. Hai dây AB và CD thay đổi qua P và vuông góc với nhau. M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Gợi ý:
Lấy một vị trí khác của AB và CD là A’B’ và C’D’. Gọi M’, N’ lần lượt là trung điểm của A’C’ và B’D’ ; M’N’ cắt MN tại I thì I là điểm cần tìm. Ta dự đoán rằng I là trung điểm của OP và MN. Vậy ta sẽ chứng minh tứ giác MPNO là hình bình hành. Ta có lời giải sau:
Lời giải:
Giả sử PM cắt CB tại K. Ta có
Mặt khác ON ^ CB [ định lý về đường kính và dây cung]. Vậy PM // ON. Chứng minh tương tự OM // PN. Vậy tứ giác PMON là hình bình hành. Suy ra OP và MN cắt nhau tại trung điểm I của PO hay MN đi qua I cố định.
*Có một số bài toán thuộc dạng này nhưng được phân loại dựa vào tính chất của điểm cố định, ví dụ như những bài toán đưa về việc chứng minh ba điểm thẳng hàng. Sau đây là một ví dụ:
Ví dụ 5: Cho đường tròn tâm O và dây AB cố định, M là một điểm tuỳ ý trên cung AB. Gọi K là trung điểm của đoạn MB. Từ K kẻ KP vuông góc với đường thẳng AM. Chứng minh rằng khi M chuyển động trên cung AB thì đường thẳng KP luôn đi qua một điểm cố định.
Gợi ý:
Để tìm điểm cố định ta xét hai vị trí đặc biệt của M.
- Nếu M º A thì K º E [ với E là trung điểm của AB] và đường thẳng AM trở thành tiếp tuyến Ax. Đường thẳng KP trở thành đường thẳng d1 đi qua E và vuông góc với đường thẳng Ax.
- Nếu M º B thì K º B và MA º AB. Đường thẳng KP trở thành đường thẳng d2 vuông góc với AB tại B. Giả sử d1 cắt d2 tại I thì I là điểm cần tìm. Giả sử d2 cắt đường tròn [O] tại C. Do
Lời giải:
Vẽ dây BC vuông góc với dây AB. Gọi I là trung điểm của dây BC. Ta chứng minh P, K, I thẳng hàng.
Thật vậy, do
Từ đó suy ra P, K, I thẳng hàng [tiên đề Ơclit].
Do BC cố định nên I cố định. Vậy KP đi qua điểm I cố định
* Cần chú ý rằng đường thẳng d1 và tiếp tuyến Ax không có tác dụng gì trong cách giải này nhưng là yếu tố cần thiết để học sinh xác định được điểm I. Khi M chuyển động trên đường tròn [O] ta vẫn có kết quả như đã nêu.
* Có bài toán lại đưa về việc chứng minh điểm cố định là trọng tâm của một tam giác có một trung tuyến cố định. Sau đây là một ví dụ:
Ví dụ 6: Trên đường tròn [O] lấy một điểm A cố định và một điểm B thay đổi. Đường thẳng vuông góc với BA tại A cắt đường tròn tại C. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh CM đi qua một điểm cố định.
Gợi ý:
Lấy một vị trí đặc biệt của B là B’ sao cho A; O;B’ thẳng hàng. Khi B º B’ thì M º O và C º A. Đường thẳng CM trở thành đường thẳng AO. Gọi I là giao điểm của CM và AO ta nhận thấy I là giao điểm các đường trung tuyến của DABC
Lời giải:
Nối OA cắt CM tại I. Ta có CA ^ AB [gt] nên B, O, C thẳng hàng.
Vậy I là trọng tâm của DABC mà O; A cố định nên I cố định. Vậy CM đi qua I là điểm cố định [IA = 2IO] thuộc trung tuyến OA không đổi.
* Có bài toán chứng minh điểm cố định là điểm đối xứng với một điểm cố định qua một tâm cố định. Sau đây là một ví dụ:
Ví dụ 7: Từ một điểm M ở ngoài đường tròn [O] vẽ cát tuyến MAB, trên cát tuyến MAB lấy một điểm H ở ngoài AB về phía B sao cho MA = BH. Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với MAB tại H đi qua một điểm cố định.
|
Gợi ý:
Lấy một vị trí đặc biệt của cát tuyến khi cát tuyến đi qua tâm O, tức là MA’B’ với A’B’ là đường kính. Trên cát tuyến MA’B’ lấy một điểm H’ ngoài A’B’ về phía B sao cho MA’ = B’H’, ta suy ra ngay OM = OH’. Hạ OI ^ AB ta có AI = IB nên IM = IH.
Vậy OI là đường trung bình của DMHH’, suy ra OI // HH’. Vì OI ^ AB [định lý về đường kính và dây cung] nên HH’ ^ AB. Suy ra H thuộc đường thẳng vuông góc với MAB. Kết hợp OM = OH’ nên H cố định.
Lời giải:
Hạ OI ^ AB ta có IA = IB. Kết hợp với giả thiết MA = BH ta suy ra IM = IH. Gọi giao điểm của đường thẳng MO với đường thẳng vuông góc với MAB tại H là H’. Ta có OI // H’H [vì cùng vuông góc với MAB] mà IM = IH [chứng minh trên] nên OM = OH’. Vậy HH’ đi qua một điểm cố định H’ là điểm đối xứng với M qua tâm cố định O.
* Có bài toán chứng minh điểm cố định là điểm chính giữa của một cung cố định hoặc một trong hai đầu mút của một cung cố định. Sau đây là một ví dụ:
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC, các điểm D và E lần lượt di động trên các cạnh AB và AC sao cho BD = CE. Chứng minh rằng đường trung trực của DE luôn đi qua một điểm cố định.
|
Gợi ý:
Gọi d1 là đường trung trực của DE. Lấy một vị trí đặc biệt của D khi D º B thì E º C. Đường trung trực của DE trở thành đường trung trực d2 của BC. Gọi M là giao điểm của hai đường trung trực nói trên. Ta chứng minh M là điểm cố định .
Nếu lấy hai vị trí đặc biệt của D khi D
Từ đó ta có hai cách giải sau:
Lời giải:
Cách 1: Gọi d1 là đường trung trực của DE, d2 là đường trung trực của BC; d1 cắt d2 tại M. Xét D MDB và D MEC có: MB = MD [vì M thuộc đường trung trực của BC]; MD = ME [vì M thuộc đường trung trực của DE]; BD = CE [gt].
Nên D MDB = D MEC [c.c.c]. Suy ra
Cách 2: Giả sử AB < AC, Gọi E0 là điểm thuộc AC sao cho AB = CE0, ta có E0 có định. Gọi d2 là đường trung trực của BC, d0 là đường trung trực của AE0; d0 cắt d2 tại M thì M là điểm cố định. Ta chứng minh M thuộc đường trung trực của DE.
Vì M thuộc đường trung trực của CB nên MB = MC. Vì M thuộc đường trung trực của AE0 nên MA = ME0. Ta lại có AB = E0C nên
[c.c.c]. Suy ra
Suy ra
Nhận xét:
* Xét các vị trí đặc biệt mục đích là đi tìm vị trí điểm cố định. Khi tìm được vị trí điểm cố định học sinh có thể “chia tay” với các vị trí đặc biệt đó quay về bài toán ban đầu. Tuy nhiên các vị trí đặc biệt này lại tạo nên các hình phụ [điểm, đường thẳng…] thuận tiện cho việc chứng minh.
* Hai phương hướng trên cho ta phương pháp chứng minh họ đường thẳng đi qua điểm cố định bằng cách xét các vị trí đặc biệt của điểm thay đổi.
* Có những bài toán ta không thể xét được các vị trí đặc biệt thì có thể chứng minh bằng cách sử dụng các bài toán phụ.
II. Phương pháp sử dụng bài toán phụ
*Xét bài toán sau:
Bài toán: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn [O] và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Chứng minh rằng OM đi qua trung điểm của dây BC. [Bài tập 96- trang 105- sgk toán 9- tập 2]
Thay đổi một số yếu tố cố định thành chuyển động và đưa bài toán về dạng bài toán chứng minh họ đường thẳng đi qua điểm cố định ta có bài toán sau:
Bài toán phụ 1: Cho dây BC cố định của đường tròn [O] và một điểm A chuyển động trên cung BC nào đó được xác định trước. Chứng minh rằng phân giác góc BAC luôn đi qua điểm chính giữa của cung BC còn lại.
Bài toán phụ 1 có thể sử dụng để giải một số bài toán phức tạp hơn. Sau đây là một ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 9: Cho hình thang ABCD nội tiếp trong đường tròn [O] có cạnh bên AB cố định và P là giao điểm hai đường chéo. Qua P vẽ đường thẳng [d] song song với đáy BC. Chứng minh [d] luôn luôn đi qua một điểm cố định.
|
Lời giải:
Lời giải:
ABCD là hình thang nội tiếp đường tròn nên ABCD là hình thang cân. Suy ra AB = CD và cung
* Nhận xét:
- Một số bài tập trong sách giáo khoa toán 9, sách bài tập toán 9 có thể thay đổi theo cách trên trở thành dạng bài toán đơn giản chứng minh họ đường thẳng đi qua điểm cố định.
- Một số tính chất của đường tròn như tính chất của hai dây song song [xem bài tập 13- trang 72- sgk toán 9- tập 2], tính chất của góc nội tiếp cũng có thể sử dụng để sáng tạo ra các bài toán phụ. Sau đây một số ví dụ:
Bài toán phụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn [O]. E là một điểm di động thuộc cung
|
Sử dụng bài toán phụ 2 ta giải bài toán sau:
Ví dụ 10: Cho tam giác ABC, D là một điểm tuỳ ý trên BC [khác B và C]. Dựng các đường tròn tiếp xúc tại B và C với AB và AC, đồng thời đi qua D. Gọi E là giao điểm thứ 2 [khác D] của hai đường tròn này. Chứng minh rằng DE luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải:
Ta có
Bài toán phụ 3: Cho một điểm C chuyển động trên nửa đường tròn [O] đường kính AB cố định. Điểm D nằm giữa điểm A và điểm B sao cho
Sử dụng bài toán phụ 3 ta giải bài toán sau:
Ví dụ 11: Cho nửa đường tròn đường kính AB và điểm C ở trên nửa đường tròn. Dựng hình vuông ACDE sao cho D nằm trên đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng khi C di động trên nửa đường tròn thì CE luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải:
Do ACDE là hình vuông nên
*Nhận xét:
Trên đây là 3 bài toán phụ dùng làm công cụ để giải một số bài toán chứng minh họ đường thẳng đi qua điểm cố định. Cũng giống như các bài toán cơ bản trong toán dựng hình, nó có thể trở thành các bài toán cơ bản để giải các bài toán chứng minh họ đường thẳng đi qua điểm cố định. Học sinh có thể tìm thêm các bài toán phụ khác để sử dụng trong một số bài toán. Càng nắm được nhiều bài toán phụ thì việc chứng minh càng nhanh chóng.
III. Phương pháp lập hệ tọa độ Đề Các vuông góc
*Trong chương trình đại số lớp 9, một dạng toán thường được nhắc đến trong các sách tham khảo là chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định. Chẳng hạn ta xem xét bài toán sau:
Bài toán: [Bài tập 29- trang 61 - Bài tập toán 9 – tập 1- nhà xuất bản giáo dục-2005] Cho hàm số: y = mx +[2m + 1] [1]
Với mỗi giá trị của m
Lời giải:
Ta phải chứng minh họ đường thẳng
y = mx + [2m + 1] [1]
luôn đi qua một điểm cố định nào đó.
Giả sử điểm M[x0;y0] là điểm mà họ đường thẳng [1] luôn luôn đi qua với mọi m, thế thì toạ độ x0, y0 của điểm M phải thoả mãn [1] với mọi m. Nghĩa là với mọi số thực m, ta có:
y0 = mx0 + [2m + 1]
Phương trình [2] nghiệm đúng với mọi giá trị của ẩn m, do đó phải có các hệ số đều bằng 0, nghĩa là : x0 +2 = 0 và 1 – y0 = 0.
Suy ra x0 = -2 và y0 = 1.
Vậy ta có điểm M[-2; 1] là điểm cố định mà họ đường thẳng [1] luôn luôn đi qua với mọi số thực m.
* Nếu trong bài toán hình học chứng minh họ đường thẳng đi qua một điểm cố định, các yếu tố hình học đựơc đặt trong một hệ toạ độ vuông góc thích hợp thì bài toán hình học trở thành bài toán đại số dạng nói trên
* Phương pháp này thường sử dụng một số kiến thức đại số như :
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy:
· Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A[x0; y0 ] và B[x1; y1]
· Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A[x0; y0] và vuông góc với một đường thẳng y= a.x + b cho trước.
· Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A[x0; y0] và song song với một đường thẳng y = ax + b cho trước.
* Chọn hệ toạ độ Đề Các vuông góc thích hợp. Với một điểm M thay đổi, toạ độ của nó phụ thuộc vào một tham số m nào đó.
Lập phương trình đường thẳng [d] đi qua M, chúng phụ thuộc vào tham số m. Biến đổi phương trình đường thẳng [d] về dạng: m f[x; y] + g[x; y] = 0
Giả sử đường thẳng [d] đi qua một điểm cố định S[x0; y0], khi đó phương trình m f[x0; y0] + g[x0; y0] = 0 thoả mãn với mọi giá trị của m đã cho. Điều này xảy ra khi và chỉ khi:
Do đó họ đường thẳng [d] luôn đi qua một điểm cố định S có toạ độ là nghiệm của hệ phương trình :
Ta sử dụng phương pháp này giải bài toán sau:
Ví dụ 12: Cho góc vuông xOy. Trên Ox và Oy lần lượt có hai điểm A,B chuyển động sao cho OA + OB = a [ a là độ dài cho trước]. Gọi G là trọng tâm của tam giác AOB và [d] là đường thẳng đi qua đi qua G, vuông góc với AB. Chứng minh rằng [d] luôn đi qua một điểm cố định.
|
Lời giải:
Lập hệ toạ độ Đề Các vuông góc có trục hoành chứa tia Ox và trục tung chứa tia Oy. Nếu toạ độ điểm A là [m , 0] thì toạ độ điểm B là [0; a - m]. Khi đó nếu
gọi M là trung điểm của đoạn thẳng OA thì M [
Từ G hạ GH
Vậy G[
Phương trình đường thẳng AB đi qua A[m,0] và B[0, a-m] là:
y =
Phương trình đường thẳng [d] đi qua G[
y =
Giả sử đường thẳng [d] đi qua một điểm cố định K[x0 , y0]. Thay [x0, y0] vào [*] và biến đổi tương đương ta có phương trình :
m[3x0 + 3y0 - 2a ] + a2 - 3ay0 = 0
Suy ra:
Vậy đường thẳng [d] đi qua G và vuông góc với AB luôn đi qua điểm cố định
S [
Ví dụ 13: Cho đoạn thẳng AB cố định và một điểm M chuyển động trên đường thẳng AB. Dựng các hình vuông AMCD và BMEF sao cho chúng ở về cùng một nửa mặt phẳng với bờ là AB. Gọi N là giao điểm của AE và BC. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải:
Lập hệ toạ độ vuông góc xAy có M thuộc tia Ax, D thuộc tia Ay. Gọi toạ độ của B là [a, 0], toạ độ của M là [m; 0], [0 < m < a, a không đổi, m thay đổi]. Khi đó A[0; 0]; E[m; a - m] ; C[m; m].
Phương trình đường thẳng AE đi qua A[0; 0] và E[m; a - m] là:
y =
Phương trình đường thẳng CB đi qua C[m, m] và B[a, 0] là:
y =
Ta tìm toạ độ của điểm N là giao điểm của AE và BC:
Gọi toạ độ của điểm N [x0; y0 ]. Vì [x0; y0] thoả mãn [*] và [**] nên:
Vì [x0; y0 ] thoả mãn [**] nên suy ra:
Ta tìm phương trình đường thẳng MN với M[m; 0] và N[x0; y0 ]:
Phương trình này đúng với mọi giá trị của m [0 < m < a ; m
Trường hợp m =
S [
Vậy đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định S [
* Nhận xét:
Phương pháp này tương đối dài nhưng nó có ưu điểm cho học sinh thấy được mối quan hệ chặt chẽ giữa hình học và đại số. Qua các bài toán hình học học sinh được ôn lại cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm, phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước, cách tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng.
PHẦN III : KẾT LUẬN
1. Kết quả đạt được:
Trước khi dạy chuyên đề này cho học sinh tôi đã cho các em làm bài kiểm tra và kết quả thu được như sau:
| Số lượng hs được kiểm tra | Giỏi | Khá | Trung bình | Yếu | ||||
| SL | TL | SL | TL | SL | TL | SL | TL | |
| 10 | 0 | 0% | 2 | 20% | 4 | 40% | 4 | 40% |
Khi giảng dạy xong chuyên đề này cho học sinh trên tôi đã cho các em làm lại bài kiểm tra với mức độ đề tương đương với kiểm tra lần 1 thì thu được kết quả như sau:
| Số lượng hs được kiểm tra | Giỏi | Khá | Trung bình | Yếu | ||||
| SL | TL | SL | TL | SL | TL | SL | TL | |
| 10 | 4 | 40% | 4 | 40% | 2 | 20% | 0 | 0% |
2. Bài học kinh nghiệm:
Qua việc nghiên cứu và tiến hành dạy bồi dưỡng tôi có lấy ý kiến của học sinh. Thấy được:
+ Trong mỗi bài tập giáo viên nên khuyến khích học sinh giải theo nhiều cách, trong đó chú ý chọn cách giải ngắn gọn và hiệu quả nhất.
+ Khi đưa yêu cầu cho học sinh cần phải xuất phát từ thấp đến cao, từ đơn giản dến phức tạp.
+ Bản thân tôi nắm được hệ thống kiến thức .
+ Học sinh hiểu rõ và khắc sâu kiến thức hơn.
Vì vậy, các chuyên đề tiếp theo tôi đã đưa ra và yêu cầu học sinh dựa vào cách học như vậy tự nghiên cứu trước ở nhà hoặc thảo luận nhóm nhỏ sau đó tôi sẽ hoàn chỉnh giúp các em trong các buổi học chuyên đề.
Như vậy, học sinh đã từ học thụ động giờ có thể chủ động hình thành tri thức bằng cách tự học.
3. Kết luận chung
Trên đây là một số phương pháp giải bài toán hình học chứng minh họ đường thẳng đi qua một điểm cố định. Bài viết này giúp học sinh :
- Nắm được một số phương pháp cơ bản để giải bài toán họ đường thẳng đi qua qua một điểm cố định.
- Biết sử dụng các công cụ đại số để giải các bài toán hình học. Từ đó tạo nên mối quan hệ chặt chẽ giữa các bài toán hình học và đại số.
- Trong quá trình tổ chức giáo viên phải cần kết hợp nhiều phương pháp dạy học linh hoạt, nhưng phương pháp "nêu vấn đề - giải quyết vấn đề " là phương pháp chính kết hợp hình thức dạy học hợp tác nhóm nhỏ là hình thức dạy học có hiệu quả, nó tạo điều kiện cho HS có thể thảo luận, trao đổi, đóng góp ý kiến xây dựng bài.
- Nội dung bài viết chủ yếu là gợi ý HS nên đã bỏ qua một số bước chứng minh.
- Với đề tài này, tôi muốn góp một phần nhỏ vào việc đổi mới phương pháp để nâng cao chất lượng dạy học. Song đây chỉ là những kinh nghiệm nhỏ rút ra từ thực tế giảng dạy và nghiên cứu chủ quan của bản thân. Do vậy sẽ không tránh khỏi sự sai sót và khiếm khuyết về nhận thức cũng như cách trình bày. Rất mong sự góp ý của Hội đồng khoa học và bạn bè, đồng nghiệp giúp tôi sửa chữa và bổ sung được đầy đủ và tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Bá Ngọc, ngày 18/4/2019
Người thực hiện
Đậu Cao Cành
Mục lục
| Nội dung | Trang |
| Phần I . Đặt vấn đề | 1 |
| I. Lý do chọn đề tài | 1 |
| 1. Cơ sở lý luận | 1 |
| 2. Cơ sở thực tiễn | 1 |
| II. Mục đích nghiên cứu | 1 |
| III. Nhiệm vụ đề tài | 1 |
| IV. Giới hạn đề tài | 1 |
| V. Giải quyết vấn đề | 2 |
| 1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết | 2 |
| 2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn | 2 |
| 3. Phương pháp đánh giá | 2 |
| Phần II: Nội dung | 3 |
| I. Phương pháp xét vị trí đặc biệt | 3 |
| II. Phương pháp sử dụng bài toán phụ | 12 |
| III. Phương pháp lập hệ tọa độ Đề Các vuông góc | 16 |
| Phần III: Kết luận | 10 |
| 1. Kết quả đạt được | 21 |
| 2 . Bài học kinh nghiệm | 21 |
| 3. Kết luận chung | 22 |
TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khoa Toán 9 - NXB Giáo dục.
- Sách bài tập Toán 9 - NXB Giáo dục.
- Toán nâng cao Hình học 9 - NXB Thành phố Hồ Chí Minh.
- Toán nâng cao và các chuyên đề 9 - NXB Giáo dục.
- 100 bài toán Hình học hay và khó - NXB Hà Nội.
- Các bài tóan hay và khó về đường tròn - NXB Đà Nẵng.
- Hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán hình học - NXB Thành phố Hồ Chí Minh.
Page 2
MỤC LỤC
I/Tóm tắt đề tài.................................................................................................. 2
II/Giới thiệu....................................................................................................... 3
1/ Hiện trạng.................................................................................................. 3
2/ Giải pháp thay thế..................................................................................... 3
3/ Vấn đề nghiên cứu .................................................................................... 3
4/ Giả thuyết nghiên cứu.............................................................................. 3
III/ Phương pháp .............................................................................................. 4
1/ Khách thể nghiên cứu............................................................................... 4
2/ Thiết kế nghiên cứu................................................................................... 4
3/ Quy trình nghiên cứu................................................................................ 5
4/ Đo lường.................................................................................................... 7
IV/ Phân tích dữ liệu và kết quả...................................................................... 7
1/ Phân tích dữ liệu........................................................................................ 7
2/ Bàn luận kết quả....................................................................................... 9
V/ Kết luận và khuyến nghị.............................................................................. 9
1/ Kết luận..................................................................................................... 9
2/ Khuyến nghị.............................................................................................. 9
VI/ Tài liệu tham khảo...................................................................................... 9
VII/ Phụ lục của đề tài .................................................................................... 10
Phụ lục 1...................................................................................................... 10
Phụ lục 2 ..................................................................................................... 11
I/ Tóm tắt đề tài :
Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ là các bài toán khó đối với học sinh THCS. Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉ yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà nó còn đòi hỏi học sinh cần có một kỹ năng giải toán nhất định, có sự sáng tạo nhất định. Để tạo ra được một đường phụ liên kết tường minh các mối quan hệ toán học giữa các điều kiện đã cho [giả thiết] với điều kiện cần phải tìm [kết luận] đòi hỏi phải thực hiện các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, đặc biệt hoá,... Hay nói cách khác giải một bài toán phải kẻ thêm đường phụ là một sáng tạo nhỏ. Kẻ thêm đường phụ để giải một bài toán hình về mặt phương pháp là một biểu hiện ở mức độ cao của kỹ năng, thể hiện các tình huống hình học phù hợp với một định nghĩa, định lí nào đó... hay còn gọi là quy lạ về quen. Ở đó khoảng cách từ lạ đến quen càng xa thì mức độ sáng tạo càng lớn. Do đó việc học tốt các bài toán hình có lời giải phải kẻ thêm đường phụ có tác dụng rất lớn trong việc phát triển năng lực trí tuệ và tư duy khoa học của học sinh.
Giải bài toán hình có kẻ thêm đường phụ đòi hỏi phải thực hiện nhiều các thao tác tư duy. Vì vậy đòi hỏi ở học sinh phải rèn luyện về mặt tư duy hình học thuật phát triển. Do đó khi chứng minh các định lí ở chương I – Tứ giác ta phải rèn luyện kỹ năng vẽ đường phụ cho học sinh. Việc làm các ví dụ về bài toán ở trên lớp cũng rất hiếm khi có loại toán dạng này. Tuy nhiên trong các bài tập thì SGK cũng đưa ra khá nhiều dạng toán này và nhất là ở các bài tập nâng cao thì các bài toán khó và hay lại là những bài toán khi giải cần phải kẻ thêm đường phụ.
Trên thực tế, đối với học sinh khi giải các bài toán dạng này cần phải có rất nhiều thời gian nghiên cứu. Do đó việc đi sâu vào nghiên cứu và tìm tòi các cách giải bài toán có vẽ thêm đường phụ đối với học sinh còn rất ít. Còn đối với đa số học sinh việc nắm vững về mục đích, yêu cầu khi vẽ các đường kẻ phụ cũng như kiến thức về một số loại đường phụ là còn rất hạn chế. Các tài liệu viết riêng về loại toán này cũng rất hiếm cho nên việc tham khảo đối với học sinh còn gặp nhiều khó khăn.
Vì vậy với trình bày của đề tài này sẽ là một nội dung tham khảo cho giáo viên để góp phần tạo nên cơ sở cho giáo viên có thể dạy tốt hơn loại toán hình có kẻ thêm đường phụ.
II/ Giới thiệu :
1. Hiện trạng:
Năm học 2012- 2013 tôi được nhà trường phân công giảng dạy bộ môn toán 8 Trường THCS Phường 4 qua thực tế giảng dạy kết hợp với dự giờ các giáo viên trong và ngoài trường, đồng thời qua các đợt kiểm tra, các kì thi chất lượng bản thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹ năng thành thạo khi làm các dạng bài tập có vận dụng yếu tố trung gian là vẽ đường phụ trong hình học
Trong thực tế giảng dạy Toán ở trường THCS Phường 4, việc làm cho học sinh có kỹ năng giải các bài toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ và các bài toán liên quan là công việc rất quan trọng và không thể thiếu được. Để làm được điều này thì người thầy phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản về các phương pháp giải toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ.
2. Giải pháp thay thế:
Nhằm giúp học sinh thấy được cái hay cái đẹp, sự thú vị trong học toán nói chung và trong học hình học nói riêng. Tôi sẽ hướng dẫn học sinh kĩ năng vẽ đường phụ thông qua việc chứng minh định lí trong chương I-Tứ giác. Từ đó, giúp học sinh tự tin, tích cực, sáng tạo hơn trong học toán; giúp học sinh thêm yêu thích, nâng cao chất lượng, kết quả học tập môn toán của học sinh
3 Vấn đề nghiên cứu:
Việc chứng minh các định lí trong chương I-Tứ giác có rèn luyện được kĩ năng, phương pháp giải toán có sử dụng yếu tố vẽ đường phụ trong hình học của học sinh lớp 8 trường THCS Phường 4 không?
4 Giả thuyết nghiên cứu:
Việc chứng minh các định lí trong chương I-Tứ giác sẽ rèn luyện được kĩ năng, phương pháp giải toán có sử dụng yếu tố vẽ đường phụ trong hình học của học sinh lớp 8 trường THCS Phường 4
III/ Phương pháp :
1. Khách thể nghiên cưú.
Học sinh lớp 8/1, 8/4 Trường THCS Phường 4 có những điểm tương đồng thuận lợi cho việc nghiên cứu.
* Giáo viên: Để đảm bảo việc học tập của học sinh và các hoạt động của nhà trường diễn ra bình thường nên giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán của 2 lớp thực nghiệm và lớp đối chứng [ theo sự phân công của nhà trường ] cũng là tác giả của đề tài nghiên cứu.
+ Lớp 8/1 [ Lớp thực nghiệm ]
+ Lớp 8/4 [ Lớp đối chứng ]
* Hai lớp được chọn tham gia nghiên cứu có nhiều điểm tương đồng nhau về năng lực học tập, thành phần dân tộc cụ thể như sau:
Bảng 1: Giới tính thành phần dân tộc của HS lớp 8/5, 8/3 Trường THCS Phương 4
| Số HS các nhóm | Dân tộc | |||||
| Tổng số | Nam | Nữ | Kinh | Hoa | Khmer | |
| Lớp 8/1 | 34 | 21 | 13 | 25 | 6 | 3 |
| Lớp 8/4 | 34 | 19 | 15 | 27 | 4 | 3 |
- Về hình thức học tập: tất cả các em ở hai lớp đều tích cực, chủ động.
- Về thành tích học tập hai lớp tương đương nhau.
2. Thiết kế nghiên cứu.
Tôi chọn thiết kế 4 : thiết kế kiểm tra sau tác động đối với các nhóm ngẩu nhiên
Bảng 2 :Thiết kế nghiên cứu
| Nhóm | Tác động | Kiểm tra sau tác động |
| Thực nghiệm | Chứng minh các định lí có rèn luyện kĩ năng vẽ đường phụ | 03 |
| Đối chứng | Chứng minh các định lí không có rèn luyện kĩ năng vẽ đường phụ | 04 |
3. Quy tr ình nghiên cứu
Trước hết giáo viên cần giúp học sinh thấy được và nắm vững các yêu cầu khi vẽ [dựng] các đường phụ.
- Vẽ đường phụ phải có mục đích: Đường kẻ phụ, phải giúp cho được việc chứng minh bài toán. Muốn vậy nó phải là kết quả của sự phân tích tổng hợp, tương tự hoá, mày mò dự đoán theo một mục đích xác định là gắn kết được mối quan hệ của kiến thức đã có với điều kiện đã cho của bài toán và kết luận phải tìm. Do đó không được vẽ đường phụ một cách tuỳ tiện [cho dù là mày mò, dự đoán] vì nếu đường phụ không giúp ích gì cho việc chứng minh thì nó sẽ làm cho mình vẽ rối ren, làm khó thêm cho việc tìm ra lời giải đúng. Vì vậy khi vẽ đường phụ phải luôn tự trả lời câu hỏi "Vẽ đường phụ này có đạt được mục đích mình muốn không?". Nếu "không" nên loại bỏ ngay.
- Đường phụ phải là những đường có trong phép dựng hình và phải xác định được.
- Lựa chọn cách dựng thích hợp đường phụ: Đường phụ thường thỏa mãn các tính chất nào đó, việc lựa chọn đường phụ là rất quan trọng.Tuy cùng là một đường phụ vẽ thêm nhưng do các cách dựng khác nhau nên dẫn đến cách chứng minh cũng khác nhau.
Sau đây là một số loại đường phụ thường được sử dụng trong giải toán hình ở chương trình THCS.
* Đường phụ là điểm:
- Vẽ điểm chia trong hay chia ngoài một đoạn thẳng cho trước theo một tỷ số thích hợp
- Xác định giao điểm của các đường thẳng hoặc đường thẳng với đường tròn
* Đường phụ là đường thẳng, đoạn thẳng:
- Kéo dài một đường thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý.
- Nối hai điểm cho trước hoặc hai điểm đã xác định.
- Từ một điểm cho trước dựng đường song song với một đường thẳng đã xác định.
- Từ một điểm cho trước dựng đường vuông góc với một đường thẳng xác định.
- Dựng đường phân giác của một góc cho trước.
- Dựng đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với đường thẳng khác một góc bằng góc cho trước.
- Vẽ tia đối của một tia
- Dựng các đường đặc biệt trong tam giác [ Trung tuyến , trung bình, phân giác , đường cao ]
- Trên cơ sở, các yêu cầu về vẽ [dựng] các đường phụ, giáo viên cần phân dạng được các bài toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ.
* Ví dụ cụ thể
Chương I - Bài 4: Đường trung bình của tam giác. Trong bài này có định lí sau:
| GT | |
| KL | DE// BC ; DE = |
Muốn chứng minh được định lí này học sinh phải biết vẽ thêm yếu tố phụ là điểm F. Vậy vấn đề được đặt ra là làm thế nào để học sinh tự phát hiện ra là phải vẽ điểm F sao cho E là trung điểm của DF
Phân tích: Từ kết luận của định lí gợi ý cho ta xét đến trung điểm của một đoạn thẳng. Vì muốn chứng tỏ một đoạn thẳng bằng nửa đoạn thẳng khác thì một trong các cách làm cơ bản là gấp đôi đoạn thẳng đó và chuyển về bài toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau . Do đó ta phải vẽ điểm F sao cho E là trung điểm của DF rồi chứng minh DF = BC
* Tiến hành dạy thực nghiệm :
Thời gian tiến hành dạy thực nghiệm vẫn tuân theo kế hoạch dạy học của trường và theo đúng thời khóa biểu để đảm bảo tính khách quan.
4/ Đo lường :
Vấn đề nghiên cứu của đề tài này là: Việc chứng minh các định lí trong chương I-Tứ giác có rèn luyện được kĩ năng, phương pháp giải toán có sử dụng yếu tố vẽ đường phụ trong hình học của học sinh lớp 8 trường THCS Phường 4 không?
Trong vấn đề nghiên cứu có câu hỏi là: có rèn luyện được kĩ năng, phương pháp giải toán có sử dụng yếu tố vẽ đường phụ trong hình học của học sinh lớp 8 trường không? Nên việc đo lường ở đây là phải đo kiến thức, kĩ năng mà đo kiến thức thì sử dụng các bài kiểm tra, để đảm bảo khách quan và tiết kiệm thời gian thì các bài kiểm tra trong nghiên cứu từ trong kế hoạch dạy học [theo phân phối chương trình], cụ thể là trong nội dung của chương I có một bài kiểm tra 15 phút và bài kiểm tra đó được sử dụng trong nghiên cứu luôn.
* Tiến hành kiểm tra và chấm bài.
Thời gian kiểm tra theo thời khóa biểu và 2 lớp cùng chung một đề, giáo viên coi kiểm tra chặt chẽ và nghiêm túc, sau khi có bài thì tiến hành chấm theo đáp án đã được xác định từ đầu.
IV/ Phân tích dữ liệu và kết quả :
1/ Phân tích dữ liệu :
Bảng 4 : So sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động
| Nhóm đối chứng | Nhóm thực nghiệm | |
| Điểm trung bình | 7,13 | 8,36 |
| Độ lệch chuẩn | 1,48 | 1,66 |
| Giá trị p của T-test | 0,00098 | |
| Chênh lệch giá trị TB chuẩn[SMD] | 0,74 |
Như trên đã chứng minh rằng kết quả 2 nhóm sau tác động kiểm chứng chênh lệch điểm trung bình bằng T-test cho kết quả p= 0,00098 cho thấy sự chênh lệch giữa điểm trung bình nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng rất có ý nghĩa , tức là chênh lệch kết quả điểm trung bình nhóm thực nghiệm cao hơn điểm trung bình nhóm đối chứng không phải là ngẫu nhiên mà do kết quả của tác động
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn SMD =
Theo bảng tiêu chí Cohen ,chênh lệch giá trị trung bình chuẩn SMD= 0,74 cho thấy mức độ ảnh hưởng của việc rèn luyện kĩ năng vẽ đường phụ trong chứng minh lí dẫn đến kết quả học tập của nhóm thực nghiệm là lớn
Giả thuyết của đề tài “Việc chứng minh các định lí trong chương I-Tứ giác sẽ rèn luyện được kĩ năng, phương pháp giải toán có sử dụng yếu tố vẽ đường phụ trong hình học của học sinh lớp 8 trường THCS Phường 4” đã được kiểm chứng
2/ Bàn luận kết quả :
Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm là điểm trung bình bằng 8,36. Kết quả bài kiểm tra tương ứng của nhóm đối chứng là điểm trung bình bằng 7,13 . Độ chênh lệch điểm số giữa 2 nhóm là 1,23 . Điều đó cho thấy điểm trung bình của 2 lớp đối chứng và thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt , lớp được tác động có điểm trung bình cao hơn lớp đối chứng .
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của bài kiểm tra là SMD= 0,74 . Điều này có nghĩa mức độ ảnh hưởng của tác động là lớn .
Phép kiểm chứng T-test cho thấy điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động của 2 lớp là p= 0,00098< 0,001 . Kết quả này khẳng định sự chênh lệch điểm trung bình của 2 nhóm không phải là ngẫu nhiên mà là do tác động ,nghiêng về nhóm thực nghiệm .
V/ Kết luận và khuyến nghị :
1/ Kết luận: Trong quá trình giảng dạy môn Toán 8 ở trường THCS, tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm nhỏ như rèn luyện kĩ năng vẽ đường phụ trong chứng minh định lí hay giải bài tập toán hình học sẽ giúp các em có kĩ năng, phương pháp giải quyết tốt hơn các bài toán chứng minh hình học
2/ Khuyến nghị :
Nhà trường cần đầu tư tốt hơn nữa về các trang thiết bị dạy học có ứng dụng CNTT. Động viên khuyến khích giáo viên sử dụng CNTT trong dạy học. Giáo viên tích cực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức, kĩ năng sử dụng các thiết bị dạy học hiện đại. Tôi cho rằng người giáo viên biết lựa chọn hệ thống bài tập và gợi ý học sinh vận dụng kiến thức đã học để tìm lời giải thì sẽ phát huy được tối đa tính tích cực, sáng tạo của học sinh.
Trên đây là kết quả nghiên cứu đề tài của tôi . Rất mong được sự đóng góp chân thành của quý thầy cô để đề tài được vận dụng đạt hiệu quả hơn .
VI/Tài liệu tham khảo :
- Tài liệu tập huấn nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng
- 160 Bài tập chứng minh hình học vẽ thêm đường phụ - NGƯT.Minh Trân
- Các trang web nghiên cứu
+ Thư viện giáo dục:ww.Violet.vn
+Kho tài liệu:www.tailieu.vn
VII/ Phụ lục của đề tài :
Phụ lục 1: Đề kiểm tra và đáp án
Đề kiểm tra:
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC, trên cạnh AB lấy BD=2DA, đoạn AM cắt CD tại I. Chứng minh rằng:
a/ I là trung điểm của AM
b/ CI=3DI
Đáp án:
[1 điểm]
a/ Vẽ ME // CD [E
Mà M là trung điểm của BC [0,5 điểm]
ð E là trung điểm của BD [0,5 điểm]
Hay BE=ED=DA=
Nên D là trung điểm của AE [0,5 điểm]
Tai lại có DI//EM [I
Vậy I là trung điểm của AM [1 điểm]
b/ Ta có ME=
DI=
ð DI=
Vậy CI = 3DI [1 điểm]
Phụ lục 2: Bảng điểm và số liệu :
| NHÓM THỰC NGHIỆM- LỚP 8/1 | NHÓM ĐỐI CHỨNG - LỐP 8/4 | |||||
| STT | HỌ VÀ TÊN HS | KT SAU TÁC ĐỘNG | STT | HỌ VÀ TÊN HS | KT SAU TÁC ĐỘNG | |
| 1 | NGUYỄN TRƯƠNG KIỀU ANH | 9.5 | 1 | TRẦN PHẠM LOAN ANH | 7.5 | |
| 2 | TRỊNH MINH CẦN | 5 | 2 | NGÔ TUẤN CẢNH | 7 | |
| 3 | MÃ VĨNH CƯỜNG | 9 | 3 | TỐNG QUỐC DŨNG | 7.3 | |
| 4 | VÕ TRƯỜNG DUY | 10 | 4 | DƯƠNG THỊ MỸ DUYÊN | 6.8 | |
| 5 | TRƯƠNG THỊ THÙY DƯƠNG | 9.5 | 5 | TRẦN THỊ KIỀU DUYÊN | 9.5 | |
| 6 | NGUYỄN THÀNH ĐẠI | 6 | 6 | ĐINH HẢI ĐĂNG | 6.3 | |
| 7 | NGUYỄN HUỲNH ĐẠT | 8 | 7 | LÊ HẢI ĐĂNG | 6 | |
| 8 | TIẾT HÙNG ĐẠT | 9.5 | 8 | TRẦN HẢI ĐĂNG | 9 | |
| 9 | CHÂU TRƯỜNG HƯNG | 10 | 9 | TRẦN PHÚC HẬU | 2.3 | |
| 10 | NGUYỄN MINH KHANG | 9 | 10 | TRẦN KIM HỒNG | 9 | |
| 11 | NGUYỄN VĂN KHỞI | 6.5 | 11 | CAO THỊ DIỄM HƯƠNG | 9 | |
| 12 | NGUYỄN TRUNG KIỆT | 6.3 | 12 | LƯU THANH KHIẾT | 8 | |
| 13 | LÝ DUY MINH | 6.5 | 13 | KIM ANH KIỆT | 7 | |
| 14 | PHẠM NGỌC NGÀ | 10 | 14 | DƯƠNG THANH LONG | 5.8 | |
| 15 | HỒ BẢO NGỌC | 9 | 15 | TRẦN MINH LỢI | 5.8 | |
| 16 | HUỲNH KIM NGỌC | 10 | 16 | LÂM THỊ BÍCH NGÂN | 7 | |
| 17 | NGÔ NHẬT PHÚ | 10 | 17 | TRỊNH THỊ KIM NGÂN | 8.8 | |
| 18 | THÁI AN PHÚ | 10 | 18 | THANG VỊNH NGHI | 7 | |
| 19 | HUỲNH NGỌC QUÝ | 7.3 | 19 | HỒNG XUÂN NHI | 8.8 | |
| 20 | PHAN THỊ BÍCH QUYÊN | 6 | 20 | TRẦN THỊ MỸ NHIÊN | 7.8 | |
| 21 | TRẦN NGỌC THẢO | 10 | 21 | HUỲNH NGỌC NHƯ | 6 | |
| 22 | VÕ CHÍ THIỆN | 10 | 22 | LÂM THANH PHÚC | 6 | |
| 23 | NGUYỄN HOÀNG THUẬN | 6.8 | 23 | NGUYỄN VĨNH PHÚC | 3 | |
| 24 | LÂM NGỌC THUY | 8.5 | 24 | NGUYỄN YẾN PHỤNG | 6.5 | |
| 25 | LÊ TRUNG TÍN | 9 | 25 | NGUYỄN THỊ THU PHƯƠNG | 7.5 | |
| 26 | LẠC THANH TOÀN | 7.3 | 26 | TRẦN THU PHƯƠNG | 7.3 | |
| 27 | TRANG VĂN ANH TOÀN | 7.5 | 27 | LƯU NHẬT QUANG | 10 | |
| 28 | VƯƠNG THẢO TRANG | 10 | 28 | HUỲNH LONG SANG | 7 | |
| 29 | TRẦN LỆ HUYỀN TRÂN | 7.5 | 29 | NGUYỄN THANH SÉNG | 7 | |
| 30 | QUÁCH TUYẾT TRINH | 8 | 30 | NGUYỄN THỊ THỦY TIÊN | 7.5 | |
| 31 | PHAN ĐÌNH THIỆN UY | 9.5 | 31 | ĐÀO VĂN TOÀN | 8 | |
| 32 | NGUYỄN QUANG VINH | 7.5 | 32 | PHAN PHƯỚC TRƯỜNG | 7.5 | |
| 33 | NGUYỄN LÂM NHƯ Ý | 8 | 33 | BÙI VĂN TƯ | 8.8 | |
| 34 | NGUYỄN NGỌC YẾN | 7.5 | 34 | NGUYỄN VĂN VIỆT | 4.5 | |
| Giá trị Trung bình [ Mean] | 8.36 | Giá trị Trung bình [ Mean] | 7.13 | |||
| Độ lệch chuẩn [SD] | 1.48 | Độ lệch chuẩn [SD] | 1.66 | |||
| Giá trị p [sau tác động] | 0.00098 | Giá trị p [trước tác động] | ||||
| Chênh lệch giá trị TB chuẩn [SMD] | 0.74 |