Phương pháp đánh giá phần tử giải bất phương trình

Trụ sở chính: Tòa nhà Viettel, Số 285, đường Cách Mạng Tháng 8, phường 12, quận 10, Thành phố Hồ Chí Minh

Tiki nhận đặt hàng trực tuyến và giao hàng tận nơi, chưa hỗ trợ mua và nhận hàng trực tiếp tại văn phòng hoặc trung tâm xử lý đơn hàng

Giấy chứng nhận Đăng ký Kinh doanh số 0309532909 do Sở Kế hoạch và Đầu tư Thành phố Hồ Chí Minh cấp lần đầu ngày 06/01/2010 và sửa đổi lần thứ 23 ngày 14/02/2022

• 1. b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 1 PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH MŨ Công th c hàm s mũ và logarit 1. Phương trình và b t phương trình mũ cơ b n ð so sánh hai lũy th a thì chúng ta ph i chuy n hai lũy th a v cùng cơ s và so sánh hai s mũ c a chúng. Trong trư ng h p so sánh BðT (b t phương trình ) thì ta ph i chú ý ñ n s ñơn ñi u c a hàm s mũ ( t c là ph i so sánh cơ s v i 1). Ta xét các phương trình – b t phương trình cơ b n sau. 1. f (x) g(x) a a f (x) g(x)= ⇔ = . 2. alog bf (x) aa b a f(x) log b= = ⇔ = . 3. f (x) g(x) aa b f (x) g(x)log b= ⇔ = . 4. f (x) g(x) a a> (1) + N u a>1 thì (1) f(x) g(x)⇔ > + N u 0 ⇔  − − > . ð gi i phương trình – b t phương trình mũ thì ta ph i tìm cách chuy n v các phương trình – b t phương trình cơ b n trên. Ví d 1: Gi i các phương trình sau 1) 2x 3x 4 x 1 2 4+ − − = 2) 3x 1 5x 8 (2 3) (2 3)+ + + = − 3) x 2 xx 28 36.3 −+ = 4) 3x 1 2x 1 3 x 2 . 4 .8 2 2.0,125+ − − = Gi i: 1) 2 x 3x 4 2x 2 2 2 pt 2 2 x 3x 4 2x 2 x x 2 0 x 1;x 2+ − − ⇔ = ⇔ + − = − ⇔ + − = ⇔ = = − 2) Ta có: 1 (2 3)(2 3) 1 (2 3) (2 3)− + − = ⇒ − = + . 3x 1 5x 8 9 pt (2 3) (2 3) 3x 1 5x 8 x 8 + − − ⇒ ⇔ + = + ⇔ + = − − ⇔ = − . 3) ðK: x 2≠ − 3x x 4 2 4 x 4 xx 2 x 2 3 x 4 Pt 2 2 .3 2 3 log 2 4 x x 2 − − −+ + − ⇔ = ⇔ = ⇔ = − + 3 3 x 4 (x 4)(x 2 log 2) 0 x 2 log 2 = ⇔ − + + = ⇔  = − − . 4) 4x 2 x 1 4x 2x 1 3 3 9 3x 3 9 3x 33 2 32 2 2Pt 2 .2 .2 2 .2 2 2 − + −+ + + − − − − ⇔ = ⇔ =
• 2. b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 2 62 x 7 ⇔ = là nghi m c a phương trình . Chú ý : N u trong bài toán có x thì ñi u ki n c a x là : x 1;x≥ ∈ℕ. Ví d 2: Gi i phương trình : 1) 3x x 33x 2 . 4 . 0.125 4 2= 2) 2 2x x x x 2x 2 4.2 2 4 0+ − − − + = Gi i: 1) ðK : 1 x 3 3x  ≥   ∈ ℕ . Vì các cơ s c a các lũy th a ñ u vi t ñư c dư i d ng lũy th a cơ s 2 nên ta bi n ñ i hai v c a phương trình v lũy th a cơ s 2 và so sánh hai s mũ. Phương trình x 1 1 x 7x 1 2. x 23 3x 3 3 32 2x 1 2 .2 .( ) 2 .2 2 .2 2 2 8 − ⇔ = ⇔ = x x 1 7 22 3 2x 3 x 3 x x 1 7 2 2 5x 14x 3 0 1 2 3 2x 3 x 5 + − = ⇔ = ⇔ + − = ⇔ − − = ⇔  = −  . K t h p v i ñi u ki n ta có x 3= là nghi m c a phương trình . 2) Các lũy th a tham gia trong phương trình ñ u cơ s 2. Ta ñi tìm quan h gi a các s mũ ta th y 2 2 2 2 (x x) (x x) 2x x x (x x) 2x+ − − = ⇒ + = − + . Ta có: 2 2 x x 2x x x 2x PT 2 .2 4.2 2 4 0− − ⇔ − − + = . 2 2 x x 2x 2x 2x x x 2 (2 4) (2 4) 0 (2 4)(2 1) 0− − ⇔ − − − = ⇔ − − = 2 2x x x 2 4 x 1 x 02 1−  = = ⇔ ⇔  = = . Ví d 3: Gi i các b t phương trình sau: 2 x 3x 1 2x 1 3x 2 1) 2 4 1 2) ( ) (0,125) 2 − + + > ≤ 2 x 1 x 2 x 2 x 1 2 2x x 1 2 1 x 3) 3 5 3 5 1 1 4) (x ) (x ) 2 2 + + + + + + − + ≥ + + ≤ + Gi i: 1) x 6x 2 2 BPT 2 2 x 6x 2 x 5 − ⇔ > ⇔ > − ⇔ < . 2) x x x x x x x 5 3 5 3 3 BPT 25.5 5.5 9.3 3.3 20.5 6.3 x log 3 10 10   ⇔ − > − ⇔ > ⇔ > ⇔ >    .
• 3. b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 3 3) 22x 1 3x 2 9x 6 2 21 1 1 BPT 2x 1 9x 6 2x 9x 5 0 2 8 2 + + +       ⇔ ≤ = ⇔ + ≥ + ⇔ − − ≥            1 x ( ; ] [5;+ ) 2 ⇔ ∈ −∞ − ∪ ∞ . 4) Vì 2 1 x 0 2 + > nên ta có các trư ng h p sau * 2 1 1 x 1 x 2 2 + = ⇔ = ± . * 2 2 2 11 x 1 | x |x 1 2 2 1 x 2x x 1 1 x 2x 2x 0 2  ≤ − >+ >  ⇔ ⇔   > + + ≥ − + ≥   . * 2 2 2 11 | x |x 1 1 2 2 x 0 2 2x x 1 1 x 2x 2x 0  <+ <  ⇔ ⇔ − < ≤   + + ≤ − + ≤  . V y nghi m c a b t phương trình là: 1 1 x ( ; 1] [ ;0] [ ; ) 2 2 ∈ −∞ − ∪ − ∪ +∞ . Chú ý : Ta có th gi i bài 4 như sau: 2 21 BPT (x )(2x 2x) 0 2 ⇔ − + ≥ . L p b ng xét d u ta cũng tìm ñư c t p nghi m như trên Ví d 4: Tìm t t c các c p s th c (x;y) th a mãn ñ ng th i các ñi u ki n sau : 2 3|x 2x 3| log 5 (y 4) 3 5 − − − − + = (1) và 2 4| y | | y 1| (y 3) 8− − + + ≤ (2). Gi i: Vì | y | 1 | y 1| 4| y | 1 | y 1| 0+ ≥ − ⇒ + − − ≥ nên t (2) 2 (y 3) 9 y 0⇒ + ≤ ⇒ ≤ 2 (2) y 3y 0 3 y 0⇒ ⇔ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ (*). M t khác 2 |x 2x 3| y 3 (1) 3 5 y 3 0 y 3− − − − ⇔ = ⇒ − − ≥ ⇒ ≤ − (**) Tư (*) và (**) ta có y 3= − 2|x 2x 3| 2 3 0 x 2x 3 0 x 1;x 3− − ⇒ = ⇔ − − = ⇔ = − = . Th l i ta th y các giá tr này th a mãn (1) và (2). V y (x;y) ( 1; 3), (3; 3)= − − − là nh ng c p (x;y) c n tìm. Chú ý : 1) V i bài toán trên ta th y (2) là B t phương trình m t n nên ta tìm cách gi i (2) và ta dư ñoán bài toán th a mãn t i nh ng ñi m biên c a y. 2) Ta có th gi i (2) b ng cách phá b d u tr tuy t ñ i ta cũng tìm ñư c nghi m c a (2) là 3 y 0− ≤ ≤ , tuy nhiên cách làm v y cho ta l i gi i dài.
• 4. b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 4 Ví d 5: Gi i và bi n lu n phương trình : |x 1| 1 2m 1 2 − = − . Gi i: * N u 1 2m 1 0 m 2 − ≤ ⇔ ≤ thì phương trình vô nghi m. * N u |x 1|1 1 m PT 2 (2) 2 2m 1 − > ⇒ ⇔ = − . +) V i |x 1|1 1 m 1 (2) 2 1 (2) 2m 1 − = ⇔ = ⇒ ⇔ = ⇒ − có 1 nghi m x 1= . +) V i m 1 (2)≠ ⇒ có 2 nghi m phân bi t 2x 1 log (2m 1)= ± − . Bài t p: Bài 1: Gi i các phương trình sau: 1) x x 1 x 2 x x 1 x 2 2 2 2 3 3 3+ + + + + + = + + 2) 2 2x x 5 2x 1 3 27+ + + = 3) 2 x 5x 6 x 3 5 2− + − = 4) x 1 x x2 .5 10 − = 5) 2 x 5x 42 2 x 4 (x 3) (x 3) − + + + = + 6) x 5 x 17 x 7 x 332 0,25.128 + + − −= ( x=10). 7) x x x x= (x=1;x=4) 8) 2x 2 x 3 9 9 . 4 16 16 −   =    9) x 1x x x 2 . 27 . 5 180+ = . 10) 2 2 2 x 3x 2 x 6x 5 2x 3x 7 4 4 4 1 − + + + + + + = + . Bài 3: Gi i các b t phương trình sau: 1) 2 x 4x x 4 3 2− − ≤ 2) 10 3 10 3 3 1 1 3 + < − − − + + ) ( ) x x x x 3) 2 2 x x (4x 2x 1) 1− + + ≤ 4) 22x x 1 | x 1| 1+ − − > 5) 2 2 2x 3 2 x (x x 1) (x x 1)− + + < − + 6) x x 2 x x 2.3 2 1 3 2 + − ≤ − 7) 2 x |x 1| x 2x 1 3 3 − − −   ≥     8) 2 2 2 2 x 1 x 2 x 4x x.2 3.2 x .2 8x 12+ + + > + + Bài 4: Tìm m ñ phương trình sau có nghi m duy nh t 2 |x m 2| 3m 1 2m 1 5 − + − = + . Bài 5: Tìm m ñ phương trình 2 |x 4x 3| 4 21 m m 1 5 − +   = − +   có b n nghi m phân bi t.
• 5. b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 5 2) Các phương pháp gi i PT – BPT mũ: 1. Phương pháp ñ t n ph Cũng như PT – BPT vô t và lư ng giác, ñ gi i PT – BPT mũ ta có th dùng phương pháp ñ t n ph . T c là ta thay th m t bi u th c ch a hàm s mũ b ng m t bi u th c ch a n ph mà ta ñ t và chuy n v nh ng phương trình – b t phương trình ma ta ñã bi t cách gi i. Phương pháp ñ t n ph r t phong phú và ña d ng, ñ có ñư c cách ñ t n ph phù h p thì ta ph i nh n xét ñư c quan h c u các cơ s có trong phương trình. Ví d 1: Gi i phương trình: 1) x x 2.16 15.4 8 0− − = 2) 2 cos2x cos x 4 4 3 0+ − = . Gi i: 1) Nh n xét cơ s ta th y 16 chính là bình phương c a 4, t c là ta có: x 2 x x 2 16 (4 ) (4 )= = Nên ta ñ t: x x x 2 2 t 4 ,t 0 16 (4 ) t= > ⇒ = = . Phương trình tr thành: 2 2x 3 3 2t 15t 8 0 t 8 2 2 x 2 − − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = . 2) Vì s mũ c a hai lũy th a trong phương trình là hai hàm s lư ng giác và hai hàm s này bi u th qua nhau b i h th c 2 cos2x 2cos x 1= − nên ta chuy n s mũ c a hai lũy th a ñó v m t hàm lư ng giác. Ta có phương trình 2 2 2cos x cos x 4 4.4 12 0⇔ + − = . ð t 2cos x t 4 ,t 0= > , ta có phương trình : 2 t 4t 12 0 t 2+ − = ⇔ = 22cos x 2 2 2 2cos x 1 cos2x 0 x k 4 2 π π ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + . Nh n xét: Ta có d ng t ng quát c a bài toán trên là: f (x) F(a ) 0= .V i d ng này ta ñ t f (x) t a , t 0= > và chuy n v phương trình F(t) 0= , gi i tìm nghi m dương t c a phương trình, t ñó ta tìm ñư c x. Ta thư ng g p d ng: 2f (x) f (x) m.a n.a p 0+ + = . V i BPT ta cũng làm tương t . Ví d 2: Gi i các b t phương trình: 1) x 1 x 2 2 1− − < 2) 2 2 x 2x x x 2x x 1 9 7.3 2− − − − − − ≤ Gi i: 1) BPT x x 2 2 1 2 ⇔ − < . ð t x t 2 ,t 1= ≥ , ta có: 2 x2 t 1 t t 2 0 1 t 2 2 2 0 x 1 t − < ⇔ − − < ⇔ ≤ < ⇔ < ⇔ ≤ < .
• 6. b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 6 2) BPT 2 2x 2x x x 2x x 3.9 7.3 6− − − − ⇔ − ≤ . ð t 2x 2x x t 3 ,t 0− − = > , ta có b t phương trình : 2 2 2 3t 7t 6 0 t 3 x 2x x 1 x 2x x 1− − ≤ ⇔ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ + 2 2 2 x 2x 0 x 0 V x 2 1 x 1 0 x 1 x 0 V x 2 4 x 1/4x 2x (x 1)  − ≥ ≤ ≥   ⇔ + ≥ ⇔ ≥ − ⇔ − ≤ ≤ ≥    ≥ −− ≤ +  . Ví d 3: Gi i các b t phương trình : 1) 4 4 1 x x x x22.3 9 9 + + + ≥ 2) 2x x x 4 x 4 3 8.3 9.9 0+ + + − − > . Gi i: 1) Trong b t phương trình Chia hai v BPT cho x 9 ta ñư c: 4 4x x x x 2.3 3.9 1− − + ≥ . ð t 4 x x t 3 ,t 0− = > , ta có BPT: 42 x x 11 3t 2t 1 0 t 3 3 3 − − + − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ 4 4 4 1 5 7 3 5 x x 1 x x 1 0 x 0 x 2 2 + + ⇔ − ≥ − ⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ≤ . 2) Chia hai v BPT cho x 4 9 + ta ñư c: 2(x- x+4) x x 4 3 8.3 9 0− + − − > ð t x x 4 t 3 ,t 0− + = > , ta có: 2 x x 4 2 t 8t 9 0 t 9 3 3− + − − > ⇔ > ⇔ > 2 2 x 2 0 x 2 x x 4 2 x 2 x 4 x 0 (x 2) x 4 x 3x 0 + > > −   − + > ⇔ + > + ⇔ ⇔ ⇔ >  + > + + >   . Ví d 4: Gi i các phương trình sau: 1) 2 2 x x 2 x x 2 2 3− + − − = 2) 3x x 3(x 1) x 1 12 2 6.2 1 2 2 − − − + = . Gi i: 1) PT 2 2 2 2 x x 2(x x) x x x x 4 2 3 2 3.2 4 0 2 − − − − ⇔ − = ⇔ − − = . ð t 2x x t 2 ,t 0− = > . Ta có: 2 2 x 1 t 3t 4 0 t 4 x x 2 0 x 2 = − − − = ⇔ = ⇔ − − = ⇔  = . 2) ð t x t 2 ,t 0= > ta có: 3 3 3 3 8 12 8 2 t 6t 1 (t ) 6(t ) 1 0 t tt t − − + = ⇔ − − − − = . ð t 3 2 2 2 3 2 2 8 2 4 2 2 y t t t t 2 t (t ) 6 y(y 6) t t t tt t       = − ⇒ − = − + + = − − + = +           
• 7. b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 7 Nên ta có phương trình : 3 22 y 1 0 y 1 t 1 t t 2 0 t 2 x 1 t − = ⇔ = ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ = ⇔ = . Ví d 5: Gi i phương trình : 1) x x (5 24) (5 24) 10+ + − = 2) x x (7 4 3) 3(2 3) 2 0+ − − + = . Gi i: Nh n xét hai cơ s ta th y: x x (5 24)(5 24) 1 (5 24) (5 24) 1+ − = ⇒ + − = . Do v y n u ñ t x x 1 t (5 24) ,t 0 (5 24) t = + > ⇒ − = và phương trình ñã cho tr thành 21 t 10 t 10t 1 0 t 5 24 t + = ⇔ − + = ⇔ = ± . T ñây ta tìm ñư c x 1= ± . Nh n xét: Bài toán trên có d ng t ng quát như sau: f (x) f (x) m.a n.b p 0+ + = , trong ñó a.b 1= . ð t f (x) f (x) 1 t a , t 0 b t = > ⇒ = . 2) Ta có: 2 7 4 3 (2 3)+ = + và (2 3)(2 3) 1− + = nên ta ñ t x t (2 3) ,t 0= + > ta có phương trình : 2 3 23 t 2 0 t 2t 3 0 (t 1)(t t 3) 0 t 1 t − + = ⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔ = x (2 3) 1 x 0⇔ + = ⇔ = . Ví d 6: Gi i các phương trình sau: 1) x x x 6.9 13.6 6.4 0− + = 2) 2 2 2 x 2x 1 2x x 2x x 1 9 34.15 25 0− + + − − + − + = Gi i: 1) Nh n xét các cơ s ta có: 2 2 9 3 ;4 2 ;6 3.2= = = , do ñó n u ñ t x x a 3 ,b 2= = , ta có: 2 2 6a 13ab 6b 0− + = ñây là phương trình ñ ng c p b c hai ñ i v i a,b. Chia hai v PT cho b2 và ñ t x a 3 t b 2  = =    ta ñư c: 2 3 2 6t 13t 6 0 t ,t 2 3 − + = ⇔ = = . T ñây ta có: x 1= ± . Nh n xét: Ta có d ng t ng quát c a phương trình trên là: 2f (x) f (x) 2f (x) m.a n.(a.b) p.b 0+ + = . Chia 2 v phương trình cho 2f (x) b và ñ t f (x)a t ( ) , t 0 b = > . Ta có PT: 2 mt nt p 0+ + = . 2) PT 2 2 2 2x x 2x x 2x x 9.9 34.15 25.25 0− − − ⇔ − + =
• 8. b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 8 2 2 2(2x x ) 2x x 23 3 9 34 25 0 9t 34t 25 0 5 5 − −     ⇔ − + = ⇔ − + =        (V i 22x x 3 t ,t 0 5 −   = >    ). 25 t 1; t 9 ⇔ = = . * 22x x 23 t 1 1 2x x 0 x 0;x 2 5 −   = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = =    . * 22x x 2 225 3 3 t x 2x 2 0 x 1 3 9 5 5 − −     = ⇔ = ⇔ − − = ⇔ = ±        . Ví d 7:Gi i phương trình: 1) x x 3x 1 125 50 2 + + = 2) x x x x 3.8 4.12 18 2.27 0+ − − = . Gi i: 1) PT 3x 2x 3x 2x x 3x 5 5 5 5 .2 2.2 2 0 2 2     ⇔ + = ⇔ + − =        ð t x 5 t ,t 0 2   = >    ta ñư c: 3 2 2 t t 2 0 (t 1)(t 2t 2) 0 t 1 x 0+ − = ⇔ − + + = ⇔ = ⇔ = . V y phương trình có nghi m x 0= . 2) PT 3x 2x x 2 2 2 3 4. 2 0 3 3 3       ⇔ + − − =            . ð t x 2 t ,t 0 3   = >    ta ñư c: 3 2 2 2 3t 4t t 2 0 (t 1)(3t t 2) 0 t x 1 3 + − − = ⇔ + + − = ⇔ = ⇔ = . Ví d 8: Tìm m ñ các phương trình sau có nghi m 1) x x 4 5.2 m 0+ + = 2) x x7 3 5 7 3 5 ( ) m( ) 8 2 2 + − + = . Gi i: 1) ð t x t 2 ,t 0.= > Phương trình tr thành: 2 t 5t m+ = − (1). Suy ra phương trình ñã cho có nghi m (1)⇔ có nghi m t 0> . V i t 0> ta có hàm 2 f (t) t 5t 0= + > và liên t c nên phương trình ñã cho có nghi m m 0 m 0⇔ − > ⇔ < . 2) ð t : x 7 3 5 t ,t 0 2  + = >    , ta có phương trình : 2m t 8 t 8t m t + = ⇔ − = − (2) Suy ra phương trình ñã cho có nghi m (1)⇔ có nghi m t 0> . Xét hàm s 2 f (t) t 8t= − v i t 0> , ta có: 2 f (t) (t 4) 16 16= − − ≥ − nên phương trình ñã cho có nghi m m 16 m 16− ≥ − ⇔ ≤ .
• 9. b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 9 Ví d 9: Tìm m ñ b t phương trình sau có nghi m: 1) x x 9 m.3 1 0+ + ≤ 2) 2x x x 4 x 4 3 m.3 9.9 0+ + + − − < . Gi i: 1) ð t x t 3 ,t 0= > . B t phương trình tr thành: 2 2 t 1 t mt 1 0 m t + + + ≤ ⇔ ≤ − (3). B t phương trình ñã cho có nghi m ⇔ (3) có nghi m t 0 t 0 Minf(t) m > > ⇔ ≤ − (*). Xét hàm s 2 t 1 f (t) t + = v i t 0> . Ta có 2 2 t 1 f '(t) f '(t) 0 t 1 t − = ⇒ = ⇔ = . T ñây suy ra t 0 Minf (t) f (1) 2 (*) m 2 m 2 > = = ⇒ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ − . Chú ý : BPT : ( )f (x) k f(x) k≤ ≥ có nghi m trên D D D Minf(x) k (Max k)⇔ ≤ ≥ 2) Chia hai v c a BPT cho x x 4 3 + + ta ñư c: x x 4 x 4 x 9 3 9.3 m 0 f(t) t m t − + + − − − < ⇔ = − < (**), trong ñó x x 4 t 3 − + = Xét hàm s u(x) x x 4= − + v i x 4≥ − . Ta có 1 1 15 15 17 u'(x) 1 u'(x) 0 x 4 x u(x) u( ) 4 4 4 42 x 4 = − ⇒ = ⇔ + = ⇔ = − ⇒ ≥ − = − + Suy ra 17 4t 3 − ≥ . Xét hàm s f(t) trên 4 1 D [ ; ) 81 3 = +∞ , ta có f(t) là hàm ñ ng bi n nên 4 4D 1 1 729 3 Minf (t) f( ) 81 3 81 3 − = = ⇒ BPT ñã cho có nghi m ⇔ (**) có nghi m t D∈ 4D 1 729 3 m Min f(t) 81 3 − ⇔ > = . Chú ý : 1) bài toán trên chúng ta thư ng m c sai l m là khi ñ t t ta cho r ng ñi u ki n c a t là t 0> ! D n ñ n ñi u này là do chúng ta không xác ñ nh t p giá tr c a u(x) và lúc ñó ta s cho l i gi i sai!. 2) BPT D D f (x) k (f (x) k) x D Minf (x) k (Maxf(x) k)≥ ≤ ∀ ∈ ⇔ ≥ ≤ . Ví d 10: Tìm t t c các giá tr c a tham s a sao cho b t phương trình sau ñư c nghi m ñúng v i m i x 0≤ : x 1 x x a.2 (2a 1)(3 5) (3 5) 0+ + + − + + < . Gi i: BPT x x x 2a.2 (2a 1)(3 5) (3 5) 0⇔ + + − + + <
• 10. b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 10 x x 3 5 3 5 (2a 1) 2a 0 2 2    + − ⇔ + + + <        ð t x x 3 5 1 3 5 t ,0 t 1 x 0 2 t 2    + − = < ≤ ∀ ≤ ⇒ =        và b t phương trình tr thành: 2 21 t 1 t (2a 1) 2a 0 t 1 2a(t 1) 2a ( ) t t 1 + + + + < ⇔ + < − + ⇔ < − + I Xét hàm s 2 t 1 f (t) t 1 + = + v i t D (0;1]∈ = . Ta có: 2 2 (0;1] t 2t 1 f '(t) f '(t) 0 t 1 2 Maxf(t) f (1) 1 (t 1) + − = ⇒ = ⇔ = − + ⇒ = = + . BPT ñã cho nghi m ñúng x 0 ( )∀ ≤ ⇔ I ñúng (0;1] 1 t (0;1] 2a Maxf(t) a 2 ∀ ∈ ⇔ − > ⇔ < − . Ví d 11: Tìm m ñ bpt 2 2 2 2x x 2x x 2x x m.9 (2m 1)6 m.4 0− − − − + + ≤ nghi m ñúng v i m i x th a mãn 1 | x | 2 ≥ . Gi i: Chia hai v b t phương trình cho 22x x 4 − và ñ t 22x x 3 t 2 −   =     ta có b t phương trình : 2 2 m.t (2m 1)t m 0 t m(t 2t 1)− + + ≤ ⇔ ≥ − + (*). Xét hàm s 2 u(x) 2x x= − v i 1 | x | 2 ≥ , có 1 1 u'(x) 4x 1 u(x) u( ) 0 | x | 2 2 = − ⇒ ≥ = ∀ ≥ 1 t 1 | x | 2 ⇒ ≥ ∀ ≥ . * V i t=1 ta th y (*) ñúng. * V i 2 t t 1 (*) f(t) m (**) t 2t 1 > ⇒ ⇔ = ≥ − + Ta có 2 4 t 1 f '(t) 0 t 1 f (t) (t 1) − + = < ∀ > ⇒ − ngh ch bi n trên (1; )+∞ Mà t lim f (t) 0 f(t) 0 t 1 →+∞ = ⇒ > ∀ > . Suy ra (**) ñúng t 1 m 1∀ > ⇔ ≤ .
• 11. b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 11 2. Phương pháp ñánh giá. N i dung phương pháp này là d a vào tính ñơn ñi u c a hàm s mũ ñ tìm nghi m c a phương trình. ðư ng l i chính là ta d ñoán m t nghi m c a phương trình r i d a vào tính ñơn ñi u c a hàm s mũ ch ng minh phương trình có nghi m duy nh t. Ví d 1: Gi i các phương trình sau x x x 1) 4 3 5+ = x 2) 3 4 x= − Gi i: 1) Ta khó tìm ñư c m i liên h gi a các cơ s xu t hi n trong bài toán. Tuy nhiên ta nh n th y phương trình có nghi m x=2. Ta tìm cách ch ng minh x=2 là nghi m duy nh t c a phương trình. ð làm ñi u này ta chia hai v phương trình cho x 5 (Nh m t o ra hàm s VT ngh ch bi n) ta ñư c: x x 4 3 1 5 5     + =        (1). G i f(x) là VT c a (1) f (x)⇒ là hàm ngh ch bi n và f (2) 1= . * x 2 f(x) f(2) 1 (1)> ⇒ < = ⇒ vô nghi m. * x 2 f(x) f(2) 1 (1)< ⇒ > = ⇒ vô nghi m. V y phương trình có nghi m duy nh t x 2= . 2) Ta có: x PT 3 x 4⇔ + = (2) Ta th y VT c a (2) là m t hàm ñ ng bi n và x=1 là m t nghi m c a phương trình và ñây cũng là nghi m duy nh t c a phương trình ñã cho. Ví d 2: Gi i các phương trình sau: x x 1) 3.4 (3x 10)2 3 x 0+ − + − = 2 x 4 2 x 2 2) 4 (x 4)2 1− − + − = . Gi i: Ví d 2: Gi i và bi n lu n phương trình: + + + + + − = + + 2 2 2 2 2 4 2 2 5 5 2x mx x mx m x mx m Bài t p: Bài 1: Gi i các phương trình sau 1) 4x 8 2x 5 3 4.3 27 0+ + − + = 2) x 1 x 5 x 1 23.2 2 4 0 − + + − + = 3) x x x 3 (5 21) 7(5 21) 2 + − + + = 4) sin x sin x ( 5 2 6) ( 5 2 6) 2+ + − =
• 12. b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 12 5) 082.124 52152 =+− −−−−− xxxx 6) Bài 2: Gi i các b t phương trình sau: 1) 2 2 2x x x 2x 1 9 2 3 3 − −   − ≤    Bài t p Bài 1: Gi i các phương trình và b t phương trình sau x x x+1 x 7) 25 6.5 5 0 8) 3 18.3 29− − + > + < x+1 x 2 x x x 2x 1 x 2x 1 x x x x 10) 4 2 3 0 11) 12) 3.16 2.81 5.36 13) 2 5.6 3 0 14) ( 2 3) ( 2 3) 14 15) ( 7 48) ( 7 48) 14 16) + + + + − = + = − − ≥ + + − = + + − ≤ Bài 2: Tìm m ñ các phương trình và B t phương trình sau có nghi m: + + + − + − = − + − ≤ 2 1 1) .9 ( 1)3 1 0 2)4 .2 3 2 0 x x x x m m m m m
• 13. b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 13 PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1.Phương trình cơ b n * = = ⇔  ≥ ≥ ( ) ( ) log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ( ) 0) a a f x g x f x g x f x g x * = ⇔ =log ( ) ( ) b a f x b f x a * ≥log ( ) log ( )a af x g x (*) + N u a>1 thì > ⇔  > ( ) ( ) (*) ( ) 0 f x g x g x + N u 0 ( ) ( ) (*) ( ) 0 f x g x f x Chú ý: log ( )a f x có nghĩa > ⇔  < ≠ ( ) 0 0 1 f x a Ví d 1: Gi i các phương trình sau − + − = − + = − + + + − − = 3 3 3 2 2 2 1) log ( 1) log ( 2) log 6 2) lg( 7 6) lg( 1) 1 3) ( 1-x 1 2)log ( ) 0 x x x x x x x x − − + ≥ − + − < + − < − 2 1 2 2 5 5 5 3 4) log ( 3 2) 1 5)log (4 144) 4 log 2 log 5(2 1) 2 3 6) log 1 1 x x x x x x 2. Các phương pháp gi i Phương trình-B t phương trình logarit Phương pháp ñ t n ph : *Công th c ñ i cơ s : == log log log a b a x x b . Ví d 1: Gi i các phương trình và b t phương trình sau
• 14. b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 14 −+ − = + = + + − = 2 1 2 5 5 2 2 3 3 1) 1 log ( 1) log 4 5 2) log log 1 3) log log 1 5 0 x x x x x x x   − + <     + + > + 3 4 2 2 1 12 2 2 2 2 2 2 4 2 32 4) log log 9log 4 log 8 5) log (2 3 2)1 log (2 3 2) x x x x x x x x 2 3 2 3 16 2 lg lg 5 2 lg 7 lg 14 log (1 2 ) 2 )lg lg 2 0 1 2 ) 1 4 lg 2 lg )3log 16 4 log 2log )5 50 )log 16 log 64 3 ) 10 *)9 5 5 x x xx x x x a x x c x x d x x f x g h x i x + + − − + = + = − + − = + = + = = = − + + ≥ − + + − = − − + = ∈ + − + ≤ − = − > ≥ 3 2 2 2 1 1 1 2 2 8 4 22 2 327 2 12 2 1 1 2 2 4 5 3 1 3 log log 2 2 1)log (4 4) log (2 3.2 ) 1 1 2) log ( 3) log ( 1) log (4 ) 2 4 3) 16log 3log 4) 4(log ) log 0 (0;1) 5)log 2log ( 1) log 6 0 6)log (5 4) 1 7)log log 3 8) 2 2 9) x x x xx x x x x x x x x x x x m x x x x x x π + − <2 2 4 log (log ( 2 ) 0x x x
• 15. b t phương trình – h phương trình mũ và Lôgarit Nguy n T t Thu – Trư ng Lê H ng Phong – Biên Hòa 15