Tiếp tuyến với đường tròn (C x2+y2 2 tại điểm M(1;1) có phương trình là)

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Nội dung bài viết Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước. Cho đường tròn (C) có tâm I(a, b) và bán kính R. Viết phương trình tiếp tuyến (∆) của (C) có phương xác định trước. Viết dạng phương trình tổng quát của ∆. Sử dụng điều kiện cho trước và d(I, ∆) = R để tìm phương trình tổng quát của ∆. BÀI TẬP DẠNG 5 Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số a để đường thẳng (∆): x + (a − 1)y − a = 0 tiếp xúc với đường tròn (C): x2 + y2 − 2x + 4y + 2 = 0. Đường tròn (C) có tâm I(1; −2) và bán kính R = √2 + 22 − 2 = √3. Để đường thẳng (∆) là tiếp tuyến của đường tròn (C) thì d(I, ∆) = R ⇔ |1 − 2(a − 1) − a|. Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x + 4y + 4 = 0 biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 2y + 5 = 0. Đường tròn (C) có tâm I(1; −2) và bán kính R = 1. Vì ∆ vuông góc với đường thẳng x + 2y + 5 = 0 nên phương trình ∆ có dạng 2x − y + m = 0. Vì ∆ là tiếp tuyến của (C) nên ta có d(I, ∆) = R ⇔ |2 + 2 + m|. Nếu m = √5 − 4 thì phương trình của ∆ là 2x − y + √5 − 4 = 0. Nếu m = √5 − 4 thì phương trình của ∆ là 2x − y − √5 − 4 = 0. Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn (C): x2 + y2 − 2x − 4y + 4 = 0 biết rằng tiếp tuyến hợp với đường thẳng (d): x + y − 5 = 0 một góc 45◦. Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = √2 + 22 − 4 = 1. Gọi véc-tơ pháp tuyến của ∆ là n1 = (a; b) trong đó a2 + b2 khác 0. Véc-tơ pháp tuyến của d là n2 = (1; 1). Vì (∆) tạo với d một góc 60◦ nên ta có. Với a = 0, phương trình ∆ có dạng y + m = 0. Có d(I, ∆) = R ⇔ |2 + m| ⇔ m = −1, m = −3. Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆ là y − 1 = 0 hoặc y − 3 = 0. Với b = 0, phương trình ∆ có dạng x + m = 0. Có d(I, ∆) = R ⇔ |1 + m| = 1 ⇔ m = 0, m = −2. Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆ là x = 0 hoặc x − 2 = 0. Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm ∆ là y − 1 = 0 hoặc y − 3 = 0 hoặc x = 0 hoặc x − 2 = 0. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Tìm giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (∆) : (m − 1)y + mx − 2 = 0 là tiếp tuyến của đường tròn (C) : x2 + y2 − 6x + 5 = 0. Đường tròn (C) có tâm I(3; 0) và bán kính R = 2. Để (∆) là tiếp tuyến của đường tròn (C) thì ta phải có d(I, ∆) = |3m − 2| (m − 1)2 + m2 = 2 ⇔ 4(2m2 − 2m + 1) = 9m2 − 12m + 4 ⇔ m2 − 4m = 0 ⇔ m = 0, m = 4. Bài 2. Cho đường tròn (C): x2 + y2 − 4x − 6y − 12 = 0 và đường thẳng d : 3x + 4y − 6 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) thỏa mãn: a) Song song với đường thẳng d. b) Vuông góc với đường thẳng d. (C) có tâm I(2; 3), bán kính R = 5. a) Phương trình đường thẳng ∆1 song song với d có dạng: 3x + 4y + c1 = 0. ∆1 tiếp xúc với (C) nên d(I, ∆1) = R. Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d là 3x + 4y + 7 = 0 hoặc 3x + 4y − 43 = 0. b) Phương trình đường thẳng ∆2 song song với d có dạng: 4x − 3y + c2 = 0. ∆2 tiếp xúc với (C) nên d(I, ∆2) = R. Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d là 4x − 3y + 26 = 0 hoặc 4x − 3y − 24 = 0. Bài 3. Cho đường tròn (C) : (x − 1)2 + y2 = 9. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x − 1. Gọi phương trình tiếp tuyến (∆) song song với y = 2x − 1 là y − 2x + n = 0. Đường tròn (C) có tâm I(1; 0) và bán kính R = 3. Phương trình tiếp tuyến (∆) là y − 2x + 2 − 3√5 = 0 hoặc y − 2x + 2 + 3√5 = 0. Bài 4. Cho đường tròn (C): x2 + y2 = 25. Viết phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn (C) biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền và cạnh góc vuông nằm trên Ox lớn hơn cạnh góc vuông nằm trên (Oy). Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền và cạnh góc vuông nằm trên Ox lớn hơn cạnh góc vuông nằm trên (Oy) nên ta suy ra tiếp tuyến tạo với trục Ox góc 30◦. Đường tròn (C) có tâm O(0; 0) và bán kính R = 5. Gọi véc-tơ pháp tuyến của (∆) là n = (a, b) với a2 + b2 > 0. Bài 5. Cho đường tròn (C): x2 + y2 − 2x − 4y = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn sao cho tiếp tuyến đó cắt các trục tọa độ tạo thành một tam giác cân. Phương trình đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = √5. Để tiếp tuyến cùng với các trục tọa độ tạo thành tam giác cần thì tiếp tuyến phải có hệ số góc là 1 hoặc −1. a) Nếu tiếp tuyến có hệ số góc bằng −1 thì ta có thể giả sử phương trình tiếp tuyến (∆) là x + y + m = 0. b) Nếu tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 thì ta có thể giả sử phương trình tiếp tuyến (∆) là x − y + m = 0. Bài 6. Cho đường tròn (C1): x2 + y2 − 6x − 8y − 11 = 0 và đường tròn (C2): x2 + y2 − 2x − 6y − 6 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). (C1) có tâm I1(3; 4), bán kính R1 = 6. (C2) có tâm I2(1; 3), bán kính R2 = 4. Có 2 = |R1 − R2| < I1I2 = (1 − 3)2 + (3 − 4)2 = √5 < R1 + R2 = 10. Do đó (C1) và (C2) cắt nhau và có 2 tiếp tuyến chung. Phương trình tiếp tuyến chung ∆ có dạng ax + by + c = 0, (a2 + b2 khác 0).

Bài 7. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1) : x2 + y2 + 2x − 2y − 3 = 0 và (C2) : x2 + y2 − 4x − 14y + 48 = 0 sao cho 2 đường tròn nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ là tiếp tuyến chung đó. Đường tròn (C1) có tâm I1(−1; 1) và bán kính R1 = √5. Đường tròn (C2) có tâm I2(2; 7) và bán kính R2 = √5. Do đó tiếp tuyến chung cần tìm của hai đường tròn song song với đường thẳng I1I2. Ta có I1I2 = (3; 6). Suy ra véc-tơ pháp tuyến của I1I2 là n = (2; −1). Do đó phương trình tiếp tuyến chung cần tìm (∆) của (C1); (C2) có dạng 2x − y + m = 0. Vì vậy phương trình tiếp tuyến chung cần tìm của (C1) và (C2) là 2x − y − 2 = 0 hoặc 2x − y + 8 = 0.

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Nội dung bài viết Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm. Viết phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn (C) tâm I(a, b), tại điểm M(x0, y0) thuộc (C). Ta có IM = (x0 − a; y0 − b) là véc-tơ pháp tuyến của ∆. Do đó ∆ có phương trình là (x0 − a)(x − x0) + (y0 − b)(y − y0) = 0. BÀI TẬP DẠNG 3. Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x − 2)2 + (y + 3)2 = 5 tại điểm M(3; −1). Lời giải. Đường tròn (C) có tâm I(2; −3). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(3; −1) là: (3 − 2)(x − 3) + (−1 + 3)(y + 1) = 0 ⇔ x + 2y − 1 = 0. Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(3; −1) là x + 2y − 1 = 0. Ví dụ 2. Cho đường tròn (Cm): x2 + y2 + 2(m − 1)x − 2my − 4 = 0. Biết rằng khi m thay đổi, đường tròn (Cm) luôn đi qua điểm I cố định có hoành độ dương. Tìm giá trị của m sao cho tiếp tuyến của đường tròn (Cm) tại I song song với (d): x − 2y − 1 = 0. Lời giải. Giả sử đường tròn (Cm) luôn đi qua điểm I(x0; y0) cố định khi m thay đổi. Khi đó ta có x2 + y2 + 2(m − 1)x0 − 2my0 − 4 = 0 với mọi m ⇔ m(2×0 − 2y0) + x2 + y ⇔ x0 = y0 = −1, x0 = y0 = 2. Vậy ta có điểm I(2; 2). Đường tròn (Cm) có tâm J(1 − m; m). Véc-tơ pháp tuyến của tiếp tuyến của (Cm) tại I là IJ = (−m − 1; m − 2). Để tiếp tuyến tại I song song với (d): x − 2y − 1 = 0 thì tồn tại k sao cho: IJ = k(1; −2) ⇔ −m − 1 = k, m − 2 = −2k ⇔ m = −4, k = 3. Vậy m = −4 thỏa mãn yêu cầu đề bài. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyển của đường tròn (C): (x + 2)2 + (y − 3)2 = 5 tại điểm M(−1; 1). Lời giải. Đường tròn (C) có tâm I(−2; 3). Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M(−1; 1) là 1(x + 1) − 2(y − 1) = 0 hay x − 2y + 3 = 0. Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2 + y2 − 2x = 0 tại điểm M(1; 1). Đường tròn (C) có tâm I(1; 0). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1; 1) là y = 1. Bài 3. Cho đường tròn (C): x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0 và đường thẳng (∆): y − x + 1 = 0. Gọi M, N là giao điểm của (C) và (∆). Tìm tọa độ giao điểm của tiếp tuyến của đường tròn (C) kẻ tại M, N. Tọa độ M, N là giao điểm của hệ phương trình sau y − x + 1 = 0, x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0 ⇔ y = x − 2y2 − 4y = 0 ⇔ x = 1; y = 0, x = 3; y = 2. Không mất tổng quát, ta giả sử M(1; 0) và N(3; 2). Đường tròn (C) có tâm I(1; 2). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y = 0. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại N là x = 3. Tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến là nghiệm của hệ phương trình y = 0, x = 3. Vậy tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến là A(3; 0).

Bài 4. Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 + 2x − 2y − 3 = 0 và (C2): x2 + y2 − 4x − 14y + 33 = 0. a) Chứng minh rằng (C1) và (C2) tiếp xúc với nhau. b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại tiếp điểm. a) Đường tròn (C1) có tâm I(−1; 1) và bán kính R1 = √5. Đường tròn (C2) có tâm J(2; 7) và bán kính R2 = 2√5. Ta có IJ = (2 + 1)2 + (7 − 1)2 = 3√5 = R1 + R2. Do đó (C1) tiếp xúc ngoài với (C2). b) Gọi M là tiếp điểm của (C1) và (C2). Khi đó ta có IJ = 3 IM ⇒ OM = OJ + OI. Suy ra M (0; 3) ⇒ IM = (1; 2). Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại M là x + 2(y − 3) = 0 hay x + 2y − 6 = 0. Bài 5. Cho đường tròn (Cm): x2 + y2 − (m − 2)x + 2my − 1 = 0. a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường tròn (Cm) luôn đi qua điểm cố định. b) Gọi I là điểm cố định ở câu trên sao cho I có hoành độ âm. Tìm m sao cho tiếp tuyến của đường tròn (Cm) tại I song song với đường thẳng (d): x + 2y = 0.