Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x 4 căn x+1+m = 0 có 2 nghiệm phân biệt

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình [[x^2] - 4căn [[x^2] + 1] - [ [m - 1] ] = 0 ] có [4 ] nghiệm phân biệt

Câu 44642 Vận dụng cao

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình \[{x^2} - 4\sqrt {{x^2} + 1} - \left[ {m - 1} \right] = 0\] có \[4\] nghiệm phân biệt

Đáp án đúng: b

Phương pháp giải

- Đặt ẩn phụ \[t = \sqrt {{x^2} + 1} \], tìm điều kiện của \[t\]

- Biến đổi phương trình về bậc hai ẩn \[t\] và tìm điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán [sử dụng phương pháp hàm số]

Ta có: \[{x^4} – 4{x^2} + m = 0 \Leftrightarrow {x^4} – 4{x^2} = – m\]

Xét hàm số \[y = {x^4} – 4{x^2}\]

\[\begin{array}{l} y’ = 4{x^3} – 8x = 4x[{x^2} – 2]\\ y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = – \sqrt 2 \\ x = \sqrt 2 \end{array} \right. \end{array}\]

Bảng biên thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm khi và chỉ khi:

\[\left[ \begin{array}{l} – m = – 4\\ – m > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 4\\ m

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \[{x^4} - 3{x^2} - m - 1 = 0\] có hai nghiệm phân biệt.

A.

\[m >  - 1\] hoặc \[m =  - \frac{{13}}{4}.\]

B.

C.

\[m \ge  - 1\] hoặc \[m =  - \frac{{13}}{4}.\]

D.

Tìm tập các giá trị thực của tham số m để phương trình \[4{{\left[ \sqrt{2}+1 \right]}^{x}}+{{\left[ \sqrt{2}-1 \right]}^{x}}-m=0\] có đúng hai nghiệm âm phân biệt.

A.

B.

C.

D.

Điều kiện xác định x∈R

Đặt t=x2+1,t≥1

Phương trình trở thành t2-1-4t-m+1=0⇔t2-4t=m2

Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình [2] có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.

Xét hàm số ft=t2-4t có đồ thị là parabol có hoành độ đỉnh x=2∈1;+∞ nên ta có bảng biến thiên:

Dựa BBT ta thấy để [2] có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 thì -4