Tính tích P của tất cả các giá trị của x thỏa mãn C_x 14 công C_x 24 2 C_x 114

Trang 1/80 CHỦ ĐỀ 2. TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [ ; ]. ab Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [ ; ]. ab Hiệu số [] [ ] F b F a − được gọi là tích phân từ a đến b [hay tích phân xác định trên đoạn [; ] ab của hàm số [ ], f x kí hiệu là [] . b a f x dx ∫ Ta dùng kí hiệu [ ] [] [ ] b a F x F b F a = − để chỉ hiệu số [] [ ] F b F a − . Vậy [] [] [ ] [ ] b b a a f x dx F x F b F a = = − ∫ . Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi [] b a f x dx ∫ hay [] . b a f t dt ∫ Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số. Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [; ] ab thì tích phân [] b a f x dx ∫ là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số [] y f x = , trục Ox và hai đường thẳng , . x ax b = = Vậy [] . b a S f x dx = ∫ 2. Tính chất của tích phân 1. [] 0 a a f x dx = ∫ 2. [] [] ba a b f x dx f x dx = − ∫∫ 3. [] [] [] bc c ab a f x dx f x dx f x dx += ∫ ∫ ∫ [ abc ∫∫ . Câu 30. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? A. 11 00 sin[1 ] sin x dx xdx −= ∫∫ . B. 1 0 [1 ] 0 x x dx += ∫ . C. 2 00 sin 2 sin 2 x dx xdx π π = ∫∫ . D. 1 2017 1 2 [1 ] 2019 x x dx − += ∫ . Câu 31. Cho hàm số [] y fx = lẻ và liên tục trên đoạn [ 2;2] − . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào luôn đúng? A. 22 20 ] [] 2 [ f x dx f x dx − = ∫∫ . B. 2 2 [] 0 f x dx − = ∫ . C. 20 22 2 [] [] f x dx f x dx −− = ∫ ∫ . D. 22 20 ] [] 2 [ f x dx f x dx − = − ∫∫ . Câu 32. Bài toán tính tích phân 1 2 2 [ 1] I x dx − = + ∫ được một học sinh giải theo ba bước sau: I. Đặt ẩn phụ 2 [ 1] t x = + , suy ra 2[ 1] dt x dx = + , II. Từ đây suy ra 2[ 1] 2 dt dt dx dx x t =⇒= + . Đổi cận x 2 − 1 t 1 4 III. Vậy 4 1 4 23 1 21 17 [ 1] 33 2 t I x dx dt t t − = += = = ∫∫ . Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A. Sai từ Bước I. B. Sai ở Bước III. C. Sai từ Bước II. D. Bài giải đúng. Câu 33. Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân. Mỗi bài giải đúng được 2,5 điểm, mỗi bài giải sai [sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm] được 0 điểm. Học sinh đã giải 4 bài toán đó như sau: Bài Đề bài Bài giải của học sinh 1 2 1 0 x e xdx ∫ [ ] 2 2 2 1 1 0 00 2 1 11 2 22 x xx ee e xdx e d x − = = = ∫∫ 2 1 2 0 1 2 dx xx −− ∫ [ ] 1 1 2 0 2 0 1 ln 2 ln 2 ln 2 0 2 dx x x xx = −− = − = −− ∫ 3 0 sin 2 cos x xdx π ∫ Đặt cos tx = , suy ra sin dt xdx = − . Khi 0 x = thì 1 t = ; khi x π = thì 1 t = − . Vậy 1 1 3 22 1 00 1 24 sin 2 cos 2 sin cos 2 33 t x xdx x xdx t dt π π − − = = − == ∫∫ ∫ Trang 10/80 4 1 1 [4 2 ]ln e ex dx x + − ∫ [ ] [ ] 11 2 1 1 [4 2 ]ln 1 [4 2 ]ln ln [4 2 ]ln 3 e e e ex dx e x d x x x ex e + − = + −   = + − =−   ∫∫ Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu? A. 5,0 điểm. B. 2,5 điểm. C. 7,5 điểm. D. 10,0 điểm. Câu 34. Cho hai hàm số liên tục f và g liên tục trên đoạn [; ] ab . Gọi F và G lần lượt là một nguyên hàm của f và g trên đoạn [; ] ab . Đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. [ ] [] [] [] [] [] [] b b b a a a f x G x dx F x g x F x G x dx = − ∫∫ . B. [ ] [] [] [] [] [] [] bb b a aa f x G x dx F x G x F x g x dx = − ∫∫ . C. [ ] [] [] [] [] [] [] bb b a aa f x G x dx f x g x F x g x dx = − ∫∫ . D. [ ] [] [] [] [] [] [] bb b a aa f x G x dx F x G x f x g x dx = − ∫∫ . Câu 35. Tích phân 0 2 x I xe dx − − = ∫ có giá trị bằng A. 2 1 e − + . B. 2 31 e − . C. 2 1 e − − . D. 2 21 e −+ . Câu 36. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [; ] ab và số thực k bất kỳ trong  . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? A [ ] [] [] [] [] b bb a aa f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫∫ . B. [] [] ba ab f x dx f x dx = − ∫∫ . C. [] [] bb aa kf x dx k f x dx = ∫∫ . D. [] [] bb aa xf x dx x f x dx = ∫∫ . Câu 37. Cho hàm số f liên tục trên  và số thực dương a . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào luôn đúng? A. [] 1 a a f x dx = ∫ . B. [] 0 a a f x dx = ∫ . C. [] 1 a a f x dx = − ∫ . D. [] [ ] a a f x dx f a = ∫ . Câu 38. Tích phân 1 0 dx ∫ có giá trị bằng A. 2 . B. 1 − . C. 0 . D. 1. Câu 39. Cho số thực a thỏa mãn 12 1 1 a x e dx e + − = − ∫ , khi đó a có giá trị bằng A. 0 . B. 1 − . D. 1. D. 2 . Câu 40. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0; ] π đạt giá trị bằng 0 ? A. [ ] cos3 fx x = . B. [ ] sin 3 fx x = . C. [ ] cos 42 x fx π  = +   . D. [ ] sin 42 x fx π  = +   . Câu 41. Tích phân nào trong các tích phân sau có giá trị khác 2 ? A. 0 sinxdx π ∫ . B. 1 0 2dx ∫ . B. 2 1 ln e xdx ∫ . D. 2 0 xdx ∫ . Trang 11/80 Câu 42. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn 12 1 2 [] [] f x dx f x dx − − = ∫∫ ? A. [ ] cos fx x = . B. [ ] sin fx x = . C. [] x fx e = . D. [] 1 fx x = + . Câu 43. Tích phân 5 2 dx I x = ∫ có giá trị bằng A. 1 ln 3 3 . B. 5 ln 2 . C. 3ln 3 . D. 2 ln 5 . Câu 44. Tích phân 2 3 sin x I x d π π = ∫ có giá trị bằng A. 1 2ln 3 . B. 2ln 3 . C. 1 ln 3 2 . D. 11 ln 23 . Câu 45. Nếu [ ] 0 /2 2 4 2 x e dx K e − − − =− ∫ thì giá trị của K là A. 9 . B. 10. C. 11. D. 12,5 . Câu 46. Tích phân 1 0 2 1 2 x x x Id −− = ∫ có giá trị bằng A. 2ln 2 − . B. 2ln 2 3 . C. 2ln 2 3 − . D. Không xác định. Câu 47. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho 5 1 [] 2 f x dx = ∫ và 5 1 [] 4 g x dx = − ∫ . Giá trị của [ ] 5 1 [] [] g x f x dx − ∫ là A. 2 − . B. 6 . C. 2 . D. 6 − . Câu 48. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3]. Nếu 3 0 [] 2 f x dx = ∫ thì tích phân [ ] 3 0 2 [] x f x dx − ∫ có giá trị bằng A. 7 . B. 5 2 . C. 5 . D. 1 2 . Câu 49. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] . Nếu 5 1 [] 2 f x dx = ∫ và 3 1 [] 7 f x dx = ∫ thì 5 3 [] f x dx ∫ có giá trị bằng A. 9 − . B. 5 . C. 9 . D. 5 − . Câu 50. Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai? A. [ ] 2 2 2 1 1 1 2 x x dx x   += +     ∫ . B. [ ] 3 3 1 1 x x e dx e = ∫ . C. [ ] 2 2 cos sin xdx x π π π π = ∫ . D. [ ] 2 2 3 3 1 ln dx x x − − − − = ∫ . Câu 51. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [; ] ab có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [; ] ab . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ? A. '[] [] F x fx = với mọi [; ] x ab ∈ . Trang 12/80 B. [ ] [] [ ] b a f x dx f b f a = − ∫ . C. [ ] [] [ ] b a f x dx F b F a = − ∫ . D. Hàm số G cho bởi [] [] 5 Gx F x = + cũng thỏa mãn [ ] [] [ ] b a f x dx G b G a = − ∫ . Câu 52. Xét hàm số f liên tục trên  và các số thực a , b , c tùy ý. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? A. [] [] [] b cb a ac f x dx f x dx f x dx = − ∫ ∫ ∫ . B. [] [] [] b cb a ac f x dx f x dx f x dx = + ∫ ∫∫ . C. [] [] [] b ba a cc f x dx f x dx f x dx = − ∫ ∫ ∫ . D. [] [] [] b cc a ab f x dx f x dx f x dx = − ∫ ∫ ∫ . Câu 53. Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [ ] ; ab .Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Nếu [] fx m ≥ [; ] b x a ∀ ∈ thì ] [ [ ] b a m fd b xx a ≥ − ∫ . B. Nếu [] fx m ≥ [; ] b x a ∀ ∈ thì ] [ [ ] b a m fd a xx b ≥− ∫ . C. Nếu [] fx M ≤ [; ] b x a ∀ ∈ thì ] [ [ ] b a M fd a xx b ≤− ∫ . D. Nếu [] m M fx ≤≤ [; ] b x a ∀ ∈ thì [ [] ] ][ b a m b a f x dx Ma b ≤ ≤− − ∫ . Câu 54. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [; ] ab sao cho [] 0 gx ≠ với mọi [; ] x ab ∈ . Một học sinh lên bảng và phát biểu các tính chất sau: I. [ ] [] [] [] [] b bb a aa f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫∫ . II. [ ] [] [] [] [] b bb a aa f x g x dx f x dx g x dx −= − ∫ ∫ ∫ . III. [ ] []. [] [] . [] b bb a aa f x g x dx f x dx g x dx = ∫ ∫∫ . IV. [] [] [] [] b b a b a a f x dx fx dx gx g x dx = ∫ ∫ ∫ . Trong số các phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu sai? A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Câu 55. Tích phân 3 0 [ 1] x x dx − ∫ có giá trị bằng với tích phân nào trong các tích phân dưới đây ? A. 0 cos[3 ] x dx π π + ∫ . B. 3 0 3 sinxdx π ∫ . C. [ ] 2 2 0 3 x x dx − + ∫ . D. ln 10 2 0 x e dx ∫ . Câu 56. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [ 3;3] − , luôn có 3 3 [] 0 f x dx − = ∫ . B. Với mọi hàm số f liên tục trên  , ta có [] [] [ ] ba ab f xdx f xd x − = ∫∫ . Trang 13/80 C. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ ] ; ab , sao cho [] 0 b a f x dx ≥ ∫ thì [] 0 fx ≥ [; ] x ab ∀∈ . D. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [ ] 1;5 thì [ ] [ ] 5 3 5 2 1 1 [] [] 3 fx f x dx = ∫ . Câu 57. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu f là hàm số chẵn trên  thì 10 01 [] [] f x dx f x dx − = ∫ ∫ . B. Nếu 01 10 [] [] f x dx f x dx − = ∫ ∫ thì f là hàm số chẵn trên đoạn [ 1;1] − . C. Nếu 1 1 [] 0 f x dx − = ∫ thì f là hàm số lẻ trên đoạn [ 1;1] − . D. Nếu 1 1 [] 0 f x dx − = ∫ thì f là hàm số chẵn trên đoạn [ 1;1] − . Câu 58. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số sinx y x = trên khoảng [0; ] + ∞ . Khi đó 2 1 sinx dx x ∫ có giá trị bằng A. [2] [1] FF − . B. [1] F − . C. [] 2 F . D. [2] [1] FF + . Câu 59. Cho hàm số f liên tục trên  và hai số thực ab < . Nếu [] b a f x dx α = ∫ thì tích phân 2 2 [2 ] b a f x dx ∫ có giá trị bằng A. α . B. 2 α . C. 2 α . D. 4 α . Câu 60. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số sinx y x = trên khoảng [0; ] + ∞ . Khi đó 2 1 sin 3x dx x ∫ có giá trị bằng A. [6] [3] F F − . B. [ ] 3 [6] [3] F F − . C. [ ] 3 [2] [1] FF − . D. [2] [1] FF − . Câu 61. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn 2 0 [] 6 f x dx = ∫ . Giá trị của 2 0 [2sin ]cos f x xdx π ∫ là A. 3 . B. 6 . C. 3 − . D. 6 − . Câu 62. Bài toán tính tích phân 1 ln 1ln e xx I dx x + = ∫ được một học sinh giải theo ba bước sau: I. Đặt ẩn phụ ln 1 t x = + , suy ra 1 dt dx x = và x 1 e t 1 2 II. [ ] 2 11 ln 1ln 1 e xx I dx t t dt x + = = − ∫∫ Trang 14/80 III. [ ] 2 2 5 1 1 2 1 1 3 2 I t t dt t t  = −=− =+   ∫ . Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A. Bài giải đúng. B. Sai từ Bước II. C. Sai từ Bước I. D. Sai ở Bước III. Câu 63. Xét tích phân 3 0 sin 2 1 cos x I dx x π = + ∫ . Thực hiện phép đổi biến cos tx = , ta có thể đưa I về dạng nào sau đây A. 1 1 2 2 1 t I dt t = + ∫ . B. 4 0 2 1 t I dt t π = + ∫ . C. 1 1 2 2 1 t I dt t = − + ∫ . D. 4 0 2 1 t I dt t π = − + ∫ . Câu 64. Cho hàm số [] y fx = bất kỳ liên tục trên đoạn [; ] ab . Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào luôn đúng? A. [ ] [] bb aa f x dx f x dx ≥ ∫∫ . B. [] [] bb aa f x dx f x dx ≥ ∫∫ . C. [] [] bb aa f x dx f x dx > ∫∫ . D. [ ] [] bb aa f x dx f x dx > ∫∫ . Câu 65. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? A. 1 0 [1 ] 0 x x dx += ∫ . B. 11 00 sin[1 ] sin x dx xdx −= ∫∫ . C. 2 00 sin 2 sin 2 x dx xdx π π = ∫∫ . D. 1 2017 1 2 [1 ] 2019 x x dx − += ∫ . Câu 66. Cho hàm số [] y fx = lẻ và liên tục trên đoạn [ 2;2] − . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào luôn đúng? A. 22 20 ] [] 2 [ f x dx f x dx − = − ∫∫ . B. 22 20 ] [] 2 [ f x dx f x dx − = ∫∫ . C. 20 22 2 [] [] f x dx f x dx −− = ∫ ∫ . D. 2 2 [] 0 f x dx − = ∫ . Câu 67. Bài toán tính tích phân 1 2 2 [ 1] I x dx − = + ∫ được một học sinh giải theo ba bước sau: I. Đặt ẩn phụ 2 [ 1] t x = + , suy ra 2[ 1] dt x dx = + , II. Từ đây suy ra 2[ 1] 2 dt dt dx dx x t =⇒= + . Bảng giá trị x 2 − 1 t 1 4 III. Vậy 4 1 4 23 1 21 17 [ 1] 33 2 t I x dx dt t t − = += = = ∫∫ . Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A. Sai ở Bước III. B. Sai từ Bước II. C. Sai từ Bước I. D. Bài giải đúng. Trang 15/80 Câu 68. Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân. Mỗi bài giải đúng được 2,5 điểm, mỗi bài giải sai [sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm] được 0 điểm. Học sinh đã giải 4 bài toán đó như sau: Bài Đề bài Bài giải của học sinh 1 2 1 0 x e xdx ∫ [ ] 2 2 2 1 1 0 00 2 1 11 2 22 x xx ee e xdx e d x − = = = ∫∫ 2 1 2 0 1 2 dx xx −− ∫ [ ] 1 1 2 0 2 0 1 ln 2 ln 2 ln 2 0 2 dx x x xx = −− = − = −− ∫ 3 0 sin 2 cos x xdx π ∫ Đặt cos tx = , suy ra sin dt xdx = − . Khi 0 x = thì 1 t = ; khi x π = thì 1 t = − . Vậy 1 1 3 22 1 00 1 24 sin 2 cos 2 sin cos 2 33 t x xdx x xdx t dt π π − − = = − == ∫∫ ∫ 4 1 1 [4 2 ]ln e ex dx x + − ∫ [ ] [ ] 11 2 1 1 [4 2 ]ln 1 [4 2 ]ln ln [4 2 ]ln 3 e e e ex dx e x d x x x ex e + − = + −   = + − =−   ∫∫ Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu? A. 7,5 điểm. B. 2,5 điểm. C. 5,0 điểm. D. 10,0 điểm. Câu 69. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [; ] ab . Đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. [ ] [] [] [] [] [] [] b b b a a a f x G x dx F x g x F x G x dx = − ∫∫ . B. [ ] [] [] [] [] [] [] bb b a aa f x G x dx F x G x F x g x dx = − ∫∫ . C. [ ] [] [] [] [] [] [] bb b a aa f x G x dx f x g x F x g x dx = − ∫∫ . D. [ ] [] [] [] [] [] [] bb b a aa f x G x dx F x G x f x g x dx = − ∫∫ . Câu 70. Tích phân 0 2 x I xe dx − − = ∫ có giá trị bằng A. 2 21 e −+ . B. 2 31 e − . C. 2 1 e − + . D. 2 1 e − − . Câu 71. Ta đã biết công thức tích phân từng phần [ ] [] [] [] [] [] [] b b b a a a F x g x dx F x G x f x G x dx = − ∫∫ , trong đó F và G là các nguyên hàm của f và g . Trong các biến đổi sau đây, sử dụng tích phân từng phần ở trên, biến đổi nào là sai? A. [ ] 2 1 11 1 ln ln 22 e e e x x xdx x xdx  = −   ∫∫ , trong đó [ ] ln Fx x = , [] gx x = . B. [ ] 11 0 0 1 0 x xx xe dx xe e dx = − ∫ ∫ , trong đó [] Fx x = , [] x gx e = . C. [ ] 0 00 sin cos cos x xdx x x xdx π ππ = − ∫ ∫ , trong đó [] Fx x = , [ ] sin gx x = . Trang 16/80 D. 11 11 1 0 0 1 0 22 2 ln 2 ln 2 xx x x dx x dx ++ +  = −   ∫∫ , trong đó [] Fx x = , 1 [] 2 x gx + = . Câu 72. Tích phân 0 cos 4 x x dx π π  +   ∫ có giá trị bằng A. [ ] 2 2 2 π − . B. [ ] 2 2 2 π − − . C. [ ] 2 2 2 π + . D. [ ] 2 2 2 π − + . Câu 73. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [0;2] . Biết rằng [0] 0 F = , [2] 1 F = , [0] 2 G = − , [2] 1 G = và 2 0 [] [] 3 F x g x dx = ∫ . Tích phân 2 0 [] [] f x G x dx ∫ có giá trị bằng A. 3 . B. 0 . C. 2 − . D. 4 − . Câu 74. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [1;2] . Biết rằng [1] 1 F = , [2] 4 F = , 3 [1] 2 G = , [2] 2 G = và 2 1 67 [] [] 12 f x G x dx = ∫ . Tích phân 2 1 [] [] F x g x dx ∫ có giá trị bằng A. 11 12 . B. 145 12 − . C. 11 12 − . D. 145 12 . Câu 75. Cho hai số thực a và b thỏa mãn ab < và sin b a x xdx π = ∫ , đồng thời cos 0 aa = và cos b b π = − . Tích phân cos b a xdx ∫ có giá trị bằng A. 145 12 . B. π . C. π − . D. 0 . Câu 76. Cho tích phân: 1 1 ln 2 e x I dx x − = ∫ .Đặt 1 ln ux = − .Khi đó I bằng A. 0 2 1 I u du = ∫ . B. 0 2 1 I u du = − ∫ . C. 0 2 1 2 u I du = ∫ . D. 1 2 0 I u du = − ∫ . Câu 77. Tích phân 2 2 2 1 7x 12 x I dx x = −+ ∫ có giá trị bằng A. 5ln 2 6ln 3 − . B. 1 2ln 2 6ln 3 + − . C. 3 5ln 2 7ln 3 +− . D. 1 25ln 2 16ln 3 +− . Câu 78. Tích phân 2 5 1 I x dx = ∫ có giá trị là: A. 19 3 . B. 32 3 . C. 16 3 . D. 21 2 . Câu 79. Tích phân 1 3 0 [ 1] xdx I x = + ∫ bằng A. 1 7 − . B. 1 6 . C. 1 8 . D. 12. Trang 17/80 Câu 80. Cho tích phân 2 0 [2 ]sin I x xdx π = − ∫ . Đặt 2 , sin u x dv xdx =−= thì I bằng A. 2 2 0 0 [2 ]cos cos x x xdx π π −− − ∫ . B. 2 2 0 0 [2 ]cos cos x x xdx π π −− + ∫ . C. 2 2 0 0 [2 ]cos cos x x xdx π π − + ∫ . D. 2 2 0 0 [2 ] cos x xdx π π −+ ∫ . Câu 81. Tích phân 1 7 25 0 [1 ] x dx x + ∫ bằng A. 2 3 5 1 1 [ 1] 2 t dt t − ∫ . B. 3 3 5 1 [ 1] t dt t − ∫ . C. 2 3 4 1 1 [ 1] 2 t dt t − ∫ . D. 4 3 4 1 3 [ 1] 2 t dt t − ∫ . Câu 82. Tích phân 4 3 4 1 1 [ 1] I dx xx = + ∫ bằng A. 3 ln 2 . B. 1 3 ln 32 . C. 13 ln 5 2 . D. 13 ln 42 . Câu 83. Cho hai tích phân 2 3 0 I x dx = ∫ , 2 0 J xdx = ∫ .Tìm mối quan hệ giữa I và J A. .8 IJ = . B. 32 . 5 IJ = . C. 128 7 IJ − = . D. 64 9 IJ += . Câu 84. Cho số thực a thỏa mãn 1 4 2 1 a x e dx e e + = − ∫ , khi đó a có giá trị bằng A. 1 − . B. 3. C. 0 . D. 2. Câu 85. Tích phân 2 0 x ke dx ∫ [với k là hằng số ]có giá trị bằng A. 2 [ 1] ke − . B. 2 1 e − . C. 2 [] ke e − . D. 2 ee − . Câu 86. Với hằng số k , tích phân nào sau đây có giá trị khác với các tích phân còn lại ? A. 1 2 0 [e 1] k dx − ∫ . B. 2 0 x ke dx ∫ . C. 2 3 3 0 3 x ke dx ∫ . D. 2 3 2 0 x ke dx ∫ . Câu 87. Với số thực k , xét các phát biểu sau: [I] 1 1 2 dx − = ∫ ; [II] 1 1 2 kdx k − = ∫ ; [III] 1 1 2 xdx x − = ∫ ; [IV] 1 2 0 32 kx dx k = ∫ . Số phát biểu đúng là A. 4. B. 3. C. 1. D. 2. Câu 88. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho 5 1 [] 7 f x dx = − ∫ và 5 1 [] 5 g x dx = ∫ và [ ] 5 1 [] [] 19 g x kf x dx −= ∫ Giá trị của k là: A. 2 . B. 6 . C. 2. D. 2 − . Trang 18/80 Câu 89. Cho hàm số f liên tục trên  . Nếu 5 1 2 [] 2 f x dx = ∫ và 3 1 [] 7 f x dx = ∫ thì 5 3 [] f x dx ∫ có giá trị bằng: A. 5 . B. 6 − . C. 9 . D. 9 − . Câu 90. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3]. Nếu 2 1 [] 4 f x dx = ∫ và tích phân [ ] 2 1 [] 1 kx f x dx −= − ∫ giá trị k bằng A. 7 . B. 5 2 . C. 5 . D. 2. Câu 91. Tích phân 1 [2 5]ln e x xdx − ∫ bằng A. 2 1 1 [ 5 ]ln [ 5] e e x x x x dx −− − − ∫ . B. 2 1 1 [ 5 ]ln [ 5] e e x x x x dx − +− ∫ . C. 2 1 1 [ 5 ]ln [ 5] e e x x x x dx − − − ∫ . D. 2 1 1 [ 5]ln [ 5 ] e e x x x x dx − −− ∫ . Câu 92. Tích phân 2 2 0 I cos cos 2 x xdx π = ∫ có giá trị bằng A. 5 8 π − . B. 2 π . C. 3 8 π . D. 8 π . Câu 93. Tích phân 3 2 0 4sin 1 cos x I dx x π = + ∫ có giá trị bằng A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Câu 94. Tích phân 2 0 1 sin I xdx π = + ∫ có giá trị bằng A. 42 . B. 3 2 . C. 2 . D. 2 − . Câu 95. Tích phân 3 2 0 sin tan I x xdx π = ∫ có giá trị bằng A 3 ln 3 5 − . B. ln 2 2 − . C. 3 ln 2 4 − . D. 3 ln 2 8 − . Câu 96. Cho hàm số f[x] liên tục trên  và 4 [ ] [ ] cos fx f x x + −= với mọi x ∈  . Giá trị của tích phân 2 2 [] I f x dx π π − = ∫ là A. 2 − . B. 3 16 π . C. 3 ln 2 4 − . D. 3 ln 3 5 − . Câu 97. Nếu [ ] 0 2 2 5 x e dx K e − − − =− ∫ thì giá trị của K là: A. 11. B. 9 . C. 7. D. 12,5 . Câu 98. Cho tích phân 2 0 1 3cos .sin I x xdx π = + ∫ .Đặt 3cos 1 u x = + .Khi đó I bằng Trang 19/80 A. 3 2 1 2 3 u du ∫ . B. 2 2 0 2 3 u du ∫ . C. 2 3 1 2 9 u . D. 3 2 1 u du ∫ . Câu 99. Tích phân 1 8ln 1 e x I dx x + = ∫ bằng A. 2 − . B. 13 6 . C. 3 ln 2 4 − . D. 3 ln 3 5 − . Câu 100. Tích phân 5 2 1 23 x x dx − −− ∫ có giá trị bằng A. 0. B. 64 3 . C. 7. D. 12,5 . Câu 101. Tìm a để 2 1 [3 ] 3 ax dx − = − ∫ ? A. 2. B. 9 . C. 7. D. 4. Câu 102. Nếu [ ] 5 23 2 5 549 k x dx −= − ∫ thì giá trị của k là: A. 2 ± B. 2. C. 2 − . D. 5. Câu 103. Tích phân 3 2 2 4 1 xx dx x −+ + ∫ bằng A. 1 4 6ln 33 + . B. 14 6ln 23 + . C. 14 ln 23 − . D. 14 ln 23 + . Câu 104. Cho hàm số f liên tục trên  thỏa [ ] [ ] 2 2cos 2 fx f x x + −= + , với mọi x ∈  . Giá trị của tích phân 2 2 [] I f x dx π π − = ∫ là A. 2. B. 7 − . C. 7. D. 2 − . Câu 105. Tìm m để 2 4 122 [3 2 ] 5 m x dx − = ∫ ? A. 0. B. 9 . C. 7. D.2. 4.2 TÍCH PHÂN I. VẬN DỤNG THẤP Câu 106. Giá trị của tích phân 1 2 2 0 1 1 I dx x = − ∫ là A. 6 π . B. 4 π . C. 3 π . D. 2 π . Câu 107. Giá trị của tích phân 1 2 0 1 dx I x = + ∫ là A 2 I π = . B. 3 4 I π = . C. 4 I π = . D. 5 4 I π = . Câu 108. Giá trị của tích phân 31 2 0 22 dx I x x − = ++ ∫ là A. 5 12 I π = . B. 6 I π = . C. 3 12 I π = . D. 12 I π = . Trang 20/80 Câu 109. Tích phân 1 23 0 5 I x x dx = + ∫ có giá trị là A. 4 10 63 3 9 − . B. 4 10 7 5 39 − . C. 4 10 65 3 9 − . D. 2 10 65 3 9 − . Câu 110. Tích phân 2 2 0 4 x dx − ∫ có giá trị là A. 4 π . B. 2 π . C. 3 π . D. π . Câu 111. Tích phân 1 2 0 1 I x x dx = + ∫ có giá trị là A. 3 2 1 3 − . B. 22 1 3 − . C. 22 1 2 − . D. 3 2 1 2 − . Câu 112. Tích phân 0 3 1 1 I x x dx − = + ∫ có giá trị là A. 9 28 − . B. 3 28 − . C. 3 28 . D. 9 28 . Câu 113. Giá trị của tích phân 1 2 0 2 [ 1] 1 x dx I xx = ++ ∫ là A. 16 10 2 3 − . B. 16 11 2 4 − . C. 16 10 2 4 − . D. 16 11 2 3 − . Câu 114. Giá trị của tích phân [ ] 1 6 53 0 1 I x x dx = − ∫ là A. 1 167 . B. 1 168 . C. 1 166 . D. 1 165 . Câu 115. Giá trị của tích phân 3 2 0 21 1 xx I dx x +− = + ∫ là A. 53 5 . B. 54 5 . C. 52 5 . D. 51 5 . Câu 116. Giá trị của tích phân 1 0 3 1 x I dx x − = + ∫ là A. 22 2 π −+ . B. 22 3 π −+ . C. 3 2 3 π −+ . D. 3 2 2 π −+ . Câu 117. Giá trị của tích phân [ ] 1 5 0 2 1 x dx + ∫ là A. 1 30 3 . B. 1 60 3 . C. 2 60 3 . D. 2 30 3 . Câu 118. Giá trị của tích phân 1 2 0 42 1 x dx xx + ++ ∫ là A. ln 2 . B. ln 3. C. 2ln 2 . D. 2ln 3 . Câu 119. Giá trị của tích phân 2 2 1 [2 1] dx x − ∫ là Trang 21/80 A 1 2 . B. 1 3 . C. 1 4 . D. 2 3 . Câu 120. Giá trị của tích phân 3 0 3 3. 1 3 x dx x x − ++ + ∫ là A. 3 3 3ln 2 + . B. 3 3 6ln 2 + . B. 3 3 6ln 2 −+ . D. 3 3 3ln 2 −+ . Câu 121. Giá trị của tích phân: I [ ] 4 2 0 1 1 1 2 x dx x + = ++ ∫ là A. 1 2ln 2 2 − . B. 1 2ln 2 3 − . C. 1 2ln 2 4 − . D. 1 ln 2 2 − . Câu 122. Giá trị của tích phân: [ ] [ ] 99 1 101 0 7 1 2 1 x I dx x − = + ∫ là A. 100 1 21 900  −  . B. 101 1 2 1 900  −  . C. 99 1 21 900   −   . D. 98 1 21 900   −  . Câu 123. Tích phân 2 2001 2 1002 1 [1 ] x I dx x = + ∫ có giá trị là A. 1001 1 2002.2 . B. 1001 1 2001.2 . C. 1002 1 2001.2 . D. 1002 1 2002.2 . Câu 124. Giá trị của tích phân 2 3 3 2 cos[3 ] 3 x dx π π π − ∫ là A. 3 3 − . B. 2 3 − . C. 2 3 3 − . D. 22 3 − . Câu 125. Giá trị của tích phân 2 2 0 I cos cos 2 x xdx π = ∫ là A. 6 π . B. 8 π . C. 4 π . D. 2 π . Câu 126. Giá trị của tích phân: 2 0 sin 1 cos xx I dx x π = + ∫ là A. 2 2 π . B. 2 6 π . C. 2 8 π . D. 2 4 π . Câu 127. Giá trị tích phân [ ] 2 4 0 sin 1 cos J x xdx π = + ∫ là A. 2 5 . B. 3 5 . C. 4 5 . D. 6 5 . Câu 128. Giá trị tích phân 2 4 sin cos 1 sin 2 xx I dx x π π − = + ∫ là A. 3 ln 2 2 . B. 1 ln 3 2 . C. ln 2 . D. 1 ln 2 2 . Trang 22/80 Câu 129. Giá trị tích phân 2 0 sin 1 3cos x I dx x π = + ∫ là A. 2 ln 2 3 . B. 2 ln 4 3 . C. 1 ln 4 3 . D. 1 ln 2 3 . Câu 130. Giá trị của tích phân 2 6 35 1 2 1 cos .sin .cos I x x xdx = − ∫ là A. 21 91 . B. 12 91 . C. 21 19 . D. 12 19 . Câu 131. Giá trị của tích phân 4 3 0 cos [sin cos ] x I dx x x π = + ∫ là A. 1 8 . B. 3 8 . C. 5 8 . D. 7 8 . Câu 132. Giá trị của tích phân I = 2 3 0 sin [sin + cos ] xdx xx π ∫ là A 1 4 . B. 1 3 . C. 1 2 . D. 1 6 . Câu 133. Giá trị của tích phân 2 42 0 cos sin I x xdx π = ∫ là A. 32 I π = . B. 16 I π = . C. 8 I π = . D. 4 I π = . Câu 134. Giá trị của tích phân 2 4 46 6 0 [sin cos ][sin cos ] I x x x x dx π =++ ∫ là A. 32 128 I π = . B. 33 128 I π = . C. 31 128 I π = . D. 30 128 I π = . Câu 135. Giá trị của tích phân 4 66 0 sin 4 sin cos x I dx xx π = + ∫ là A. 4 3 . B. 1 3 . C. 2 3 . D. 5 3 . Câu 136. Giá trị của tích phân 0 sin 1 xdx I x π = + ∫ là A. 4 I π = . B. 2 I π = . C. 3 I π = . D. I π = . Câu 137. Giá trị của tích phân 2007 2 2007 2007 0 sin sin cos x I dx x x π = + ∫ là A. 2 I π = . B. 4 I π = . C. 3 4 I π = . D. 5 4 I π = . Câu 138. Giá trị của tích phân 2 11 0 cos xdx π ∫ là Trang 23/80 A. 250 693 . B. 254 693 . C. 252 693 . D. 256 693 . Câu 139. Giá trị của tích phân 2 10 0 sin xdx π ∫ là A. 67 512 π . B. 61 512 π . C. 63 512 π . D. 65 512 π . Câu 140. Giá trị của tích phân 1 0 1 x dx I e = + ∫ là A. 2 ln 1 e e   +  . B. ln 1 e e   +  . C. 2ln 1 e e   +  . D. 2 2ln 1 e e   +  . Câu 141. Giá trị của tích phân ln5 2 ln 2 1 x x e dx I e = − ∫ là A. 5 3 . B. 10 3 . C. 20 3 . D. 2 3 . Câu 142. Giá trị của tích phân ln 2 0 1 x I e dx = − ∫ là A. 4 3 π − . B. 4 2 π − . C. 5 3 π − . D. 5 2 π − . Câu 143. Giá trị của tích phân [ ] ln3 3 0 1 x x e I dx e = + ∫ là A. 22 1 − . B. 21 − . C. 22 − . D. 22 2 − . Câu 144. Giá trị của tích phân 2 ln e e dx I x x = ∫ là A. 2ln 3 . B. ln 3. C. ln 2 . D. 2ln 2 . Câu 145. Giá trị của tích phân: ln3 2 ln 2 12 x xx e dx I e e = − + − ∫ là A. 2ln 2 1 − . B. 2ln3 – 1. C. ln 3 1 − . D. ln 2 1 − . Câu 146. Cho ln 2 32 32 0 21 1 xx x x x ee M dx ee e +− = + −+ ∫ . Giá trị của M e là A. 7 4 . B. 9 4 . C. 11 4 . D. 5 4 . Câu 147. 3 2 1 ln 2 ln e x x I dx x + = ∫ . A 3 3 55 3 32 8   −   . B. 3 3 54 3 32 8   −   . C. 3 3 45 3 32 8   −   . D. 3 3 44 3 32 8   −   . Câu 148. Giá trị của tích phân 1 2 0 ln[1 ] 1 x I dx x + = + ∫ là A. ln 3 8 I π = . B. ln 2 4 I π = . C. ln 3 8 I π = . D. ln 2 8 I π = . Trang 24/80 Câu 149. Cho hàm số f[x] liên tục trên  và thỏa [ ] 2 [ ] cos f x fx x −+ = . Giá trị của tích phân 2 2 [] I f x dx π π − = ∫ là A. 1 3 I = . B. 4 3 I = . C. 2 3 I = . D. 1 I = . II. VẬN DỤNG CAO Câu 150. Tìm hai số thực , A B sao cho [ ] sin π = + fx A x B , biết rằng '[1] 2 f = và 2 0 [] 4 f x dx = ∫ . A. 2 2 A B π = −    = −   . B. 2 2 A B π =    = −   . C. 2 2 A B π = −    =   . D. 2 2 A B π  = −    =  . Câu 151. Giá trị của a để đẳng thức 24 23 12 [4 4 ] 4 2 a a x x dx xdx   + − + =   ∫∫ là đẳng thức đúng A. 4. B. 3. C. 5. D. 6. Câu 152. Giá trị của tích phân 22 0 [ 0] a dx Ia xa = > + ∫ là A. 4a π . B. 2 4a π . C. 2 4a π − . D. 4 π − a . Câu 153. Giá trị của tích phân 3 0 cos 2 cos 2 x I dx x π = + ∫ là A. 42 π . B. 22 π . C. 4 2 π . D. 2 π − . Câu 154. Cho 1 2 1 x dt I t = + ∫ . Tích phân nào sau đây có giá trị bằng với giá trị của tích phân đã cho. A. 2 1 1 − + ∫ x dt t . B. 2 1 1 x dt t + ∫ . C. 1 2 1 1 + ∫ x dt t . D. 1 2 1 1 − + ∫ x dt t . Câu 155. Giá trị của tích phân 2 2 6 1 ln[sin ] sin I x dx x π π = ∫ là A 3 ln 2 3 3 π − + + . B. 3 ln 2 3 3 π + − . C. 3 ln 2 3 3 π − −− . D. 3 ln 2 3 3 π − + − . Câu 156. Giá trị của tích phân { } 2 2 0 min 1, = ∫ I x dx là A. 4 . B. 3 4 . C. 4 3 . D. 3 4 − . Câu 157. Giá trị của tích phân 3 8 1 − − = − ∫ dx I dx xx là Trang 25/80 A. 2 ln 3 . B. 2 . C. ln 2 − . D. 2ln 2 . Câu 158. Biết 3 2 1 2ln 1 ln 2 2 a x x I dx x − = = + ∫ . Giá trị của a là A. 2. B. ln 2 . C. π . D. 3. Câu 159. Cho 2 1 0 cos 3sin 1 I x x dx π = + ∫ , 2 2 2 0 sin 2 [sin 2] x I dx x π = + ∫ . Khẳng định nào sau đây là sai ? A. 1 14 9 I = . B. 12 II > . B. 2 33 2ln 22 I = + . D. 2 32 2ln 23 I = − . Câu 160. Tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn [ ] 0 25 6 m x dx += ∫ là A. 1, 6 mm = = − . B. 1, 6 mm = −= − . C. 1, 6 mm = −= . D. 1, 6 mm = = . Câu 161. Cho hàm số 2 sin 2 [] [2 sin ] x hx x = + . Tìm để 2 cos cos [] [2 sin ] 2 sin a x bx hx xx = + ++ và tính 2 0 [] I h x dx π = ∫ A. 23 4, 2; 2ln 32 a bI = − ==+ . B. 23 4, 2; 2ln 32 ab I = = − = −− . C. 13 2, 4; 4ln 3 2 ab I = = = − + . D. 13 2, 4; 4ln 3 2 a bI = − ==+ . Câu 162. Giá trị trung bình của hàm số [ ] y f x = trên [ ] ; ab , kí hiệu là [ ] mf được tính theo công thức [ ] [ ] 1 b a m f f x dx ba = − ∫ . Giá trị trung bình của hàm số [ ] sin f x x = trên [ ] 0; π là A. 4 π . B. 3 π . C. 1 π . D. 2 π . Câu 163. Cho ba tích phân 1 0 31 dx I x = + ∫ , [ ] 4 44 0 sin cos J x x dx π = − ∫ và [ ] 2 2 1 31 K x x dx − = + + ∫ . Tích phân nào có giá trị bằng 21 2 ? A. K. B. I. C. J. D. J và K. Câu 164. Với 01 < < a , giá trị của tích phân sau 2 0 32 −+ ∫ a dx dx x x là: A. 2 ln 2 1 a a − − . B. 2 ln 1 a a − − . C. [ ] 2 ln 21 a a − − . D. 2 ln 21 a a − + . Câu 165. Cho 1 3 42 0 4 2 3 0 [ 2] x m dx x −= + ∫ . Khi đó giá trị của 2 144 1 m − bằng A. 2 3 − . B. 4 3 1 − . C. 2 3 3 . D. 2 3 3 − . Câu 166. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [; ] ab và có đạo hàm liên tục trên [ ] ; ab , đồng thời thỏa mãn [ ] [] f a fb = . Lựa chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. [] '[ ]. 2 b f x a f x e dx = ∫ . B. [] '[ ]. 1 b f x a f x e dx = ∫ . Trang 26/80 C. [] '[ ]. 1 b f x a f x e dx = − ∫ . D. [] '[ ]. 0 b f x a f x e dx = ∫ . Câu 167. Kết quả phép tính tích phân 5 1 31 dx I x x = + ∫ có dạng ln 3 ln 5 Ia b = + [, ] ab ∈  . Khi đó 22 3 a ab b ++ có giá trị là A. 1. B. 5. C. 0. D. 4. Câu 168. Với ,1 nn ∈≥  , tích phân [ ] 2 0 1 cos sin n I x xdx π = − ∫ có giá trị bằng A. 1 2n . B. 1 1 n − . C. 1 1 n + . D. 1 n . Câu 169. Với ,1 nn ∈>  , giá trị của tích phân 2 0 sin cos sin n nn x dx xx π + ∫ là A. 4 π − . B. 4 π . C. 3 4 π . D. 3 4 π − . Câu 170. Giá trị của tích phân 2017 0 1 cos 2xdx π − ∫ là A. 3034 2 . B. 4043 2 − . C. 3043 2 . D. 4034 2 . Câu 171. Giá trị của tích phân 1 cos 2 0 [1 sin ] ln 1 cos π +  +  +  ∫ x x dx x là A. 2ln 3 1 − . B. 2ln 2 1 −− . C. 2ln 2 1 − . D. 2ln 3 1 − − . Câu 172. Có mấy giá trị của b thỏa mãn 2 0 [3 12 11] 6 b x x dx −+ = ∫ A. 4. B. 2. C. 1. D. 3. Câu 173. Biết rằng 0 66 b dx = ∫ và 0 a x xe dx a = ∫ . Khi đó biểu thức 23 2 32 ba a a ++ + có giá trị bằng A. 5. B. 4. C. 7. D. 3. Câu 174. Biết rằng 22 0 a dx A xa = + ∫ , 0 2 b dx B π = ∫ [với ,0 ab > ]. Khi đó giá trị của biểu thức 4 2 B aA b + bằng A. 2 π . B. π . C. 3 π . D. 4 π . Trang 27/80 C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A B A A A C D C D B A D B B C C D B C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C A A A B D D D C B B C A B C D B D C A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 C B B C B C D D D D B A A C D B A A C A 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A D A B A D B C B D C D C A D B D A C B 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A D A B A D B C B D C D C A D B D D C A 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 A D A B A D B C B D C D C A D B A C B B 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 D A B A A A C D C D B A D B B C C D B C 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 C A A A B D D D C B B C A B C D B D C A 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 C B B C B C D D C D B A A C D B A A C A 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 A D A B A D B C B D C D C A II –HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Cho hai hàm số f , g liên tục trên đoạn [; ] ab và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. [ ] [] [] [] [] b bb a aa f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫∫ . B. [] [] ba ab f x dx f x dx = − ∫∫ . C. [] [] bb aa kf x dx k f x dx = ∫∫ . D. [] [] bb aa xf x dx x f x dx = ∫∫ . Câu 2. Cho hàm số f liên tục trên  và số thực dương a . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào luôn đúng? A. [] 0 a a f x dx = ∫ . B. [] 1 a a f x dx = ∫ . C. [] 1 a a f x dx = − ∫ . D. [] [ ] a a f x dx f a = ∫ . Câu 3. Tích phân 1 0 dx ∫ có giá trị bằng A. 1 − . B. 1. C. 0 . D. 2 . Câu 4. Cho số thực a thỏa mãn 12 1 1 a x e dx e + − = − ∫ , khi đó a có giá trị bằng A. 1. B. 1 − . C. 0 . D. 2 . Trang 28/80 Hướng dẫn giải Ta có 1 11 1 1 a a x xa e dx e e e + ++ − − = = − ∫ . Vậy yêu cầu bài toán tương đương 1 2 1 1 1 a e e a + −⇔ = = − . Câu 5. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0; ] π đạt giá trị bằng 0 ? A. [ ] cos3 fx x = . B. [ ] sin 3 fx x = . C. [ ] cos 42 x fx π  = +   . D. [ ] sin 42 x fx π  = +   . Hướng dẫn giải Tính tích phân cho từng hàm số trong các đáp án: • 0 0 1 cos3 sin 3 0 3 xdx x π π = = ∫ , • 0 0 1 sin 3 cos3 2 3 xdx x π π = − = ∫ , • [ ] 0 0 cos 4sin 2 2 2 42 42 xx dx π π ππ   + = += −     ∫ , • 0 0 sin 4cos 2 2 42 42 xx dx π π π π   + = − +=     ∫ . Vậy chọn [ ] cos3 fx x = . Câu 6. Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị khác 2 ? A. 2 1 ln e xdx ∫ . B. 1 0 2dx ∫ . C. 0 sinxdx π ∫ . D. 2 0 xdx ∫ . Hướng dẫn giải Dù giải bằng máy tính hay làm tay, ta không nên thử tính lần lượt từng đáp án từ A đến D, mà nên chọn các tích phân đơn giản để thử trướC. Ví dụ • 1 1 0 0 22 2 dx x = = ∫ , • 2 2 2 0 0 2 2 x xdx = = ∫ • 0 0 sin cos 2 xdx x π π = −= ∫ , nên nhận 2 1 ln e xdx ∫ . Câu 7. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn 12 1 2 [] [] f x dx f x dx − − = ∫∫ ? A. [] x fx e = . B. [ ] cos fx x = . C. [ ] sin fx x = . D. [] 1 fx x = + . Hướng dẫn giải Cách 1: Phương pháp tự luận Tính lần lượt từng tích phân [cho đến khi nhận được kết quả đúng], ta được: • 12 1 1 12 sin cos 0 sin xdx x xdx − −− = −= = ∫∫  nhận, Trang 29/80 • 1 1 1 1 cos sin 2sin1 xdx x − − = = ∫ , và 2 2 2 2 cos sin 2sin 2 xdx x − − = = ∫  loại, • 1 1 1 1 1 x x e dx e e e − − − = = − ∫ , và 2 2 22 2 2 x x e dx e e e − − − = = − ∫  loại, • 1 1 1 2 1 [ 1] [ 1] 2 2 x x dx − − + += = ∫ , và 2 2 2 2 2 [ 1] [ 1] 4 2 x x dx − − + += = ∫  loại. Vậy ta nhận đáp án [ ] sin fx x = . Cách 2: Phương pháp tự luận Ta đã biết nếu f là hàm số lẻ và liên tục trên  thì [] 0 a a f x dx − = ∫ với mọi số thực a . Trong các lựa chọn ở đây, chỉ có hàm số [ ] sin y fx x  là lẻ, nên đó là đáp án của bài toán. Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm Thực hiện các phép tính sau trên máy tính [đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng] Phép tính Kết quả 12 12 sin sin xdx xdx −− − ∫∫ 0 12 12 cos cos xdx xdx −− − ∫ ∫ 0 ≠ 12 12 x x e dx e dx −− − ∫∫ 0 ≠ 12 12 [ 1] [ 1] x dx x dx −− + − + ∫∫ 0 ≠ Vậy ta nhận đáp án [ ] sin fx x = . Câu 8. Tích phân 5 2 dx I x = ∫ có giá trị bằng A. 3ln 3 . B. 1 ln 3 3 . C. 5 ln 2 . D. 2 ln 5 . Hướng dẫn giải Cách 1: Phương pháp tự luận 5 5 2 2 5 ln ln 5 ln 2 ln 2 dx Ix x = = = − = ∫ . Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị 0,91629... Bước 2: Lấy 0,91629... e cho kết quả 5 2  chọn 5 ln 2 . Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm Thực hiện các phép tính sau trên máy tính [đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng] Phép tính Kết quả Phép tính Kết quả Trang 30/80 5 2 5 ln 2 dx x − ∫ 0 5 2 3ln 3 dx x − ∫ 0 ≠ 5 2 1 ln 3 3 d x x − ∫ 0 ≠ 5 2 2 ln 5 dx x − ∫ 0 ≠  chọn 5 ln 2 . Câu 9. Tích phân 2 3 sin x I x d π π = ∫ có giá trị bằng A. 11 ln 23 . B. 2ln 3 . C. 1 ln 3 2 . D. 1 2ln 3 . Hướng dẫn giải Cách 1: Phương pháp tự luận 22 22 2 33 3 2 3 cos sin 1 2 2 cot tan 2 22 ln sin ln cos 22 2 2 13 ln ln ln l sin 2sin cos 22 n 2 2 2 2 ln 3. x x dx x x xx x I dx dx xx ππ π ππ π π π  +     = = = +       = −         = − −−         = ∫∫ ∫ Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị 0,549306... Bước 2: Lấy 0,549306... e cho kết quả 1,732050808... 3 ≈  chọn 1 ln 3 2 . Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm Thực hiện các phép tính sau trên máy tính [đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng] Phép tính Kết quả Phép tính Kết quả 2 3 1 ln 3 2 sinx dx π π − ∫ 0 2 3 1 2ln 3 sinx dx π π − ∫ 0 ≠ 2 3 2ln 3 sinx dx π π − ∫ 0 ≠ 2 3 11 n 3 si ln 2 dx x π π − ∫ 0 ≠  chọn 1 ln 3 2 . Nhận xét: Ở bài này cách làm bằng máy tính có vẻ nhanh hơn. Trang 31/80 Câu 10. Nếu [ ] 0 /2 2 4 2 x e dx K e − − − =− ∫ thì giá trị của K là A. 12,5 . B. 9 . C. 11. D. 10. Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận [ ] [ ] [ ] 0 0 /2 /2 2 2 4 2 4 2 2 2 8 2 2 10 xx K e dx e x e e e e −− − − = − += + +=−−+ += ∫ . Phương pháp trắc nghiệm Dùng máy tính tính [ ] 0 /2 2 42 x e dx e − − −+ ∫ như hình bên, thu được giá trị 10 K = . Câu 11. Tích phân 1 0 2 1 2 x x x Id −− = ∫ có giá trị bằng A. 2ln 2 3 . B. 2ln 2 3 − . C. 2ln 2 − . D. 2ln 2 . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận [ ] 11 1 0 00 0 2 1 1 1 1 1 1 1 2ln 2 ln 2 ln 1 [ 2][ 1] 3 2 1 2 33 dx dx dx x x x xx x x x   = = − = − − + −− = −   −+ − +   ∫∫ ∫ . Học sinh có thể áp dụng công thức 11 ln [ ][ ] xa dx C x a x b a b x b − = + − − − − ∫ để giảm một bước tính: 1 11 0 00 2 1 1 1 2 2ln 2 ln [ 2][ 1] 3 1 3 2 x I dx dx x x xx x − = = = = − − + + − − ∫∫ . Phương pháp trắc nghiệm Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị 0.4620981... − Bước 2: Loại đáp án dương 2ln 2 3 và loại đáp án nhiễu “Không xác định”. Bước 3: Chia giá trị 0.4620981... − cho ln 2 , nhận được 2 3 −  chọn 2ln 2 3 − . Câu 12. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho 5 1 [] 2 f x dx = ∫ và 5 1 [] 4 g x dx = − ∫ . Giá trị của [ ] 5 1 [] [] g x f x dx − ∫ là A. 6 − . B. 6 . C. 2 . D. 2 − . Hướng dẫn giải [ ] 5 55 1 11 [] [] [] [] 4 2 6 g x f x dx g x dx f x dx − = − =−− =− ∫ ∫ ∫ . Trang 32/80 Câu 13. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3]. Nếu 3 0 [] 2 f x dx = ∫ thì tích phân [ ] 3 0 2 [] x f x dx − ∫ có giá trị bằng A. 7 . B. 5 2 . C. 5 . D. 1 2 . Hướng dẫn giải [ ] 3 33 0 00 9 1 2 [] 2 [] 2 2 2 2 x f x dx xdx f x dx − = − = − × = ∫ ∫ ∫ . Câu 14. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] . Nếu 5 1 [] 2 f x dx = ∫ và 3 1 [] 7 f x dx = ∫ thì 5 3 [] f x dx ∫ có giá trị bằng A. 5 . B. 5 − . C. 9 . D. 9 − . Hướng dẫn giải 5 1 5 35 3 31 1 1 [] [] [] [] [] 7 2 5 f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =+ = − + = −+= − ∫ ∫∫ ∫∫ . Câu 15. Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai? A. [ ] 3 3 1 1 x x e dx e = ∫ . B. [ ] 2 2 3 3 1 ln dx x x − − − − = ∫ . C. [ ] 2 2 cos sin xdx x π π π π = ∫ . D. [ ] 2 2 2 1 1 1 2 x x dx x   += +     ∫ . Hướng dẫn giải Phép tính [ ] 2 2 3 3 1 ln dx x x − − − − = ∫ là sai. Phép tính đúng là [ ] 2 2 3 3 1 ln dx x x − − − − = ∫ . Câu 16. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [; ] ab có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [; ] ab . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ? A. [ ] [] [ ] b a f x dx F b F a = − ∫ . B. '[] [] F x fx = với mọi [; ] x ab ∈ . C. [ ] [] [ ] b a f x dx f b f a = − ∫ . D. Hàm số G cho bởi [] [] 5 Gx F x = + cũng thỏa mãn [ ] [] [ ] b a f x dx G b G a = − ∫ . Câu 17. Xét hàm số f liên tục trên  và các số thực a , b , c tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. [] [] [] b ba a cc f x dx f x dx f x dx = − ∫ ∫ ∫ . B. [] [] [] b cb a ac f x dx f x dx f x dx = + ∫ ∫∫ . C. [] [] [] b cb a ac f x dx f x dx f x dx = − ∫ ∫ ∫ . D. [] [] [] b cc a ab f x dx f x dx f x dx = − ∫ ∫ ∫ . Câu 18. Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [ ] ; ab . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? Trang 33/80 A. Nếu [] m M fx ≤≤ [; ] b x a ∀ ∈ thì [ [] ] ][ b a m b a f x dx Ma b ≤ ≤− − ∫ . B. Nếu [] fx m ≥ [; ] b x a ∀ ∈ thì ] [ [ ] b a m fd a xx b ≥− ∫ . C. Nếu [] fx M ≤ [; ] b x a ∀ ∈ thì ] [ [ ] b a M fd a xx b ≤− ∫ . D. Nếu [] fx m ≥ [; ] b x a ∀ ∈ thì ] [ [ ] b a m fd b xx a ≥ − ∫ . Hướng dẫn giải Mệnh đề “Nếu [] fx m ≥ [; ] b x a ∀ ∈ thì ] [ [ ] b a m fd b xx a ≥ − ∫ ” sai, mệnh đề đúng phải là “Nếu [] fx m ≥ [; ] b x a ∀ ∈ thì ] [ [ ] b a m fd a xx b ≥− ∫ ”. Câu 19. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [; ] ab sao cho [] 0 gx ≠ với mọi [; ] x ab ∈ . Xét các khẳng định sau: I. [ ] [] [] [] [] b bb a aa f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫∫ . II. [ ] [] [] [] [] b bb a aa f x g x dx f x dx g x dx −= − ∫ ∫ ∫ . III. [ ] []. [] [] . [] b bb a aa f x g x dx f x dx g x dx = ∫ ∫∫ . IV. [] [] [] [] b b a b a a f x dx fx dx gx g x dx = ∫ ∫ ∫ . Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định sai? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Các công thức [] [] [] [] b b a b a a f x dx fx dx gx g x dx = ∫ ∫ ∫ và [ ] []. [] [] . [] b bb a aa f x g x dx f x dx g x dx = ∫ ∫∫ là sai. Câu 20. Tích phân 3 0 [ 1] x x dx − ∫ có giá trị bằng với giá trị của tích phân nào trong các tích phân dưới đây? A. [ ] 2 2 0 3 x x dx − + ∫ . B. 3 0 3 sinxdx π ∫ . C. ln 10 2 0 x e dx ∫ . D. 0 cos[3 ] x dx π π + ∫ . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Tính rõ từng phép tính tích phân để tìm ra kết quả đúng [chỉ tính đến khi nhận được kết quả đúng thì dừng lại]: Trang 34/80 • ln 10 ln 10 2 2ln 10 2 0 0 1 9 2 22 x x ee e dx − = = = ∫ , • 3 3 0 0 3 sin 3cos 6 xdx x π π = −= ∫ , • [ ] 2 2 0 3 2 0 2 84 3 26 32 3 3 3 x x x x dx x   + = +− =+ − −=−     ∫ , • [ ] 0 0 11 cos[3 ] sin[3 s ] sin 4 33 in 0 x dx x π π π π ππ + − += = = ∫ . Vậy chọn ln 10 2 0 x e dx ∫ . Phương pháp trắc nghiệm Nhập các phép tính sau vào máy tính để thu kết quả: Phép tính Kết quả 3 ln 10 2 00 [ 1] x x x dx e dx −− ∫∫ 0 33 00 [ 1] sin x x dx xdx π −− ∫ ∫ 3 2 − [ ] 3 0 2 2 0 3 [ 1] x x dx x x dx −− − + ∫∫ 35 6 3 00 [ 1] cos[3 ] x x dx x dx π π −− + ∫∫ 9 2 Vậy chọn ln 10 2 0 x e dx ∫ . Câu 21. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ ] ; ab , sao cho [] 0 b a f x dx ≥ ∫ thì [] 0 fx ≥ [; ] x ab ∀∈ . B. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [ 3;3] − , luôn có 3 3 [] 0 f x dx − = ∫ . C. Với mọi hàm số f liên tục trên  , ta có [] [] [ ] ba ab f xdx f xd x − = ∫∫ . D. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [ ] 1;5 thì [ ] [ ] 5 3 5 2 1 1 [] [] 3 fx f x dx = ∫ . Hướng dẫn giải Vì [ ] [ 1] d x dx −=− nên [] [] [][ 1] [] [ ] b aa a a bb b fx dx fx dx fx dx fx d x = −= − = − ∫ ∫∫ ∫ . Câu 22. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu f là hàm số chẵn trên  thì 10 01 [] [] f x dx f x dx − = ∫ ∫ . Trang 35/80 B. Nếu 01 10 [] [] f x dx f x dx − = ∫ ∫ thì f là hàm số chẵn trên đoạn [ 1;1] − . C. Nếu 1 1 [] 0 f x dx − = ∫ thì f là hàm số lẻ trên đoạn [ 1;1] − . D. Nếu 1 1 [] 0 f x dx − = ∫ thì f là hàm số chẵn trên đoạn [ 1;1] − . Hướng dẫn giải • Hàm số 3 2 x yx = − thỏa 01 10 [] [] f x dx f x dx − = ∫ ∫ và 1 1 [] 0 f x dx − = ∫ , nhưng nó là hàm lẻ trên [ 1;1] − . • Hàm số 2 1 3 yx = − thỏa 1 1 [] 0 f x dx − = ∫ , nhưng nó làm hàm chẵn trên [ 1;1] − . • Còn khi f là hàm chẵn trên  thì [] [ ] fx f x = − với mọi x ∈  . Đặt t x dt dx =−⇒ =− và suy ra 1 1 1 1 10 0 0 0 0 01 [] [][ 1] [] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] . f x dx f x dx f x d x f x d x f t dt f t dt − − − = −= = − −− − −= − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Câu 23. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số 65 sin yx x = trên khoảng [0; ] + ∞ . Khi đó 1 6 2 5 sin x x dx ∫ có giá trị bằng A. [2] [1] FF − . B. [1] F − . C. [] 2 F . D. [1] [2] FF − . Hướng dẫn giải Áp dụng công thức [ ] [] [ ] b a f x dx F b F a = − ∫ , trong đó F là một nguyên hàm của f trên đoạn [; ] ab , ta có 2 1 65 sin 2] [ ] [ 1 x dx F xF = − ∫ . Câu 24. Cho hàm số f liên tục trên  và hai số thực ab < . Nếu [] b a f x dx α = ∫ thì tích phân 2 2 [2 ] b a f x dx ∫ có giá trị bằng A. 2 α . B. 2 α . C. α . D. 4 α . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Đặt 22 t x dt dx = ⇒= và x 2 a 2 b t a b Vậy 22 22 11 [2 ] [2 ]2 [ ] 2 22 bb b aa a f x dx f x dx f t dt α = = = ∫∫ ∫ . Phương pháp trắc nghiệm Phương pháp tự luận tốt hơn cả, nhưng nếu học sinh không nắm rõ, có thể thay f bởi một hàm số đơn giản, xác định trên [0;1] và tính toán. Trang 36/80 Ví dụ [] fx x = với [0;1] x ∈ . Khi đó 11 00 1 [] 2 f x dx xdx α = = = ∫∫ , suy ra 1/2 1/2 00 1 [2 ] 2 42 f x dx xdx α = = = ∫ ∫ . Câu 25. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số 35 sin yx x = trên khoảng [0; ] + ∞ . Khi đó tích phân 35 2 1 81 3 sin x xdx ∫ có giá trị bằng A. [ ] 3 [6] [3] F F − . B. [6] [3] F F − . C. [ ] 3 [2] [1] FF − . D. [2] [1] FF − . Hướng dẫn giải Đăt 33 t x dt dx = ⇒= và đổi cận x 1 2 t 3 6 Vậy 35 3 5 3 22 6 13 5 1 sin sin ]3 sin 81 3 [3 ] [ 3 [6] [3] x dx x dx t dt F x xt F = = = − ∫∫ ∫ . Câu 26. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn 2 0 [] 6 f x dx = ∫ . Giá trị của tích phân 2 0 [2sin ]cos f x xdx π ∫ là A. 6 − . B. 6 . C. 3 − . D. 3 . Hướng dẫn giải Đặt 2sin 2cos t x dt xdx = ⇒= và x 0 2 π t 0 2 Vậy 2 2 2 0 0 0 [] 1 [2sin ]cos [ ] 3 22 ft f x xdx dt f t dt π = = = ∫ ∫∫ . Câu 27. Bài toán tính tích phân 1 ln 1ln e xx I dx x + = ∫ được một học sinh giải theo ba bước sau: I. Đặt ẩn phụ ln 1 t x = + , suy ra 1 dt dx x = và x 1 e t 1 2 II. [ ] 2 11 ln 1ln 1 e xx I dx t t dt x + = = − ∫∫ III. [ ] 2 2 5 1 1 2 1 1 3 2 I t t dt t t  = −=− =+   ∫ . Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A. Bài giải đúng. B. Sai từ Bước II. C. Sai từ Bước I. D. Sai ở Bước III. Hướng dẫn giải Bước III sai. Phép tính đúng là [ ] [ ] 2 2 53 1 1 2 2 4 21 1 5 3 15 I t t dt t t +  = −= − =   ∫ . Trang 37/80 Câu 28. Xét tích phân 3 0 sin 2 1 cos x I dx x π = + ∫ . Thực hiện phép đổi biến cos tx = , ta có thể đưa I về dạng nào sau đây A. 4 0 2 1 t I dt t π = − + ∫ . B. 4 0 2 1 t I dt t π = + ∫ . C. 1 1 2 2 1 t I dt t = − + ∫ . D. 1 1 2 2 1 t I dt t = + ∫ . Hướng dẫn giải Ta có cos sin t x dt xdx = ⇒= − . Khi 0 x = thì 1 t = , khi 3 x π = thì 1 2 t = . Vậy 33 2 1 0 1 02 1 1 sin 2 2sin cos 2 2 1 cos 1 cos 1 1 x xx t t I dx dx dt dt x x tt ππ = = = −= + + ++ ∫ ∫ ∫∫ . Câu 29. Cho hàm số [] y fx = liên tục trên đoạn [; ] ab . Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào luôn đúng? A. [] [] bb aa f x dx f x dx > ∫∫ . B. [ ] [] bb aa f x dx f x dx ≥ ∫∫ . C. [] [] bb aa f x dx f x dx ≥ ∫∫ . D. [ ] [] bb aa f x dx f x dx > ∫∫ . Câu 30. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? A. 11 00 sin[1 ] sin x dx xdx −= ∫∫ . B. 1 0 [1 ] 0 x x dx += ∫ . C. 2 00 sin 2 sin 2 x dx xdx π π = ∫∫ . D. 1 2017 1 2 [1 ] 2019 x x dx − += ∫ . Hướng dẫn giải Cách 1: Tính trực tiếp các tích phân • Đặt 1 01 0 10 1 sin[1 ] sin sin t x dt dx x dx tdt tdt =−⇒ =− ⇒ − =− = ∫ ∫ ∫ • Đặt 2 0 0 1 sin 2sin 22 2 xx t dt dx dx tdt π π = ⇒= ⇒ = ∫∫ • 1 1 2018 2019 2018 2019 2018 2019 2017 1 1 1 1 [ 1] [ 1] 2 [1 ] 2018 2019 2018 2019 2018 2019 2019 xx x x dx − −     −− += + = + − + =         ∫ Vậy 1 0 [1 ] 0 x x dx += ∫ sai. Cách 2: Nhận xét tích phân Ta thấy [1 ] 1 x x +≥ với mọi [0;1] x ∈ nên 11 00 [1 ] 1 1 x x dx dx ≥= + ∫∫ , vậy “ 1 0 [1 ] 0 x x dx += ∫ ” là khẳng định sai. Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm Nhập các phép tính sau vào máy tính để thu kết quả: Phép tính Kết quả 1 0 [1 ] x x dx + ∫ 0 > Trang 38/80 11 00 sin[1 ] sin x dx xdx −− ∫∫ 0 2 00 sin 2 sin 2 x dx xdx π π − ∫∫ 0 1 2017 1 2 [1 ] 2019 x x dx − + − ∫ 0 suy ra 1 0 [1 ] 0 x x dx += ∫ là khẳng định sai. Câu 31. Cho hàm số [] y fx = lẻ và liên tục trên đoạn [ 2;2] − . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào luôn đúng? A. 22 20 ] [] 2 [ f x dx f x dx − = ∫∫ . B. 2 2 [] 0 f x dx − = ∫ . C. 20 22 2 [] [] f x dx f x dx −− = ∫ ∫ . D. 22 20 ] [] 2 [ f x dx f x dx − = − ∫∫ . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Với hàm số f bất kỳ và số thực dương a , ta luôn nằm lòng 2 tính chất sau đây: • Nếu f là hàm số lẻ trên đoạn [- ; ] aa thì [] 0 a a f x dx − = ∫ , • Nếu f là hàm số chẵn trên đoạn [- ; ] aa thì 0 [] 2 [] aa a f x dx f x dx − = ∫ ∫ . Vậy trong bài này ta chọn 2 2 [] 0 f x dx − = ∫ . Phương pháp trắc nghiệm Nếu học sinh không nắm rõ hai tính chất kể trên, có thể thay f bởi một hàm số đơn giản, xác định trên [ 2;2] − và tính toán. Ví dụ [] fx x = với [ 2;2] x∈− . Khi đó  2 2 [] 0 f x dx − = ∫ ,  22 20 ] [] 2 [ f x dx f x dx − ≠ ∫ ∫ ,  20 22 2 [] [] f x dx f x dx −− ≠ ∫∫ ,  22 20 ] [] 2 [ f x dx f x dx − ≠− ∫∫ . Vậy chọn 2 2 [] 0 f x dx − = ∫ . Câu 32. Bài toán tính tích phân 1 2 2 [ 1] I x dx − = + ∫ được một học sinh giải theo ba bước sau: I. Đặt ẩn phụ 2 [ 1] t x = + , suy ra 2[ 1] dt x dx = + , II. Từ đây suy ra 2[ 1] 2 dt dt dx dx x t =⇒= + . Đổi cận x 2 − 1 t 1 4 III. Vậy 4 1 4 23 1 21 17 [ 1] 33 2 t I x dx dt t t − = += = = ∫∫ . Trang 39/80 Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A. Sai từ Bước I. B. Sai ở Bước III. C. Sai từ Bước II. D. Bài giải đúng. Hướng dẫn giải Khi đặt 2 [ 1] t x = + với 1 2 x − ≤≤ thì không suy ra 1 tx = + được, vì 1 x + có thể bị âm khi 1 2 x − ≤ ≤− . Câu 33. Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân. Mỗi bài giải đúng được 2,5 điểm, mỗi bài giải sai [sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm] được 0 điểm. Học sinh đã giải 4 bài toán đó như sau: Bài Đề bài Bài giải của học sinh 1 2 1 0 x e xdx ∫ [ ] 2 2 2 1 1 0 00 2 1 11 2 22 x xx ee e xdx e d x − = = = ∫∫ 2 1 2 0 1 2 dx xx −− ∫ [ ] 1 1 2 0 2 0 1 ln 2 ln 2 ln 2 0 2 dx x x xx = −− = − = −− ∫ 3 0 sin 2 cos x xdx π ∫ Đặt cos tx = , suy ra sin dt xdx = − . Khi 0 x = thì 1 t = ; khi x π = thì 1 t = − . Vậy 1 1 3 22 1 00 1 24 sin 2 cos 2 sin cos 2 33 t x xdx x xdx t dt π π − − = = − == ∫∫ ∫ 4 1 1 [4 2 ]ln e ex dx x + − ∫ [ ] [ ] 11 2 1 1 [4 2 ]ln 1 [4 2 ]ln ln [4 2 ]ln 3 e e e ex dx e x d x x x ex e + − = + −   = + − =−   ∫∫ Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu? A. 5,0 điểm. B. 2,5 điểm. C. 7,5 điểm. D. 10,0 điểm. Hướng dẫn giải Bài toán 2 giải sai. Cách giải đúng là 1 11 2 0 00 1 1 1 22 ln ln 2 2 [ 1][ 2] 3 1 3 x dx dx xx x x x − = = = − −− + − + ∫∫ Bài toán 4 ra kết quả đúng, nhưng cách tính nguyên hàm sai hoàn toàn. Lời giải đúng là: [ ] [ ] 2 1 11 1 [4 2 ]ln 1 [4 2 ]ln ln ln [2 ]ln 3 e e e ex dx e x d x x e x e x + −  = + − = + − =−  ∫∫ Kinh nghiệm Kết quả đúng thì chưa chắc bài giải đúng. Câu 34. Cho hai hàm số liên tục f và g liên tục trên đoạn [; ] ab . Gọi F và G lần lượt là một nguyên hàm của f và g trên đoạn [; ] ab . Đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. [ ] [] [] [] [] [] [] b b b a a a f x G x dx F x g x F x G x dx = − ∫∫ . B. [ ] [] [] [] [] [] [] bb b a aa f x G x dx F x G x F x g x dx = − ∫∫ . C. [ ] [] [] [] [] [] [] bb b a aa f x G x dx f x g x F x g x dx = − ∫∫ . D. [ ] [] [] [] [] [] [] bb b a aa f x G x dx F x G x f x g x dx = − ∫∫ . Trang 40/80 Câu 35. Tích phân 0 2 x I xe dx − − = ∫ có giá trị bằng A. 2 1 e − + . B. 2 31 e − . C. 2 1 e − − . D. 2 21 e −+ . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Sử dụng tích phân từng phần, ta được [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0 2 0 00 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 22 1. x x x x x x x x I xe dx xd e xe e dx xe e dx xe e e − − − − − − − − − − − − − − −− =   = − = − − = −+ = −− = −−     ∫ ∫ ∫∫ Phương pháp trắc nghiệm Dùng máy tính tính 0 2 x xe dx − − ∫ như hình bên, thu được kết quả như hình bên. Loại được đáp án 2 31 e − . Sau đó thử từng đáp án còn lại để tìm ra kết quả. Câu 36. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [; ] ab và số thực k bất kỳ trong  . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? A [ ] [] [] [] [] b bb a aa f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫∫ . B. [] [] ba ab f x dx f x dx = − ∫∫ . C. [] [] bb aa kf x dx k f x dx = ∫∫ . D. [] [] bb aa xf x dx x f x dx = ∫∫ . Câu 37. Cho hàm số f liên tục trên  và số thực dương a . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào luôn đúng? A. [] 1 a a f x dx = ∫ . B. [] 0 a a f x dx = ∫ . C. [] 1 a a f x dx = − ∫ . D. [] [ ] a a f x dx f a = ∫ . Câu 38. Tích phân 1 0 dx ∫ có giá trị bằng A. 2 . B. 1 − . C. 0 . D. 1. Câu 39. Cho số thực a thỏa mãn 12 1 1 a x e dx e + − = − ∫ , khi đó a có giá trị bằng A. 0 . B. 1 − . D. 1. D. 2 . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Ta có 1 11 1 1 a a x xa e dx e e e + ++ − − = = − ∫ . Vậy yêu cầu bài toán tương đương 1 2 1 1 1 a e e a + −⇔ = = − . Câu 40. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0; ] π đạt giá trị bằng 0 ? A. [ ] cos3 fx x = . B. [ ] sin 3 fx x = . C. [ ] cos 42 x fx π  = +   . D. [ ] sin 42 x fx π  = +   . Hướng dẫn giải Tính tích phân cho từng hàm số trong các đáp án: Trang 41/80 • 0 0 1 cos3 sin 3 0 3 xdx x π π = = ∫ • 0 0 1 sin 3 cos3 2 3 xdx x π π = − = ∫ • [ ] 0 0 cos 4sin 2 2 2 42 42 xx dx π π ππ   + = += −     ∫ • 0 0 sin 4cos 2 2 42 42 xx dx π π π π   + = − +=     ∫ . Vậy chọn [ ] cos3 fx x = . Câu 41. Tích phân nào trong các tích phân sau có giá trị khác 2 ? A. 0 sinxdx π ∫ . B. 1 0 2dx ∫ . B. 2 1 ln e xdx ∫ . D. 2 0 xdx ∫ . Câu 42. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn 12 1 2 [] [] f x dx f x dx − − = ∫∫ ? A. [ ] cos fx x = . B. [ ] sin fx x = . C. [] x fx e = . D. [] 1 fx x = + . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Tính lần lượt từng tích phân [cho đến khi nhận được kết quả đúng], ta được: • 12 1 1 12 sin cos 0 sin xdx x xdx − −− = −= = ∫∫  nhận, • 1 1 1 1 cos sin 2sin1 xdx x − − = = ∫ , và 2 2 2 2 cos sin 2sin 2 xdx x − − = = ∫  loại, • 1 1 1 1 1 x x e dx e e e − − − = = − ∫ , và 2 2 22 2 2 x x e dx e e e − − − = = − ∫  loại, • 1 1 1 2 1 [ 1] [ 1] 2 2 x x dx − − + += = ∫ , và 2 2 2 2 2 [ 1] [ 1] 4 2 x x dx − − + += = ∫  loại. Vậy ta nhận đáp án [ ] sin fx x = . [Phương pháp trắc nghiệm] Thực hiện các phép tính sau trên máy tính [đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng] Phép tính Kết quả 12 12 sin sin xdx xdx −− − ∫∫ 0 12 12 cos cos xdx xdx −− − ∫ ∫ 0 ≠ 12 12 x x e dx e dx −− − ∫∫ 0 ≠ 12 12 [ 1] [ 1] x dx x dx −− + − + ∫∫ 0 ≠ Vậy ta nhận đáp án [ ] sin fx x = . Trang 42/80 Câu 43. Tích phân 5 2 dx I x = ∫ có giá trị bằng A. 1 ln 3 3 . B. 5 ln 2 . C. 3ln 3 . D. 2 ln 5 . Hướng dẫn giải [Cách 1: Phương pháp tự luận] 5 5 2 2 5 ln ln 5 ln 2 ln 2 dx Ix x = = = − = ∫ . [Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm] Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị 0,91629... Bước 2: Lấy 0,91629... e cho kết quả 5 2  chọn 5 ln 2 . [Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm] Thực hiện các phép tính sau trên máy tính [đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng] Phép tính Kết quả Phép tính Kết quả 5 2 5 ln 2 dx x − ∫ 0 5 2 3ln 3 dx x − ∫ 0 ≠ 5 2 1 ln 3 3 d x x − ∫ 0 ≠ 5 2 2 ln 5 dx x − ∫ 0 ≠  chọn 5 ln 2 . Câu 44. Tích phân 2 3 sin x I x d π π = ∫ có giá trị bằng A. 1 2ln 3 . B. 2ln 3 . C. 1 ln 3 2 . D. 11 ln 23 . Hướng dẫn giải [Cách 1: Phương pháp tự luận] 22 22 2 33 3 2 3 cos sin 1 2 2 cot tan 2 22 2 2 13 ln sin ln cos ln ln ln l sin 2sin cos 22 n ln 3. 2 2 2 2 2 2 x x dx x x xx x I dx dx xx ππ π ππ π π π  +     = = = +           = − = −− −=             ∫∫ ∫ . [Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm] Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị 0,549306... Bước 2: Lấy 0,549306... e cho kết quả 1,732050808... 3 ≈  Trang 43/80 chọn 1 ln 3 2 . [Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm] Thực hiện các phép tính sau trên máy tính [đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng] Phép tính Kết quả Phép tính Kết quả 2 3 1 ln 3 2 sinx dx π π − ∫ 0 2 3 1 2ln 3 sinx dx π π − ∫ 0 ≠ 2 3 2ln 3 sinx dx π π − ∫ 0 ≠ 2 3 11 n 3 si ln 2 dx x π π − ∫ 0 ≠  chọn 1 ln 3 2 . Nhận xét: Ở bài này cách làm bằng máy tính có vẻ nhanh hơn. Câu 45. Nếu [ ] 0 /2 2 4 2 x e dx K e − − − =− ∫ thì giá trị của K là A. 9 . B. 10. C. 11. D. 12,5 . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] [ ] [ ] [ ] 0 0 /2 /2 2 2 4 2 4 2 2 2 8 2 2 10 xx K e dx e x e e e e −− − − = − += + +=−−+ += ∫ . [Phương pháp trắc nghiệm] Dùng máy tính tính [ ] 0 /2 2 42 x e dx e − − −+ ∫ như hình bên, thu được giá trị 10 K = . Câu 46. Tích phân 1 0 2 1 2 x x x Id −− = ∫ có giá trị bằng A. 2ln 2 − . B. 2ln 2 3 . C. 2ln 2 3 − . D. Không xác định. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] [ ] 11 1 0 00 0 2 1 1 1 1 1 1 1 2ln 2 ln 2 ln 1 [ 2][ 1] 3 2 1 2 33 dx dx dx x x x xx x x x   = = − = − − + −− = −   −+ − +   ∫∫ ∫ . Học sinh có thể áp dụng công thức 11 ln [ ][ ] xa dx C x a x b a b x b − = + − − − − ∫ để giảm một bước tính: 1 11 0 00 2 1 1 1 2 2ln 2 ln [ 2][ 1] 3 1 3 2 x I dx dx x x xx x − = = = = − − + + − − ∫∫ [Phương pháp trắc nghiệm] Trang 44/80 Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị 0.4620981... − Bước 2: Loại đáp án dương 2ln 2 3 và loại đáp án nhiễu “Không xác định”. Bước 3: Chia giá trị 0.4620981... − cho ln 2 , nhận được 2 3 −  chọn 2ln 2 3 − . Câu 47. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho 5 1 [] 2 f x dx = ∫ và 5 1 [] 4 g x dx = − ∫ . Giá trị của [ ] 5 1 [] [] g x f x dx − ∫ là A. 2 − . B. 6 . C. 2 . D. 6 − . Hướng dẫn giải [ ] 5 55 1 11 [] [] [] [] 4 2 6 g x f x dx g x dx f x dx − = − =−− =− ∫ ∫ ∫ . Câu 48. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3]. Nếu 3 0 [] 2 f x dx = ∫ thì tích phân [ ] 3 0 2 [] x f x dx − ∫ có giá trị bằng A. 7 . B. 5 2 . C. 5 . D. 1 2 . Hướng dẫn giải [ ] 3 33 0 00 9 1 2 [] 2 [] 2 2 2 2 x f x dx xdx f x dx − = − = − × = ∫ ∫ ∫ . Câu 49. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] . Nếu 5 1 [] 2 f x dx = ∫ và 3 1 [] 7 f x dx = ∫ thì 5 3 [] f x dx ∫ có giá trị bằng A. 9 − . B. 5 . C. 9 . D. 5 − . Hướng dẫn giải 5 1 5 35 3 31 1 1 [] [] [] [] [] 7 2 5 f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =+ = − + = −+= − ∫ ∫∫ ∫∫ . Câu 50. Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai? A. [ ] 2 2 2 1 1 1 2 x x dx x   += +     ∫ . B. [ ] 3 3 1 1 x x e dx e = ∫ . C. [ ] 2 2 cos sin xdx x π π π π = ∫ . D. [ ] 2 2 3 3 1 ln dx x x − − − − = ∫ . Hướng dẫn giải Phép tính [ ] 2 2 3 3 1 ln dx x x − − − − = ∫ là sai. Phép tính đúng là [ ] 2 2 3 3 1 ln dx x x − − − − = ∫ . Câu 51. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [; ] ab có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [; ] ab . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ? Trang 45/80 A. '[] [] F x fx = với mọi [; ] x ab ∈ . B. [ ] [] [ ] b a f x dx f b f a = − ∫ . C. [ ] [] [ ] b a f x dx F b F a = − ∫ . D. Hàm số G cho bởi [] [] 5 Gx F x = + cũng thỏa mãn [ ] [] [ ] b a f x dx G b G a = − ∫ . Câu 52. Xét hàm số f liên tục trên  và các số thực a , b , c tùy ý. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? A. [] [] [] b cb a ac f x dx f x dx f x dx = − ∫ ∫ ∫ . B. [] [] [] b cb a ac f x dx f x dx f x dx = + ∫ ∫∫ . C. [] [] [] b ba a cc f x dx f x dx f x dx = − ∫ ∫ ∫ . D. [] [] [] b cc a ab f x dx f x dx f x dx = − ∫ ∫ ∫ . Câu 53. Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [ ] ; ab .Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Nếu [] fx m ≥ [; ] b x a ∀ ∈ thì ] [ [ ] b a m fd b xx a ≥ − ∫ . B. Nếu [] fx m ≥ [; ] b x a ∀ ∈ thì ] [ [ ] b a m fd a xx b ≥− ∫ . C. Nếu [] fx M ≤ [; ] b x a ∀ ∈ thì ] [ [ ] b a M fd a xx b ≤− ∫ . D. Nếu [] m M fx ≤≤ [; ] b x a ∀ ∈ thì [ [] ] ][ b a m b a f x dx Ma b ≤ ≤− − ∫ . Hướng dẫn giải Mệnh đề “Nếu [] fx M ≥ [; ] b x a ∀ ∈ thì ] [ [ ] b a M fd b xx a ≥− ∫ ” sai, mệnh đề đúng phải là “Nếu [] fx M ≥ [; ] b x a ∀ ∈ thì ] [ [ ] b a M fd a xx b ≥− ∫ ”. Câu 54. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [; ] ab sao cho [] 0 gx ≠ với mọi [; ] x ab ∈ . Một học sinh lên bảng và phát biểu các tính chất sau: I. [ ] [] [] [] [] b bb a aa f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫∫ . II. [ ] [] [] [] [] b bb a aa f x g x dx f x dx g x dx −= − ∫ ∫ ∫ . III. [ ] []. [] [] . [] b bb a aa f x g x dx f x dx g x dx = ∫ ∫∫ . IV. [] [] [] [] b b a b a a f x dx fx dx gx g x dx = ∫ ∫ ∫ . Trong số các phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu sai? A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Hướng dẫn giải Trang 46/80 Các phát biểu [] [] [] [] b b a b a a f x dx fx dx gx g x dx = ∫ ∫ ∫ và [ ] []. [] [] . [] b bb a aa f x g x dx f x dx g x dx = ∫ ∫∫ là sai. Câu 55. Tích phân 3 0 [ 1] x x dx − ∫ có giá trị bằng với tích phân nào trong các tích phân dưới đây ? A. 0 cos[3 ] x dx π π + ∫ . B. 3 0 3 sinxdx π ∫ . C. [ ] 2 2 0 3 x x dx − + ∫ . D. ln 10 2 0 x e dx ∫ . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Tính rõ từng phép tính tích phân để tìm ra kết quả đúng [Chỉ tính đến khi nhận được kết quả đúng thì dừng lại]: • ln 10 ln 10 2 2ln 10 2 0 0 1 9 2 22 x x ee e dx − = = = ∫ , • 3 3 0 0 3 sin 3cos 6 xdx x π π = −= ∫ , • [ ] 2 2 0 3 2 0 2 84 3 26 32 3 3 3 x x x x dx x   + = +− =+ − −=−     ∫ , • [ ] 0 0 11 cos[3 ] sin[3 s ] sin 4 33 in 0 x dx x π π π π ππ + − += = = ∫ . Vậy chọn ln 10 2 0 x e dx ∫ . [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập các phép tính sau vào máy tính để thu kết quả: Phép tính Kết quả 3 ln 10 2 00 [ 1] x x x dx e dx −− ∫∫ 0 33 00 [ 1] sin x x dx xdx π −− ∫ ∫ 3 2 − [ ] 3 0 2 2 0 3 [ 1] x x dx x x dx −− − + ∫∫ 35 6 3 00 [ 1] cos[3 ] x x dx x dx π π −− + ∫∫ 9 2 Vậy chọn ln 10 2 0 x e dx ∫ . Câu 56. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [ 3;3] − , luôn có 3 3 [] 0 f x dx − = ∫ . Trang 47/80 B. Với mọi hàm số f liên tục trên  , ta có [] [] [ ] ba ab f xdx f xd x − = ∫∫ . C. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ ] ; ab , sao cho [] 0 b a f x dx ≥ ∫ thì [] 0 fx ≥ [; ] x ab ∀∈ . D. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [ ] 1;5 thì [ ] [ ] 5 3 5 2 1 1 [] [] 3 fx f x dx = ∫ . Hướng dẫn giải Vì [ ] [ 1] d x dx −=− nên [] [] [][ 1] [] [ ] b aa a a bb b fx dx fx dx fx dx fx d x = −= − = − ∫ ∫∫ ∫ . Câu 57. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu f là hàm số chẵn trên  thì 10 01 [] [] f x dx f x dx − = ∫ ∫ . B. Nếu 01 10 [] [] f x dx f x dx − = ∫ ∫ thì f là hàm số chẵn trên đoạn [ 1;1] − . C. Nếu 1 1 [] 0 f x dx − = ∫ thì f là hàm số lẻ trên đoạn [ 1;1] − . D. Nếu 1 1 [] 0 f x dx − = ∫ thì f là hàm số chẵn trên đoạn [ 1;1] − . Hướng dẫn giải • Hàm số 3 2 x yx = − thỏa 01 10 [] [] f x dx f x dx − = ∫ ∫ và 1 1 [] 0 f x dx − = ∫ , nhưng nó là hàm lẻ trên [ 1;1] − . • Hàm số 2 1 3 yx = − thỏa 1 1 [] 0 f x dx − = ∫ , nhưng nó làm hàm chẵn trên [ 1;1] − . • Còn khi f là hàm chẵn trên  thì [] [ ] fx f x = − với mọi x ∈  . Đặt t x dt dx =−⇒ =− và suy ra 11 1 00 0 1 10 0 01 [] [][ 1] [] [ ] [ ] [ ] [] [] . fx dx fx dx fx d x f x d x f t dt f t dt − − −= − = = −− − − −= − = ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Câu 58. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số sinx y x = trên khoảng [0; ] + ∞ . Khi đó 2 1 sinx dx x ∫ có giá trị bằng A. [2] [1] FF − . B. [1] F − . C. [] 2 F . D. [2] [1] FF + . Hướng dẫn giải Áp dụng công thức [ ] [] [ ] b a f x dx F b F a = − ∫ , trong đó F là một nguyên hàm của f trên đoạn [; ] ab , ta có 2 1 2] [1] sin [ x dx F x F = − ∫ . Trang 48/80 Câu 59. Cho hàm số f liên tục trên  và hai số thực ab < . Nếu [] b a f x dx α = ∫ thì tích phân 2 2 [2 ] b a f x dx ∫ có giá trị bằng A. α . B. 2 α . C. 2 α . D. 4 α . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Đăt 22 t x dt dx = ⇒= và x 2 a 2 b t a b Vậy 22 22 11 [2 ] [2 ]2 [ ] 2 22 bb b aa a f x dx f x dx f t dt α = = = ∫∫ ∫ . [Phương pháp trắc nghiệm] Phương pháp tự luận tốt hơn cả, nhưng nếu học sinh không nắm rõ, có thể thay f bởi một hàm số đơn giản, xác định trên [0;1] và tính toán. Ví dụ [] fx x = với [0;1] x ∈ . Khi đó 11 00 1 [] 2 f x dx xdx α = = = ∫∫ suy ra 1/2 1/2 00 1 [2 ] 2 42 f x dx xdx α = = = ∫ ∫ . Câu 60. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số sinx y x = trên khoảng [0; ] + ∞ . Khi đó 2 1 sin 3x dx x ∫ có giá trị bằng A. [6] [3] F F − . B. [ ] 3 [6] [3] F F − . C. [ ] 3 [2] [1] FF − . D. [2] [1] FF − . Hướng dẫn giải Đăt 33 t x dt dx = ⇒= và x 1 2 t 3 6 Vậy 22 6 11 3 sin 3 sin 3 sin 3 [6] [3] 3 x xt dx dx dt F F x xt = = = − ∫ ∫ ∫ . Câu 61. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn 2 0 [] 6 f x dx = ∫ . Giá trị của 2 0 [2sin ]cos f x xdx π ∫ là A. 3 . B. 6 . C. 3 − . D. 6 − . Hướng dẫn giải Đăt 2sin 2cos t x dt xdx = ⇒= và x 0 2 π t 0 2 Vậy 2 2 2 0 0 0 [] 1 [2sin ]cos [ ] 3 22 ft f x xdx dt f t dt π = = = ∫ ∫∫ . Trang 49/80 Câu 62. Bài toán tính tích phân 1 ln 1ln e xx I dx x + = ∫ được một học sinh giải theo ba bước sau: I. Đặt ẩn phụ ln 1 t x = + , suy ra 1 dt dx x = và x 1 e t 1 2 II. [ ] 2 11 ln 1ln 1 e xx I dx t t dt x + = = − ∫∫ III. [ ] 2 2 5 1 1 2 1 1 3 2 I t t dt t t  = −=− =+   ∫ . Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A. Bài giải đúng. B. Sai từ Bước II. C. Sai từ Bước I. D. Sai ở Bước III. Hướng dẫn giải Bước III sai. Phép tính đúng là [ ] [ ] 2 2 53 1 1 2 2 4 21 1 5 3 15 I t t dt t t +  = −= − =   ∫ . Câu 63. Xét tích phân 3 0 sin 2 1 cos x I dx x π = + ∫ . Thực hiện phép đổi biến cos tx = , ta có thể đưa I về dạng nào sau đây A. 1 1 2 2 1 t I dt t = + ∫ . B. 4 0 2 1 t I dt t π = + ∫ . C. 1 1 2 2 1 t I dt t = − + ∫ . D. 4 0 2 1 t I dt t π = − + ∫ . Hướng dẫn giải Ta có cos sin t x dt xdx = ⇒= − . Khi 0 x = thì 1 t = , khi 3 x π = thì 1 2 t = . Vậy 33 2 1 0 1 02 1 1 sin 2 2sin cos 2 2 1 cos 1 cos 1 1 x xx t t I dx dx dt dt x x tt ππ = = = −= + + ++ ∫ ∫ ∫∫ . Câu 64. Cho hàm số [] y fx = bất kỳ liên tục trên đoạn [; ] ab . Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào luôn đúng? A. [ ] [] bb aa f x dx f x dx ≥ ∫∫ . B. [] [] bb aa f x dx f x dx ≥ ∫∫ . C. [] [] bb aa f x dx f x dx > ∫∫ . D. [ ] [] bb aa f x dx f x dx > ∫∫ . Câu 65. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? A. 1 0 [1 ] 0 x x dx += ∫ . B. 11 00 sin[1 ] sin x dx xdx −= ∫∫ . C. 2 00 sin 2 sin 2 x dx xdx π π = ∫∫ . D. 1 2017 1 2 [1 ] 2019 x x dx − += ∫ . Hướng dẫn giải [Cách 1: Tính trực tiếp các tích phân] Trang 50/80 • Đặt 1 01 0 10 1 sin[1 ] sin sin t x dt dx x dx tdt tdt =−⇒ =− ⇒ − =− = ∫ ∫ ∫ • Đặt 2 0 0 1 sin 2sin 22 2 xx t dt dx dx tdt π π = ⇒= ⇒ = ∫∫ • 1 1 2018 2019 2018 2019 2018 2019 2017 1 1 1 1 [ 1] [ 1] 2 [1 ] 2018 2019 2018 2019 2018 2019 2019 xx x x dx − −     −− += + = + − + =         ∫ Vậy 1 0 [1 ] 0 x x dx += ∫ sai. [Cách 2: Nhận xét tích phân] Ta thấy [1 ] 1 x x +≥ với mọi [0;1] x ∈ nên 11 00 [1 ] 1 1 x x dx dx ≥= + ∫∫ , vậy “ 1 0 [1 ] 0 x x dx += ∫ ” là khẳng định sai. [Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm] Nhập các phép tính sau vào máy tính để thu kết quả: Phép tính Kết quả 1 0 [1 ] x x dx + ∫ 0 > 11 00 sin[1 ] sin x dx xdx −− ∫∫ 0 2 00 sin 2 sin 2 x dx xdx π π − ∫∫ 0 1 2017 1 2 [1 ] 2019 x x dx − + − ∫ 0 suy ra 1 0 [1 ] 0 x x dx += ∫ là khẳng định sai. Câu 66. Cho hàm số [] y fx = lẻ và liên tục trên đoạn [ 2;2] − . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào luôn đúng? A. 22 20 ] [] 2 [ f x dx f x dx − = − ∫∫ . B. 22 20 ] [] 2 [ f x dx f x dx − = ∫∫ . C. 20 22 2 [] [] f x dx f x dx −− = ∫ ∫ . D. 2 2 [] 0 f x dx − = ∫ . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Với hàm số f bất kỳ và số thực dương a , ta luôn nằm lòng 2 tính chất sau đây: • Nếu f là hàm số lẻ trên đoạn [- ; ] aa thì [] 0 a a f x dx − = ∫ , • Nếu f là hàm số chẵn trên đoạn [- ; ] aa thì 0 [] 2 [] aa a f x dx f x dx − = ∫ ∫ . Vậy trong bài này ta chọn 2 2 [] 0 f x dx − = ∫ . [Phương pháp trắc nghiệm] Trang 51/80 Nếu học sinh không nắm rõ hai tính chất kể trên, có thể thay f bởi một hàm số đơn giản, xác định trên [ 2;2] − và tính toán. Ví dụ [] fx x = với [ 2;2] x∈− . Khi đó  2 2 [] 0 f x dx − = ∫ ,  22 20 ] [] 2 [ f x dx f x dx − ≠ ∫ ∫ ,  20 22 2 [] [] f x dx f x dx −− ≠ ∫∫ ,  22 20 ] [] 2 [ f x dx f x dx − ≠− ∫∫ . Vậy chọn 2 2 [] 0 f x dx − = ∫ . Câu 67. Bài toán tính tích phân 1 2 2 [ 1] I x dx − = + ∫ được một học sinh giải theo ba bước sau: I. Đặt ẩn phụ 2 [ 1] t x = + , suy ra 2[ 1] dt x dx = + , II. Từ đây suy ra 2[ 1] 2 dt dt dx dx x t =⇒= + . Bảng giá trị x 2 − 1 t 1 4 III. Vậy 4 1 4 23 1 21 17 [ 1] 33 2 t I x dx dt t t − = += = = ∫∫ . Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A. Sai ở Bước III. B. Sai từ Bước II. C. Sai từ Bước I. D. Bài giải đúng. Hướng dẫn giải Khi đặt 2 [ 1] t x = + với 1 2 x − ≤≤ thì không suy ra 1 tx = + được, vì 1 x + có thể bị âm khi 1 2 x − ≤ ≤− . Câu 68. Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân. Mỗi bài giải đúng được 2,5 điểm, mỗi bài giải sai [sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm] được 0 điểm. Học sinh đã giải 4 bài toán đó như sau: Bài Đề bài Bài giải của học sinh 1 2 1 0 x e xdx ∫ [ ] 2 2 2 1 1 0 00 2 1 11 2 22 x xx ee e xdx e d x − = = = ∫∫ 2 1 2 0 1 2 dx xx −− ∫ [ ] 1 1 2 0 2 0 1 ln 2 ln 2 ln 2 0 2 dx x x xx = −− = − = −− ∫ 3 0 sin 2 cos x xdx π ∫ Đặt cos tx = , suy ra sin dt xdx = − . Khi 0 x = thì 1 t = ; khi x π = thì 1 t = − . Vậy 1 1 3 22 1 00 1 24 sin 2 cos 2 sin cos 2 33 t x xdx x xdx t dt π π − − = = − == ∫∫ ∫ 4 1 1 [4 2 ]ln e ex dx x + − ∫ [ ] [ ] 11 2 1 1 [4 2 ]ln 1 [4 2 ]ln ln [4 2 ]ln 3 e e e ex dx e x d x x x ex e + − = + −   = + − =−   ∫∫ Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu? A. 7,5 điểm. B. 2,5 điểm. C. 5,0 điểm. D. 10,0 điểm. Hướng dẫn giải Trang 52/80 Bài toán 2 giải sai. Cách giải đúng là 1 11 2 0 00 1 1 1 22 ln ln 2 2 [ 1][ 2] 3 1 3 x dx dx xx x x x − = = = − −− + − + ∫∫ Bài toán 4 ra kết quả đúng, nhưng cách tính nguyên hàm sai hoàn toàn. Cách tính đúng là: [ ] [ ] 2 1 11 1 [4 2 ]ln 1 [4 2 ]ln ln ln [2 ]ln 3 e e e ex dx e x d x x e x e x + −  = + − = + − =−  ∫∫ [Kinh nghiệm] Kết quả đúng thì chưa chắc bài giải đúng. Câu 69. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [; ] ab . Đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. [ ] [] [] [] [] [] [] b b b a a a f x G x dx F x g x F x G x dx = − ∫∫ . B. [ ] [] [] [] [] [] [] bb b a aa f x G x dx F x G x F x g x dx = − ∫∫ . C. [ ] [] [] [] [] [] [] bb b a aa f x G x dx f x g x F x g x dx = − ∫∫ . D. [ ] [] [] [] [] [] [] bb b a aa f x G x dx F x G x f x g x dx = − ∫∫ . Câu 70. Tích phân 0 2 x I xe dx − − = ∫ có giá trị bằng A. 2 21 e −+ . B. 2 31 e − . C. 2 1 e − + . D. 2 1 e − − . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Sử dụng tích phân từng phần, ta được [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0 2 0 00 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 22 1. x x x x x x x x I xe dx xd e xe e dx xe e dx xe e e − − − − − − − − − − − − − − −− =   = − = − − = −+ = −− = −−     ∫ ∫ ∫∫ [Phương pháp trắc nghiệm] Dùng máy tính tính 0 2 x xe dx − − ∫ như hình bên, thu được kết quả như hình bên. Loại được đáp án 2 31 e − . Sau đó thử từng đáp án còn lại để tìm ra kết quả. Câu 71. Ta đã biết công thức tích phân từng phần [ ] [] [] [] [] [] [] b b b a a a F x g x dx F x G x f x G x dx = − ∫∫ , trong đó F và G là các nguyên hàm của f và g . Trong các biến đổi sau đây, sử dụng tích phân từng phần ở trên, biến đổi nào là sai? A. [ ] 2 1 11 1 ln ln 22 e e e x x xdx x xdx  = −   ∫∫ , trong đó [ ] ln Fx x = , [] gx x = . B. [ ] 11 0 0 1 0 x xx xe dx xe e dx = − ∫ ∫ , trong đó [] Fx x = , [] x gx e = . Trang 53/80 C. [ ] 0 00 sin cos cos x xdx x x xdx π ππ = − ∫ ∫ , trong đó [] Fx x = , [ ] sin gx x = . D. 11 11 1 0 0 1 0 22 2 ln 2 ln 2 xx x x dx x dx ++ +  = −   ∫∫ , trong đó [] Fx x = , 1 [] 2 x gx + = . Câu 72. Tích phân 0 cos 4 x x dx π π  +   ∫ có giá trị bằng A. [ ] 2 2 2 π − . B. [ ] 2 2 2 π − − . C. [ ] 2 2 2 π + . D. [ ] 2 2 2 π − + . Hướng dẫn giải Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có [ ] 00 00 cos sin sin sin cos 4 4 44 4 22 cos cos . 2 4 4 5 52 2 x x dx x x x dx x ππ π π π π π ππ π π π ππ          + = + − + = + +                      = − + − = −       + ∫∫ [Phương pháp trắc nghiệm] Dùng máy tính tính 0 cos 4 x x dx π π  +   ∫ như hình bên, thu được kết quả như hình bên. Loại được các đáp án dương [ ] 2 2 2 π + và [ ] 2 2 2 π − . Sau đó thử từng đáp án còn lại để tìm ra kết quả. Câu 73. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [0;2] . Biết rằng [0] 0 F = , [2] 1 F = , [0] 2 G = − , [2] 1 G = và 2 0 [] [] 3 F x g x dx = ∫ . Tích phân 2 0 [] [] f x G x dx ∫ có giá trị bằng A. 3 . B. 0 . C. 2 − . D. 4 − . Hướng dẫn giải Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có [ ] 22 2 2 0 00 0 [] [] [] [] [] [ 2] [ ] [2] [2] [0] [0] [ ] [ ] 11 0 3 2. f x G x dx F x G x F x g x dx F G F G F x g x dx ×− = − = −− = × −− − = ∫∫ ∫ Câu 74. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [1;2] . Biết rằng [1] 1 F = , [2] 4 F = , 3 [1] 2 G = , [2] 2 G = và 2 1 67 [] [] 12 f x G x dx = ∫ . Tích phân 2 1 [] [] F x g x dx ∫ có giá trị bằng A. 11 12 . B. 145 12 − . C. 11 12 − . D. 145 12 . Hướng dẫn giải Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có [ ] 22 2 2 1 11 1 [] [] [] [] [] [] [2] [2 3 67 11 . 2 12 ] [1] [1 1 ] [] [] 4 21 2 F x g x dx F x G x f x G x dx F G F G f x G x dx = − = −− = ×− ×− = ∫∫ ∫ Trang 54/80 Câu 75. Cho hai số thực a và b thỏa mãn ab < và sin b a x xdx π = ∫ , đồng thời cos 0 aa = và cos b b π = − . Tích phân cos b a xdx ∫ có giá trị bằng A. 145 12 . B. π . C. π − . D. 0 . Hướng dẫn giải Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có [ ] [ ] sin cos cos cos cos sin co 0 0. s cos b bb b bb aa a aa a x xdx x x xdx xdx x x x xdx b ba a π π π = − +⇒ =+ = −+ − − + = = ∫ ∫∫ ∫ Câu 76. Cho tích phân: 1 1 ln 2 e x I dx x − = ∫ .Đặt 1 ln ux = − .Khi đó I bằng A. 0 2 1 I u du = ∫ . B. 0 2 1 I u du = − ∫ . C. 0 2 1 2 u I du = ∫ . D. 1 2 0 I u du = − ∫ . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Đặt 2 1 ln 1 ln u xu x =− ⇒ =− 2 dx udu x ⇒ = − . Với 11 xu = ⇒= , 0 xe u = ⇒= . Khi đó 0 2 1 I u du = − ∫ . [Phương pháp trắc nghiệm] Bước 1: Bấm máy tính để tính 1 1 ln 2 e x dx x − ∫ Bước 2: Bấm SHIFT STO A để lưu vào biến A. Bước 3: Bấm 0 2 1 0 A u du   − − =     ∫ . Vậy đáp án là A. Câu 77. Tích phân 2 2 2 1 7x 12 x I dx x = −+ ∫ có giá trị bằng A. 5ln 2 6ln 3 − . B. 1 2ln 2 6ln 3 + − . C. 3 5ln 2 7ln 3 +− . D. 1 25ln 2 16ln 3 +− . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Ta có [ ] 2 2 1 1 16 9 1 16ln 4 9ln 3 1 25ln 2 16ln 3 43 I dx x x x xx  = + − = + − − − =+ −  −−  ∫ . [Phương pháp trắc nghiệm] Bấm máy tính 2 2 2 1 [1 25ln 2 16ln 3] 7x 12 x dx x −+ − −+ ∫ được đáp số là 0. Câu 78. Tích phân 2 5 1 I x dx = ∫ có giá trị là: A. 19 3 . B. 32 3 . C. 16 3 . D. 21 2 . Hướng dẫn giải Trang 55/80 Ta có: 2 2 6 5 1 1 21 62 x I x dx = = = ∫ . Câu 79. Tích phân 1 3 0 [ 1] xdx I x = + ∫ bằng A. 1 7 − . B. 1 6 . C. 1 8 . D. 12. Hướng dẫn giải Ta có 23 33 1 1 [ 1] [ 1] [ 1] [ 1] x x xx xx −− +− = = + − + ++ 1 23 0 1 [ 1] [ 1] 8 I x x dx −−  ⇒= + − + =  ∫ . Câu 80. Cho tích phân 2 0 [2 ]sin I x xdx π = − ∫ . Đặt 2 , sin u x dv xdx =−= thì I bằng A. 2 2 0 0 [2 ]cos cos x x xdx π π −− − ∫ . B. 2 2 0 0 [2 ]cos cos x x xdx π π −− + ∫ . C. 2 2 0 0 [2 ]cos cos x x xdx π π − + ∫ . D. 2 2 0 0 [2 ] cos x xdx π π −+ ∫ . Hướng dẫn giải Đặt 2 sin cos u x du dx dv xdx v x = −= −  ⇒  = = −  . Vậy 2 2 0 0 [2 ]cos cos I x x xdx π π = −− − ∫ . Câu 81. Tích phân 1 7 25 0 [1 ] x dx x + ∫ bằng A. 2 3 5 1 1 [ 1] 2 t dt t − ∫ . B. 3 3 5 1 [ 1] t dt t − ∫ . C. 2 3 4 1 1 [ 1] 2 t dt t − ∫ . D. 4 3 4 1 3 [ 1] 2 t dt t − ∫ . Hướng dẫn giải Đặt 2 12 t x dt xdx =+ ⇒= . Vậy 2 3 55 1 1 [ 1] 1 1 1 . 2 4 2 128 t I dt t − = = = ∫ . Câu 82. Tích phân 4 3 4 1 1 [ 1] I dx xx = + ∫ bằng A. 3 ln 2 . B. 1 3 ln 32 . C. 13 ln 5 2 . D. 13 ln 42 . Hướng dẫn giải Đặt 2 2 t x dt xdx = ⇒= . Vậy 3 2 1 1 1 13 ln 2 1 42 t I dt tt  = −=  +  ∫ . Câu 83. Cho hai tích phân 2 3 0 I x dx = ∫ , 2 0 J xdx = ∫ .Tìm mối quan hệ giữa I và J A. .8 IJ = . B. 32 . 5 IJ = . C. 128 7 IJ − = . D. 64 9 IJ += . Hướng dẫn giải 2 3 0 4 I x dx = = ∫ và 2 0 2 J xdx = = ∫ , suy ra .8 IJ = . Trang 56/80 Câu 84. Cho số thực a thỏa mãn 1 4 2 1 a x e dx e e + = − ∫ , khi đó a có giá trị bằng A. 1 − . B. 3. C. 0 . D. 2. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Ta có 1 1 12 4 2 1 1 3 a a x x a e dx e e e e e a + ++ = = − = − ⇒= ∫ . [Phương pháp trắc nghiệm] Thế từng đáp án vào và bấm máy [ ] 3 1 4 2 1 0 x e dx e e + −− = ∫ [ ] 1 1 4 2 1 53,5981 x e dx e e − + − − ≈− ∫ [ ] 0 1 4 2 1 51,8798 x e dx e e + − − ≈− ∫ [ ] 2 1 4 2 1 34,5126 x e dx e e + − − ≈− ∫ . Câu 85. Tích phân 2 0 x ke dx ∫ [với k là hằng số ]có giá trị bằng A. 2 [ 1] ke − . B. 2 1 e − . C. 2 [] ke e − . D. 2 ee − . Hướng dẫn giải Ta có 2 2 0 0 [e 1] xx ke dx ke k π = = − ∫ . Câu 86. Với hằng số k , tích phân nào sau đây có giá trị khác với các tích phân còn lại ? A. 1 2 0 [e 1] k dx − ∫ . B. 2 0 x ke dx ∫ . C. 2 3 3 0 3 x ke dx ∫ . D. 2 3 2 0 x ke dx ∫ . Hướng dẫn giải Ta có  2 2 4 3 3 22 3 0 0 [e 1] 22 xx kk ke dx e = = − ∫  2 2 0 0 [e 1] xx ke dx ke k π = = − ∫  2 2 3 33 2 3 0 0 3 [e 1] xx ke dx ke k = = − ∫  1 1 2 22 0 0 [e 1] [e 1] [e 1] k dx kx k − = −= − ∫ . Câu 87. Với số thực k , xét các phát biểu sau: [I] 1 1 2 dx − = ∫ ; [II] 1 1 2 kdx k − = ∫ ; [III] 1 1 2 xdx x − = ∫ ; [IV] 1 2 0 32 kx dx k = ∫ . Số phát biểu đúng là A. 4. B. 3. C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải [III]: sai Câu 88. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho 5 1 [] 7 f x dx = − ∫ và 5 1 [] 5 g x dx = ∫ và [ ] 5 1 [] [] 19 g x kf x dx −= ∫ Giá trị của k là: A. 2 . B. 6 . C. 2. D. 2 − . Hướng dẫn giải Ta có [ ] 5 55 1 11 [] [] 19 [] [] 19 g x kf x dx g x dx k f x dx − =⇔− = ∫ ∫∫ [ ] 5 7 19 2 kk ⇔− − = ⇔ = . Trang 57/80 Câu 89. Cho hàm số f liên tục trên  . Nếu 5 1 2 [] 2 f x dx = ∫ và 3 1 [] 7 f x dx = ∫ thì 5 3 [] f x dx ∫ có giá trị bằng: A. 5 . B. 6 − . C. 9 . D. 9 − . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Ta có 5 1 5 35 3 31 1 1 2 [] [] [] [] [] 7 6 2 f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =+ = − + = −+= − ∫ ∫∫ ∫∫ . Câu 90. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3]. Nếu 2 1 [] 4 f x dx = ∫ và tích phân [ ] 2 1 [] 1 kx f x dx −= − ∫ giá trị k bằng A. 7 . B. 5 2 . C. 5 . D. 2. Hướng dẫn giải Ta có [ ] 2 2 2 1 1 1 3 [] 1 [] 4 1 2 2 kx f x dx k xdx f x dx k k − =− ⇔ − = − =− ⇔ = ∫ ∫∫ . Câu 91. Tích phân 1 [2 5]ln e x xdx − ∫ bằng A. 2 1 1 [ 5 ]ln [ 5] e e x x x x dx −− − − ∫ . B. 2 1 1 [ 5 ]ln [ 5] e e x x x x dx − +− ∫ . C. 2 1 1 [ 5 ]ln [ 5] e e x x x x dx − − − ∫ . D. 2 1 1 [ 5]ln [ 5 ] e e x x x x dx − −− ∫ . Hướng dẫn giải Đặt ln [2 5] ux dv x dx =   = −  2 1 5 du dx x vx x  =  ⇒   = −  . Vậy 2 1 1 1 [2 5]ln [ 5 ]ln [ 5] e e e x xdx x x x x dx − = − − − ∫∫ . Câu 92. Tích phân 2 2 0 I cos cos 2 x xdx π = ∫ có giá trị bằng A. 5 8 π − . B. 2 π . C. 3 8 π . D. 8 π . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 22 2 2 00 0 2 0 11 cos cos 2 [1 cos 2 ]cos 2 [1 2cos 2 cos 4 ] 24 11 [ sin 2 sin 4 ] . 4 48 I x xdx x xdx x x dx x x x ππ π π π = =+ =++ = + + = ∫∫ ∫ [Phương pháp trắc nghiệm] Chuyển chế độ radian: SHIFT MODE 4. Bấm máy 2 2 0 cos cos 2 0 8 I x xdx π π = − = ∫ . Vậy đáp án là 8 π . Trang 58/80 Câu 93. Tích phân 3 2 0 4sin 1 cos x I dx x π = + ∫ có giá trị bằng A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 33 2 4sin 4sin [1 cos ] 4sin 4sin cos 4sin 2sin 2 1 cos sin x xx x xx x x xx − = =− =− + 2 0 [4sin 2sin 2 ] 2. I x x dx π ⇒= − = ∫ [Phương pháp trắc nghiệm] Chuyển chế độ radian: SHIFT MODE 4 Bấm máy tính 3 2 0 4sin 20 1 cos x dx x π − = + ∫ . Vậy đáp án là 2. Câu 94. Tích phân 2 0 1 sin I xdx π = + ∫ có giá trị bằng A. 42 . B. 3 2 . C. 2 . D. 2 − . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 2 2 22 0 00 3 2 2 3 0 2 sin cos sin cos 2 sin 22 22 2 4 2 sin sin 4 2 24 24 xx xx x I dx dx dx xx dx dx π ππ π π π π ππ    = + = += +           = + − + =        ∫ ∫∫ ∫∫ [Phương pháp trắc nghiệm] Bấm máy tính 2 0 1 sin 4 2 I xdx π =+− ∫ được đáp số là 0. Vậy đáp án là 42 . Câu 95. Tích phân 3 2 0 sin tan I x xdx π = ∫ có giá trị bằng A 3 ln 3 5 − . B. ln 2 2 − . C. 3 ln 2 4 − . D. 3 ln 2 8 − . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Ta có 2 33 2 00 sin [1 cos ]sin sin . cos cos x xx I x dx dx xx ππ − = = ∫∫ . Đặt cos tx = 1 2 2 1 13 ln 2 8 u I du u − ⇒= − = − ∫ . [Phương pháp trắc nghiệm] Bấm máy tính 3 2 0 3 sin tan ln 2 8 I x xdx π   = − −     ∫ được đáp số là 0. Vậy đáp án là 3 ln 2 8 − . Câu 96. Cho hàm số f[x] liên tục trên  và 4 [ ] [ ] cos fx f x x + −= với mọi x ∈  . Giá trị của tích phân 2 2 [] I f x dx π π − = ∫ là A. 2 − . B. 3 16 π . C. 3 ln 2 4 − . D. 3 ln 3 5 − . Trang 59/80 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Đặt 22 2 2 22 2 2 [ ] [][ ] [] [ ] x t f x dx f t dt f t dt f x dx ππ π π ππ π π − − − − = −⇒ = − − = − = − ∫∫ ∫ ∫ [ ] 22 2 4 22 2 2 [] [] [ ] cos f x dx f x f x dx xdx π π π ππ π − − − ⇒ = +− = ∫∫ ∫ 3 16 I π ⇒= . [Phương pháp trắc nghiệm] Bấm máy tính 2 4 2 3 cos 16 xdx π π π − − ∫ được đáp số là 0. Vậy đáp án là 3 16 π . Câu 97. Nếu [ ] 0 2 2 5 x e dx K e − − − =− ∫ thì giá trị của K là: A. 11. B. 9 . C. 7. D. 12,5 . Hướng dẫn giải [ ] [ ] 0 0 2 2 2 2 5 5 11 xx K e dxe xe e −− − − = − += + += ∫ . Câu 98. Cho tích phân 2 0 1 3cos .sin I x xdx π = + ∫ .Đặt 3cos 1 u x = + .Khi đó I bằng A. 3 2 1 2 3 u du ∫ . B. 2 2 0 2 3 u du ∫ . C. 2 3 1 2 9 u . D. 3 2 1 u du ∫ . Hướng dẫn giải Đặt 3cos 1 u x = + 2 3sin udu xdx ⇒= − . Khi 0 2; 1 2 x ux u π = ⇒= = ⇒= . Khi đó 2 2 23 1 1 22 39 I u du u = = ∫ . Câu 99. Tích phân 1 8ln 1 e x I dx x + = ∫ bằng A. 2 − . B. 13 6 . C. 3 ln 2 4 − . D. 3 ln 3 5 − . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Đặt 4 8ln 1 t x tdt dx x = + ⇒ = . Với 1 1, 3 x t xe t = ⇒= = ⇒= . Vậy 3 3 1 3 1 2 1 13 4 12 6 t I dt t = = = ∫ . [Phương pháp trắc nghiệm] Bấm máy tính 1 8ln 1 e x I dx x + = ∫ được đáp số là 13 6 . Vậy đáp án là 13 6 . Câu 100. Tích phân 5 2 1 23 x x dx − −− ∫ có giá trị bằng A. 0. B. 64 3 . C. 7. D. 12,5 . Trang 60/80 Hướng dẫn giải [ ] [ ] 33 22 55 3 5 2 22 11 1 3 35 13 23 [ 3][ 1] 23 23 64 . 33 33 3 x x dx x x dx x x dx x x x x dx x x x x −− − − −− = − + = − − − −− + −−    = −− + − =       ∫∫ ∫ ∫ Câu 101. Tìm a để 2 1 [3 ] 3 ax dx − = − ∫ ? A. 2. B. 9 . C. 7. D. 4. Hướng dẫn giải 2 2 2 1 1 [3 ] 3 3 3 4 2 a ax dx x x a  − =− ⇔ − =− ⇔ =   ∫ . Câu 102. Nếu [ ] 5 23 2 5 549 k x dx −= − ∫ thì giá trị của k là: A. 2 ± B. 2. C. 2 − . D. 5. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] [ ] 5 5 4 23 2 2 2 2 549 5 549 5 549 4 2. 549 4 4 x k x dx k x k k   − − = −⇔ − = −⇔ = =⇔ = ±   −   ∫ Câu 103. Tích phân 3 2 2 4 1 xx dx x −+ + ∫ bằng A. 1 4 6ln 33 + . B. 14 6ln 23 + . C. 14 ln 23 − . D. 14 ln 23 + . Hướng dẫn giải 3 33 2 2 22 2 4 6 14 2 2 6ln 1 6ln 1 1 2 23 xx x dx x dx x x xx  −+  = −+ = − + + = +   + +   ∫ ∫ . [Phương pháp trắc nghiệm] Bước 1: Bấm máy tính để tính 3 2 2 4 1 xx dx x −+ + ∫ Bước 2: Bấm SHIFT STO A để lưu vào biến A. Bước 3: Bấm 14 6ln 0 23 A  −+ =   . Vậy đáp án là 14 6ln 23 + . Câu 104. Cho hàm số f liên tục trên  thỏa [ ] [ ] 2 2cos 2 fx f x x + −= + , với mọi x ∈  . Giá trị của tích phân 2 2 [] I f x dx π π − = ∫ là A. 2. B. 7 − . C. 7. D. 2 − . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Ta có 0 22 0 22 [] [] [] I f x dx f x dx f x dx ππ ππ −− = = + ∫ ∫∫ [1] Trang 61/80 Tính 0 1 2 [] I f x dx π − = ∫ . Đặt x t dx dt =−⇒ =− ⇒ 22 1 00 [] [ ] I f t dt f x dx ππ = − = − ∫∫ . Thay vào [1], ta được [ ] [ ] 2 2 2 2 0 0 0 0 [ ] [ ] 2 1 cos 2 2 cos 2 cos 2 I f x f x dx x x dx xdx π π π π = −+ = + = = = ∫ ∫ ∫∫ . Câu 105. Tìm m để 2 4 122 [3 2 ] 5 m x dx − = ∫ ? A. 0. B. 9 . C. 7. D.2. Hướng dẫn giải 2 2 4 5 55 1 1 122 [3 2 ] [3 2 ] [3 4] [3 2 ] 0 10 10 5 m m A x dx x m m   = − = − − = − − −− = ⇒ =   ∫ . 4.3 TÍCH PHÂN I. VẬN DỤNG THẤP Câu 106. Giá trị của tích phân 1 2 2 0 1 1 I dx x = − ∫ là A. 6 π . B. 4 π . C. 3 π . D. 2 π . Hướng dẫn giải Đặt sin , ; cos 22 x t t dx tdt ππ  = ∈ − ⇒ =   . Đổi cận : 1 0 0, 2 6 x tx t π = ⇒= = ⇒= . Vậy 6 66 6 0 2 0 00 cos cos 0 cos 6 6 1 sin tt I dt dt dt t t t π π π π ππ = = = = = −= − ∫ ∫∫ . Câu 107. Giá trị của tích phân 1 2 0 1 dx I x = + ∫ là A 2 I π = . B. 3 4 I π = . C. 4 I π = . D. 5 4 I π = . Hướng dẫn giải Đặt 2 tan , ; [tan 1] 22 x t t dx x dt ππ   = ∈− ⇒ = +     . Đổi cận 0 0, 1 4 x tx t π = ⇒= = ⇒= , suy ra 2 44 2 00 tan 1 1 tan 4 t I dt dt t ππ π + = = = + ∫∫ . Câu 108. Giá trị của tích phân 31 2 0 22 dx I x x − = ++ ∫ là A. 5 12 I π = . B. 6 I π = . C. 3 12 I π = . D. 12 I π = . Hướng dẫn giải 31 31 22 00 2 2 1 [ 1] dx dx I x x x −− = = + + ++ ∫∫ . Đặt 1 tan xt += Câu 109. Tích phân 1 23 0 5 I x x dx = + ∫ có giá trị là Trang 62/80 A. 4 10 63 3 9 − . B. 4 10 7 5 39 − . C. 4 10 65 3 9 − . D. 2 10 65 3 9 − . Hướng dẫn giải Ta có 32 53 t x dt x dx = +⇒ = . Khi 0 x = thì 5 t = ; khi 1 x = thì 6 t = . Vậy [ ] 1 1 1 66 1 2 23 2 0 55 66 1 1 [ ] 2 4 10 5 65 1 55 33 3 9 3 9 1 2 dt t I x x dx t t dt t t + = += = = = = − + ∫ ∫∫ . Câu 110. Tích phân 2 2 0 4 x dx − ∫ có giá trị là A. 4 π . B. 2 π . C. 3 π . D. π . Hướng dẫn giải Đặt 2sin , ; 22 x tt ππ  = ∈ −   . Khi x = 0 thì t = 0. Khi 2 x = thì 2 t π = . Từ 2sin 2cos x t dx tdt = ⇒= Vậy 2 22 22 2 00 0 4 4 4sin .2cos 4 cos x dx t tdt tdt π π π −= − = = ∫∫ ∫ . Câu 111. Tích phân 1 2 0 1 I x x dx = + ∫ có giá trị là A. 3 2 1 3 − . B. 22 1 3 − . C. 22 1 2 − . D. 3 2 1 2 − . Hướng dẫn giải Đặt 2 2 2 2 2 1 11 tdt t x t x x t dx x = + ⇒ = + ⇒ = −⇒ = . Vậy 2 3 2 1 22 1 2 . 33 1 t I t dt − = = = ∫ Câu 112. Tích phân 0 3 1 1 I x x dx − = + ∫ có giá trị là A. 9 28 − . B. 3 28 − . C. 3 28 . D. 9 28 . Hướng dẫn giải Đặt 32 3 1 13 t x t x dx t dt = + ⇒ = + ⇒ = . Vậy [ ] 1 74 33 0 1 9 3 13 0 7 4 28 tt I t t dt  = − =− = −   ∫ . Câu 113. Giá trị của tích phân 1 2 0 2 [ 1] 1 x dx I xx = ++ ∫ là A. 16 10 2 3 − . B. 16 11 2 4 − . C. 16 10 2 4 − . D. 16 11 2 3 − . Hướng dẫn giải Đặt 2 1 12 t x t x tdt dx = + ⇒ = + ⇒ = . Trang 63/80 Ta có [ ] 2 2 2 22 3 3 11 1 1 1 16 11 2 2 .2 2 2 2 33 1 t t I tdt t dt t t t t −   −  = = − = −− =       ∫∫ Câu 114. Giá trị của tích phân [ ] 1 6 53 0 1 I x x dx = − ∫ là A. 1 167 . B. 1 168 . C. 1 166 . D. 1 165 . Hướng dẫn giải Đặt 32 2 13 3 dt t x dt x dx dx x − =−⇒ = − ⇒ = , ta có [ ] [ ] 11 7 8 6 67 00 1 1 11 1 3 3 3 7 8 168 tt I t t dt t t dt  = − = − = − =   ∫∫ . Câu 115. Giá trị của tích phân 3 2 0 21 1 xx I dx x +− = + ∫ là A. 53 5 . B. 54 5 . C. 52 5 . D. 51 5 . Hướng dẫn giải Đặt 2 1 12 x t x t dx tdt + = ⇒ = −⇒ = . Khi x = 0  t = 1, x = 3  t = 2. Vậy [ ] [ ] [ ] 2 22 22 5 4 2 32 1 11 2 1 11 4 128 4 54 2 2 2 3 2 16 2 . 5 55 5 tt t I tdt t t dt t t − + −−  = = − = − = − − +=   ∫ ∫ Câu 116. Giá trị của tích phân 1 0 3 1 x I dx x − = + ∫ là A. 22 2 π −+ . B. 22 3 π −+ . C. 3 2 3 π −+ . D. 3 2 2 π −+ . Hướng dẫn giải Đặt 3 2 22 1 3 8 1 [ 1] x t dt tI xt − = ⇒= + + ∫ ; đặt tan .... tu = ĐS: 3 2 3 I π = −+ . Chú ý: Phân tích 1 0 3 1 x I dx x − = + ∫ , rồi đặt 1 tx = + sẽ tính nhanh hơn. Câu 117. Giá trị của tích phân [ ] 1 5 0 2 1 x dx + ∫ là A. 1 30 3 . B. 1 60 3 . C. 2 60 3 . D. 2 30 3 . Hướng dẫn giải Đặt 2 1 ux = + khi 0 x = thì 1 u = . Khi 1 x = thì 3 u = Ta có: 2 2 du du dx dx = ⇒= . Do đó: [ ] 13 6 5 56 01 3 1 12 2 1 [3 1] 60 1 2 12 12 3 u x dx u du + = = = −= ∫∫ . Câu 118. Giá trị của tích phân 1 2 0 42 1 x dx xx + ++ ∫ là A. ln 2 . B. ln 3. C. 2ln 2 . D. 2ln 3 . Trang 64/80 Hướng dẫn giải Đặt 2 1 ux x = ++ . Khi 0 x = thì 1 u = . Khi 1 x = thì 3 u = . Ta có: [2 1] du x dx = + . Do đó: 13 2 01 3 42 2 2 ln | | 2[ln 3 ln1] 2 ln 3 1 1 x du dx u xx u + = = = −= ++ ∫∫ . Câu 119. Giá trị của tích phân 2 2 1 [2 1] dx x − ∫ là A 1 2 . B. 1 3 . C. 1 4 . D. 2 3 . Hướng dẫn giải Đặt 21 ux = − . Khi 1 x = thì 1 u = . Khi 2 x = thì 3 u = . Ta có 2 2 du du dx dx = ⇒= . Do đó 23 22 11 3 1 1 11 1 [ 1] 1 [2 1] 2 2 2 3 3 dx du x uu = = − = − −= − ∫∫ . Câu 120. Giá trị của tích phân 3 0 3 3. 1 3 x dx x x − ++ + ∫ là A. 3 3 3ln 2 + . B. 3 3 6ln 2 + . B. 3 3 6ln 2 −+ . D. 3 3 3ln 2 −+ . Hướng dẫn giải Đặt 2 1 12 u x u x udu dx = + ⇒ −= ⇒ = ; đổi cận: 0 1 32 xu xu = ⇒=   = ⇒=  Ta có [ ] 3 2 22 3 2 0 1 11 22 2 11 3 28 1 [2 6] 6 32 1 31 3 3 6 6ln 1 3 6ln . 2 x uu dx du u du du uu u x x uu u − − = = −+ + + + ++ + = − + + =−+ ∫ ∫ ∫∫ Câu 121. Giá trị của tích phân: I [ ] 4 2 0 1 1 1 2 x dx x + = ++ ∫ là A. 1 2ln 2 2 − . B. 1 2ln 2 3 − . C. 1 2ln 2 4 − . D. 1 ln 2 2 − . Hướng dẫn giải Đặt 1 1 2 [ 1] 1 2 dx t x dt dx t dt x =+ + ⇒= ⇒ =− + và 2 2 2 tt x − = Đổi cận: x 0 4 t 2 4 Ta có 4 4 4 2 3 2 22 2 2 2 2 2 1 [ 2 2][ 1] 1 3 4 2 1 4 2 3 2 22 1 21 3 4ln 2ln 2 22 4 t t t tt t I dt dt t dt t t t t t t t t −+ − − + −  = = = − + −     = −+ + = −     ∫ ∫∫ Trang 65/80 Câu 122. Giá trị của tích phân: [ ] [ ] 99 1 101 0 7 1 2 1 x I dx x − = + ∫ là A. 100 1 21 900  −  . B. 101 1 2 1 900  −  . C. 99 1 21 900   −   . D. 98 1 21 900   −   . Hướng dẫn giải [ ] [ ] 99 99 100 11 100 2 00 1 7 1 1 7 1 7 1 1 1 7 1 1 21 0 2 1 9 2 1 2 1 9 100 2 1 900 2 1 x dx x x x Id x x x x x − − − −         == = ⋅=−         + + + +         + ∫∫ Câu 123. Tích phân 2 2001 2 1002 1 [1 ] x I dx x = + ∫ có giá trị là A. 1001 1 2002.2 . B. 1001 1 2001.2 . C. 1002 1 2001.2 . D. 1002 1 2002.2 . Hướng dẫn giải 22 2004 1002 3 2 1002 11 3 2 1 .. [1 ] 1 1 x I dx dx xx x x = = +   +     ∫∫ . Đặt 23 12 1 t dt dx xx = + ⇒ = − . Câu 124. Giá trị của tích phân 2 3 3 2 cos[3 ] 3 x dx π π π − ∫ là A. 3 3 − . B. 2 3 − . C. 2 3 3 − . D. 22 3 − . Hướng dẫn giải Đặt 2 3 3 ux π = − . Khi 3 x π = thì 3 u π = , khi 2 3 x π = thì 4 3 u π = . Ta có 3 3 du du dx dx = ⇒= . Do đó: 24 4 33 3 3 33 2 1 1 1 4 1 33 3 cos[3 ] cos sin sin sin 3 3 3 3 3 33 2 2 3 x dx udu u ππ π π ππ π π π   − = = = − =−− = −      ∫∫ . Câu 125. Giá trị của tích phân 2 2 0 I cos cos 2 x xdx π = ∫ là A. 6 π . B. 8 π . C. 4 π . D. 2 π . Hướng dẫn giải 22 2 2 00 0 /2 0 11 cos cos 2 [1 cos 2 ]cos 2 [1 2cos 2 cos 4 ] 24 11 [ sin 2 sin 4 ] | 4 48 I x xdx x xdx x x dx x x x ππ π π π = =+ =++ = + + = ∫∫ ∫ Câu 126. Giá trị của tích phân: 2 0 sin 1 cos xx I dx x π = + ∫ là Trang 66/80 A. 2 2 π . B. 2 6 π . C. 2 8 π . D. 2 4 π . Hướng dẫn giải [ ] 22 0 0 2 22 00 sin sin 1 cos 1 cos sin [cos ] 2 1 cos 1 cos 4 4 4 tt t x t dx dt I dt dt I tt t dt I dt I tt π π π π π ππ π π π π ππ − = −⇒ =− ⇒ = = − ++  ⇒ = = − = + ⇒=  ++  ∫∫ ∫∫ Câu 127. Giá trị tích phân [ ] 2 4 0 sin 1 cos J x xdx π = + ∫ là A. 2 5 . B. 3 5 . C. 4 5 . D. 6 5 . Hướng dẫn giải [ ] 2 2 45 0 0 16 sin 1 cos sin sin 55 J x xdx x x π π   = + = +=     ∫ Câu 128. Giá trị tích phân 2 4 sin cos 1 sin 2 xx I dx x π π − = + ∫ là A. 3 ln 2 2 . B. 1 ln 3 2 . C. ln 2 . D. 1 ln 2 2 . Hướng dẫn giải Đặt 2 1 sin 2 1 sin 2 2 2cos 2 t x t x tdt xdx = + ⇒ =+ ⇒ = [ ] 2 1 1 1 2 ln ln[ 2] ln 2 cos sinx 2 1 tdt dx I dt t tx t ⇒ = ⇒= = = = − ∫ Câu 129. Giá trị tích phân 2 0 sin 1 3cos x I dx x π = + ∫ là A. 2 ln 2 3 . B. 2 ln 4 3 . C. 1 ln 4 3 . D. 1 ln 2 3 . Hướng dẫn giải Đặt 4 1 ln 11 1 1 3cos 3sin ln 4 3sin 3 3 3 t dt t x dt xdx dx I dt xt − =+ ⇒ = − ⇒ = ⇒= = = ∫ Câu 130. Giá trị của tích phân 2 6 35 1 2 1 cos .sin .cos I x x xdx = − ∫ là A. 21 91 . B. 12 91 . C. 21 19 . D. 12 19 . Hướng dẫn giải Đặt 6 36 3 5 2 1 os 1 os 6 3cos sin t c x t c x t dt x xdx = − ⇔=− ⇒ = [ ] 1 5 7 13 66 2 0 1 2 12 21 2 0 cos sin 7 13 91 t dt t t dx I t t dt xx  ⇒ = ⇒= − = − =   ∫ Câu 131. Giá trị của tích phân 4 3 0 cos [sin cos ] x I dx x x π = + ∫ là Trang 67/80 A. 1 8 . B. 3 8 . C. 5 8 . D. 7 8 . Hướng dẫn giải 44 3 32 00 cos 1 [sin cos ] [tan 1] cos x I dx d x x x x x π π = = ++ ∫∫ . Đặt tan 1 tx = + Câu 132. Giá trị của tích phân I = 2 3 0 sin [sin + cos ] xdx xx π ∫ là A 1 4 . B. 1 3 . C. 1 2 . D. 1 6 . Hướng dẫn giải Đặt: 2 x u π = − ⇒dx du = − . Đổi cận: = 0 u = 2 x π ⇒ ; x = 2 π ⇒ u = 0. Vậy [ ] 22 3 3 00 sin cos 2 sin cos sin cos 22 u du xdx I xx uu ππ π π π   −     = = +      −+ −           ∫∫ Vậy: 2I = [ ] 22 2 2 00 sin + cos [sin + cos ] sin + cos x x dx dx x x x x ππ = ∫∫ = 2 2 0 tan 4 1 2 2 2 os 0 4 x dx cx π π π π   −     = =   −     ∫ Câu 133. Giá trị của tích phân 2 42 0 cos sin I x xdx π = ∫ là A. 32 I π = . B. 16 I π = . C. 8 I π = . D. 4 I π = . Hướng dẫn giải 22 42 22 00 1 cos sin cos sin 2 4 I x xdx x xdx ππ = = ∫∫ 22 2 00 11 [1 cos 4 ] cos 2 sin 2 16 4 x dx x xdx ππ =− + ∫∫ 3 2 0 1 sin 2 sin 4 16 64 24 32 x x x π π  =− + =   . Câu 134. Giá trị của tích phân 2 4 46 6 0 [sin cos ][sin cos ] I x x x x dx π =++ ∫ là A. 32 128 I π = . B. 33 128 I π = . C. 31 128 I π = . D. 30 128 I π = . Hướng dẫn giải Ta có: 4 46 6 [sin cos ][sin cos ] x xx x ++ 33 7 3 cos 4 cos8 64 16 64 xx =++ ⇒ 33 128 I π = . Câu 135. Giá trị của tích phân 4 66 0 sin 4 sin cos x I dx xx π = + ∫ là A. 4 3 . B. 1 3 . C. 2 3 . D. 5 3 . Trang 68/80 Hướng dẫn giải 4 2 0 sin 4 3 1 sin 2 4 x I dx x π = − ∫ . Đặt 2 3 1 sin 2 4 tx = − ⇒ I = 1 4 1 2 1 3 dt t   −     ∫ = 1 1 4 42 33 t = . Câu 136. Giá trị của tích phân 0 sin 1 xdx I x π = + ∫ là A. 4 I π = . B. 2 I π = . C. 3 I π = . D. I π = . Hướng dẫn giải Đặt: x t dx dt π = −⇒ =− Đổi cận: 0 , 0 x tx t ππ = ⇒ = = ⇒ = 0 0 [ ] sin[ ] 1 sin 1 sin 1 t dt t I dt t t t π π ππ π −   ⇒= − = −   −+ + +   ∫ ∫ 00 sin 1 2 sin 1 dt dt II tt ππ π π = −⇒ = ++ ∫∫ 2 2 00 2 4 cos sin cos 24 22 dt dt t tt ππ π π π = =    − +       ∫∫ 2 0 0 24 tan 2 2 24 cos 24 t d t t π π π π ππ π π  −    = = −=    −   ∫ . Tổng quát: 00 [sin ] [sin ] 2 xf x dx f x dx ππ π = ∫∫ . Câu 137. Giá trị của tích phân 2007 2 2007 2007 0 sin sin cos x I dx x x π = + ∫ là A. 2 I π = . B. 4 I π = . C. 3 4 I π = . D. 5 4 I π = . Hướng dẫn giải Đặt 2 x t dx dt π = −⇒ =− . Đổi cận 0 , x 0 22 xt t ππ = ⇒= = ⇒= . Vậy 2007 0 2007 2 2007 2007 2007 2007 0 2 sin cos 2 sin cos sin cos 22 t t I dx dx J t t t t π π π π π  −   = −== +   −+ −     ∫∫ [1]. Mặt khác 2 0 2 I J dx π π += = ∫ [2]. Từ [1] và [2] suy ra 4 I π = . Tổng quát: 2 2 0 0 sin cos , sin cos sin cos 4 nn nn nn xx dx dx n xx xx ππ π + = = ∈ ++ ∫∫  . Câu 138. Giá trị của tích phân 2 11 0 cos xdx π ∫ là A. 250 693 . B. 254 693 . C. 252 693 . D. 256 693 . Hướng dẫn giải 2 11 0 10!! 2.4.6.8.10 256 cos 11!! 1.3.5.7.9.11 693 xdx π = = = ∫ . Trang 69/80 Câu 139. Giá trị của tích phân 2 10 0 sin xdx π ∫ là A. 67 512 π . B. 61 512 π . C. 63 512 π . D. 65 512 π . Hướng dẫn giải 2 10 0 9!! 1.3.5.7.9 63 sin . . 10!! 2 2.4.6.8.10 2 512 xdx π π ππ = = = ∫ Công thức Walliss [dùng cho trắc nghiệm]: 22 00 [ 1]!! , !! cos sin [ 1]!! ., !! 2 nn n n xdx xdx n n ππ π −    = =  −    ∫∫ neáu n leû neáu n chaün . Trong đó: n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn: 0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5; = = = = = = 6!! 2.4.6; 7!! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10 = = = = = . Câu 140. Giá trị của tích phân 1 0 1 x dx I e = + ∫ là A. 2 ln 1 e e   +  . B. ln 1 e e   +  . C. 2ln 1 e e   +  . D. 2 2ln 1 e e   +  . Hướng dẫn giải Vì [ ] 11 00 1 1 12 1 1 ln 1 1 ln[1 ] ln 2 ln 0 11 1 1 x x x xx x de ee I dx e e ee e e +  =− ⇒= − =− + =− + + =  ++ + +  ∫∫ Câu 141. Giá trị của tích phân ln5 2 ln 2 1 x x e dx I e = − ∫ là A. 5 3 . B. 10 3 . C. 20 3 . D. 2 3 . Hướng dẫn giải Đặt [ ] 2 3 2 2 1 2 2 20 1 1 2 12 1 33 x x x tdt t t e t e dx I t dt t e  = − ⇔ = −⇒ = ⇒ = + = + =   ∫ Câu 142. Giá trị của tích phân ln 2 0 1 x I e dx = − ∫ là A. 4 3 π − . B. 4 2 π − . C. 5 3 π − . D. 5 2 π − . Hướng dẫn giải Đặt 2 2 22 1 12 1 xx x x tdt tdt t e t e tdt e dx dx et = − ⇒ = −⇒ = ⇒ = = + 11 2 2 2 00 2 14 21 1 12 t I dt dt tt π −  ⇒= = − =  ++  ∫ ∫ Câu 143. Giá trị của tích phân [ ] ln3 3 0 1 x x e I dx e = + ∫ là Trang 70/80 A. 22 1 − . B. 21 − . C. 22 − . D. 22 2 − . Hướng dẫn giải Đặt 2 2 3 2 2 2 1 1 1 2 2 2. 2 1 2 x x x x tdt tdt t e t e tdt e dx dx I e tt = + ⇔ = +⇔ = ⇒ = ⇒ = =− = − ∫ Câu 144. Giá trị của tích phân 2 ln e e dx I x x = ∫ là A. 2ln 3 . B. ln 3. C. ln 2 . D. 2ln 2 . Hướng dẫn giải Đặt ln t x = ; 2 1, 2 xe t xe t = ⇒= = ⇒= 2 2 1 1 ln ln 2 dt It t ⇒= = = ∫ . Câu 145. Giá trị của tích phân: ln3 2 ln 2 12 x xx e dx I e e = − + − ∫ là A. 2ln 2 1 − . B. 2ln3 – 1. C. ln 3 1 − . D. ln 2 1 − . Hướng dẫn giải Đặt 2 x te = − , Khi 2 2 0; 3 1; 2 2 xx x ln t x ln t e t e dx tdt = ⇒ = = ⇒= = + ⇒ = I = 2 1 2 2 0 [ 2] 1 t tdt tt + ++ ∫ = 2 1 2 0 21 [ 1 ] 1 t t dt tt + − + ++ ∫ = 2 1 0 [ 1] t dt − ∫ + 2 1 2 2 0 [ 1] 1 d t t tt ++ ++ ∫ = 2 1 [ 2] 0 tt − + 2ln[t 2 + t + 1] 1 0 = 2ln3 – 1. Câu 146. Cho ln 2 32 32 0 21 1 xx x x x ee M dx ee e +− = + −+ ∫ . Giá trị của M e là A. 7 4 . B. 9 4 . C. 11 4 . D. 5 4 . Hướng dẫn giải [ ] ln 2 ln 2 32 3 2 32 32 32 00 ln 2 32 ln 2 ln 2 0 0 32 0 32 2 1 3 2 [ 1] 11 3 2 11 11 1 ln ln 1 44 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x M x x x x x x ee e e e ee e M dx dx ee e ee e e ee dx e x e ee e ee + − + −− + −+ = = + −+ + −+  +− = − = − = ⇒ =  + −+ +−  + ∫∫ ∫ Câu 147. 3 2 1 ln 2 ln e x x I dx x + = ∫ . A 3 3 55 3 32 8   −   . B. 3 3 54 3 32 8   −   . C. 3 3 45 3 32 8   −   . D. 3 3 44 3 32 8   −   . Hướng dẫn giải [ ] [ ] [ ] [ ] 1 2 3 2 22 3 3 11 1 4 2 44 3 3 3 1 ln 2 ln 1 ln 2 ln ln 2 ln 2 ln 2 33 . 2 ln 3 2 88 e e e e xx I dx x xd x x d x x x + = =+ =++   = += −   ∫∫ ∫ Câu 148. Giá trị của tích phân 1 2 0 ln[1 ] 1 x I dx x + = + ∫ là A. ln 3 8 I π = . B. ln 2 4 I π = . C. ln 3 8 I π = . D. ln 2 8 I π = . Hướng dẫn giải Trang 71/80 Đặt 2 tan [1 tan ] x t dx t dt = ⇒=+ . Đổi biến: 0 0, 1 4 x t x t π = ⇒ = = ⇒ = [ ] 44 2 2 00 ln[1 tan ] 1 tan ln[1 tan ] 1 tan t I t dt t dt t ππ + ⇒= + = + + ∫∫ . Đặt 4 t u dt du π = −⇒ =− ; Đổi cận: 0 , t 0 44 tu u π π = ⇒= = ⇒= 0 4 0 4 ln[1 tan ] ln 1 tan 4 I t dt u du π π π    ⇒= + = − + −       ∫∫ 44 00 1 tan 2 ln 1 ln 1 tan 1 tan u du du u u ππ −    =+=    ++    ∫∫ [ ] 44 00 ln 2 ln 1 tan ln 2 4 du u du I ππ π = − + = − ∫∫ . Vậy ln 2 8 I π = . Câu 149. Cho hàm số f[x] liên tục trên  và thỏa [ ] 2 [ ] cos f x fx x −+ = . Giá trị của tích phân 2 2 [] I f x dx π π − = ∫ là A. 1 3 I = . B. 4 3 I = . C. 2 3 I = . D. 1 I = . Hướng dẫn giải Xét tích phân 2 2 [] J f x dx π π − = − ∫ . Đặt x t dx dt =−⇒ =− . Đổi cận: , 2 22 2 x t x t π π π π =− ⇒ = = ⇒ =− . Suy ra: 2 22 2 22 [ ] [] [] J f x dx f t dt f t dt I π ππ π ππ − −− =− = − = = ∫ ∫∫ . Do đó: [ ] 2 22 0 2 2 3 2 [ ] 2 [ ] cos 2 cos 2 I J I f x f x dx xdx xdx π ππ π π − − = + = −+ = = = ∫ ∫∫ . Vậy 2 3 I = . II. VẬN DỤNG CAO Câu 150. Tìm hai số thực , A B sao cho [ ] sin π = + fx A x B , biết rằng '[1] 2 f = và 2 0 [] 4 f x dx = ∫ . A. 2 2 A B π = −    = −   . B. 2 2 A B π =    = −   . C. 2 2 A B π = −    =   . D. 2 2 A B π  = −    =  . Hướng dẫn giải Trang 72/80 [] sin '[] cos 2 '[1] 2 cos 2 ππ ππ π = + ⇒ = = ⇒ = ⇒=− f x A x B f x A x f A A 22 00 [ ] 4 [ sin ] 4 cos 2 2 cos 0 4 2 AA f x dx A x B dx B B ππ ππ = ⇒ + = ⇒− + + = ⇒ = ∫∫ Câu 151. Giá trị của a để đẳng thức 24 23 12 [4 4 ] 4 2 a a x x dx xdx   + − + =   ∫∫ là đẳng thức đúng A. 4. B. 3. C. 5. D. 6. Hướng dẫn giải 2 2 2 3 2 24 1 1 12 [4 4 ] 4 [2 2 ] 3. a a x x dx a x a x x a     = + − + = + − + ⇒ =    ∫ Câu 152. Giá trị của tích phân 22 0 [ 0] a dx Ia xa = > + ∫ là A. 4a π . B. 2 4a π . C. 2 4a π − . D. 4 π − a . Hướng dẫn giải Đặt 2 tan ; ; [1 tan ] 22 x a t t dx a t dt ππ  = ∈ − ⇒= +   . Đổi cận 00 4 π = ⇒=    = ⇒=   xt xa t . Vậy 2 44 22 2 00 [1 tan ] 1 tan 4 at I dt dt a t a a a π π π + = = = + ∫∫ . Câu 153. Giá trị của tích phân 3 0 cos 2 cos 2 x I dx x π = + ∫ là A. 42 π . B. 22 π . C. 4 2 π . D. 2 π − . Hướng dẫn giải Đặt sin cos t x dt xdx = ⇒ = . Đổi cận : 00 3 32 π = ⇒=    = ⇒=   xt xt . Vậy 3 3 3 2 2 2 2 0 0 0 cos 1 . 2 cos 2 2 3 32 2 x dt dt I dx x t t π = = = + − − ∫ ∫∫ Đặt 33 cos sin 22 t u dt udu = ⇒= − . Đổi cận : 0 2 3 24 tu tu π π  = → =     = → =   , suy ra [ ] 3 2 22 4 22 0 44 4 3 sin 1 1 11 2 2 3 2 3 2 2 42 1 cos 2 2 udu dt I du u tu π π π π π π π = = = = = −− ∫∫ ∫ Trang 73/80 Câu 154. Cho 1 2 1 x dt I t = + ∫ . Tích phân nào sau đây có giá trị bằng với giá trị của tích phân đã cho. A. 2 1 1 − + ∫ x dt t . B. 2 1 1 x dt t + ∫ . C. 1 2 1 1 + ∫ x dt t . D. 1 2 1 1 − + ∫ x dt t . Hướng dẫn giải Đặt 2 11 1 u t dt du t u u =⇒= ⇒ =− . Đổi cận 1 ;1 1 tx u t u x = ⇒= = ⇒= 11 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 11 11 2 1 1 1 1 11 1 1 − − = = = ⇒= + + ++ + + ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ xx x x xx du dt du du dt dt u t u u t t u Câu 155. Giá trị của tích phân 2 2 6 1 ln[sin ] sin I x dx x π π = ∫ là A 3 ln 2 3 3 π − + + . B. 3 ln 2 3 3 π + − . C. 3 ln 2 3 3 π − −− . D. 3 ln 2 3 3 π − + − . Hướng dẫn giải 2 2 ln[sin ] cot 1 cot sin  = ⇒=   = ⇒ =−   u x du xdx dv dx v x x 22 2 2 2 6 66 2 2 6 6 1 ln[sin ] cot ln[sin ] cot sin 1 3 ln cot 3 ln 2 3 23 I x dx x x xdx x x x ππ π π ππ π π π π π == −−   = − − = − + −     ∫ ∫ Câu 156. Giá trị của tích phân { } 2 2 0 min 1, = ∫ I x dx là A. 4 . B. 3 4 . C. 4 3 . D. 3 4 − . Hướng dẫn giải Xét hiệu số 2 1 x − trên đoạn [0;2] để tìm { } 2 min 1,x . Vậy { } 2 2 12 3 2 22 1 0 01 0 4 min 1, . 3 3 x I x dx x dx dx x = = + = += ∫ ∫∫ Câu 157. Giá trị của tích phân 3 8 1 − − = − ∫ dx I dx xx là A. 2 ln 3 . B. 2 . C. ln 2 − . D. 2ln 2 . Hướng dẫn giải Trang 74/80 Đặt 2 11 2 = − ⇒=− ⇒ = − t x x t dx tdt . Đổi cận 8 3 32 =−⇒ =   =− ⇒ =  xt xt . Vậy [ ] [ ] 3 3 233 2 22 8 322 2 2 12 2 2 ln ln . 1 13 11 1 dx tdt tdt dt t I dx t t tt tt xx − − − + = = = = = = −− −− − ∫ ∫∫∫ Câu 158. Biết 3 2 1 2ln 1 ln 2 2 a x x I dx x − = = + ∫ . Giá trị của a là A. 2. B. ln 2 . C. π . D. 3. Hướng dẫn giải 3 22 1 11 2 2ln 1 ln 1 ln 2 2 ln 2 22 11 1 1 2 ln 1 ln 2 2 22 2 a aa x x x I dx xdx dx xx a a a aa − = =+= − =+   = − − + − = + ⇒=    ∫ ∫ ∫ HD casio: Nhập 2 3 2 1 2 ln 1 ln 2 0 2 xx dx x − −− = ∫ nên 2 a = . Câu 159. Cho 2 1 0 cos 3sin 1 I x x dx π = + ∫ , 2 2 2 0 sin 2 [sin 2] x I dx x π = + ∫ . Khẳng định nào sau đây là sai ? A. 1 14 9 I = . B. 12 II > . B. 2 33 2ln 22 I = + . D. 2 32 2ln 23 I = − . Hướng dẫn giải 4 2 1 01 3 2 2 22 02 14 cos 3sin 1 3 9 sin 2 1 2 3 2 2 2ln [sin 2] 2 3 t I x x dx dt x I dx dt x tt π π = += =  = = −= −  +  ∫∫ ∫ ∫ Câu 160. Tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn [ ] 0 25 6 m x dx += ∫ là A. 1, 6 mm = = − . B. 1, 6 mm = −= − . C. 1, 6 mm = −= . D. 1, 6 mm = = . Hướng dẫn giải [ ] 22 0 0 25 6[ 5 ] 6 5 6 0 1, 6. m m x dx x x m m m m + = ⇒ + = ⇒ + −= ⇒ = =− ∫ Hướng dẫn casio: Thay 1 m = và 6 m = − vào thấy thỏa mãn. Câu 161. Cho hàm số 2 sin 2 [] [2 sin ] x hx x = + . Tìm để 2 cos cos [] [2 sin ] 2 sin a x bx hx xx = + ++ và tính 2 0 [] I h x dx π = ∫ A. 23 4, 2; 2ln 32 a bI = − ==+ . B. 23 4, 2; 2ln 32 ab I = = − = −− . C. 13 2, 4; 4ln 3 2 ab I = = = − + . D. 13 2, 4; 4ln 3 2 a bI = − ==+ . Hướng dẫn giải Sử dụng đồng nhất thức, ta thấy Trang 75/80 2 22 4 1 cos cos cos cos [2 sin ] sin 2 [] . 2 2 [2 sin ] 2 sin [2 sin ] [2 sin ] 20 b a a x bx a x bx x x hx b xx x x ab  = − =  ++  = += = ⇒ ⇒  = ++ + +   +=  Vậy 2 2 2 2 0 0 0 4cos 2cos 4 [ ] 2ln 2 sin [2 sin ] 2 sin 2 sin x x h x dx dx x xx x π π π   −   = + =− ++     ++ +    ∫ ∫ 4 23 2ln 3 2 2ln 2 2ln . 3 32 =− + +− = + Câu 162. Giá trị trung bình của hàm số [ ] y f x = trên [ ] ; ab , kí hiệu là [ ] mf được tính theo công thức [ ] [ ] 1 b a m f f x dx ba = − ∫ . Giá trị trung bình của hàm số [ ] sin f x x = trên [ ] 0; π là A. 4 π . B. 3 π . C. 1 π . D. 2 π . Hướng dẫn giải [ ] 0 12 sin . 0 m f xdx π ππ = = − ∫ Câu 163. Cho ba tích phân 1 0 31 dx I x = + ∫ , [ ] 4 44 0 sin cos J x x dx π = − ∫ và [ ] 2 2 1 31 K x x dx − = + + ∫ . Tích phân nào có giá trị bằng 21 2 ? A. K. B. I. C. J. D. J và K. Hướng dẫn giải 1 1 0 0 11 ln 3 1 ln 4 3 13 4 dx Ix x = = += + ∫ [ ] [ ] 4 4 44 0 2 0 2 1 sin cos cos sin 2 J x x dx x x dx π π =− = −− = ∫∫ [ ] 2 2 1 21 31 . 2 K x x dx − = + + = ∫ Câu 164. Với 01 < < a , giá trị của tích phân sau 2 0 32 −+ ∫ a dx dx x x là: A. 2 ln 2 1 a a − − . B. 2 ln 1 a a − − . C. [ ] 2 ln 21 a a − − . D. 2 ln 21 a a − + . Hướng dẫn giải 2 0 00 11 2 2 ln ln 32 2 1 1 1 a aa dx x a dx xx x x x a −−  = −= =  −+ − − − −  ∫ ∫ Câu 165. Cho 1 3 42 0 4 2 3 0 [ 2] x m dx x −= + ∫ . Khi đó giá trị của 2 144 1 m − bằng A. 2 3 − . B. 4 3 1 − . C. 2 3 3 . D. 2 3 3 − . Hướng dẫn giải Trang 76/80 1 1 4 42 4 0 0 [ 2] 1 1 1 1 2 3. 0 2 3. 0 2 3 0 [ 2] [ 2] 3 2 12 3 dx m m mm xx + − = ⇔ + = ⇔ + − = ⇔ = ++ ∫ . Vậy 2 2 12 144 1 144 1 . 3 12 3 m −  −= −=   Câu 166. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [; ] ab và có đạo hàm liên tục trên [ ] ; ab , đồng thời thỏa mãn [ ] [] f a fb = . Lựa chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. [] '[ ]. 2 b f x a f x e dx = ∫ . B. [] '[ ]. 1 b f x a f x e dx = ∫ . C. [] '[ ]. 1 b f x a f x e dx = − ∫ . D. [] '[ ]. 0 b f x a f x e dx = ∫ . Hướng dẫn giải [] [] [] [ ] [ ] '[] [ []] 0. bb b f x f x f x f b f a a aa e f x dx e d f x e e e = = = −= ∫∫ Câu 167. Kết quả phép tính tích phân 5 1 31 dx I x x = + ∫ có dạng ln 3 ln 5 Ia b = + [, ] ab ∈  . Khi đó 22 3 a ab b ++ có giá trị là A. 1. B. 5. C. 0. D. 4. Hướng dẫn giải Ta có 5 44 2 1 22 1 11 2 2ln 3 ln 5 1 11 31 dx I dt dt t tt x x  = = = −=−  − −+ +  ∫ ∫∫ , suy ra 2, 1 = = − ab . Vậy 22 3 4 23 5 a ab b + + = −+ = . Câu 168. Với ,1 nn ∈≥  , tích phân [ ] 2 0 1 cos sin n I x xdx π = − ∫ có giá trị bằng A. 1 2n . B. 1 1 n − . C. 1 1 n + . D. 1 n . Hướng dẫn giải [ ] 1 1 2 1 0 0 0 1 1 cos sin 11 n n n t I x xdx t dt nn π + =−=== ++ ∫∫ . Câu 169. Với ,1 nn ∈>  , giá trị của tích phân 2 0 sin cos sin n nn x dx xx π + ∫ là A. 4 π − . B. 4 π . C. 3 4 π . D. 3 4 π − . Hướng dẫn giải Đặt 2 t x dx dt π = −⇒ =− Trang 77/80 0 2 22 0 00 2 22 00 [sin ] sin [cos ] [cos ] 2 sin 2 4 cos sin n nn f x dx f t dt f t dt f x dx x dx I dx I xx π ππ π ππ π π   = − −= =     = = ⇒= + ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ Câu 170. Giá trị của tích phân 2017 0 1 cos 2xdx π − ∫ là A. 3034 2 . B. 4043 2 − . C. 3043 2 . D. 4034 2 . Hướng dẫn giải Do hàm số [ ] 1 cos 2 fx x = − là hàm liên tục và tuần hoàn với chu kì T π = nên ta có 23 0 2 [ 1] 2 0 0 [ 1] 0 2017 0 0 0 [] [] [] ... [] [] [] [] ... [] [] 1 cos2 2017 1 cos2 2017 2 sin 4034 2 π π π − − = = = = ⇒ = + ++ = ⇒ −= −= = ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ T T T nT T T n T nT T T nT T T n T f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx n f x dx xdx xdx xdx Câu 171. Giá trị của tích phân 1 cos 2 0 [1 sin ] ln 1 cos π +  +  +  ∫ x x dx x là A. 2ln 3 1 − . B. 2ln 2 1 −− . C. 2ln 2 1 − . D. 2ln 3 1 − − . Hướng dẫn giải 2 22 1 cos 0 00 ln[1 sin ] ln[1 cos ] [1 cos ]ln[1 sin ] ln[1 cos ] x x x dx x x dx x dx π ππ +  + −+ = + + − +  ∫ ∫∫ Đặt 2 x t dx dt π = −⇒ =− . Đổi cận 0; 0 22 x tx t ππ = ⇒= = ⇒= [ ] [ ] 0 2 22 0 00 2 ln 1 cos ln 1 cos ln 1 sin ln[1 sin ] 2 I x dx t dt t dt x dx π ππ π π   = + =− + − = + = +     ∫ ∫ ∫∫ 2 22 0 00 [1 cos ]ln[1 sin ] ln[1 sin ] cos ln[1 sin ] 2ln 2 1 I x x dx x dx x x dx π ππ ⇒= + + − + = + = − ∫ ∫∫ Câu 172. Có mấy giá trị của b thỏa mãn 2 0 [3 12 11] 6 b x x dx −+ = ∫ A. 4. B. 2. C. 1. D. 3. Hướng dẫn giải [ ] 0 2 3 2 32 0 1 [3 12 11] 6 11 6 11 6 0 2 3 b b b x x dx x x x b b b b b =   − + = − + = − + −= ⇔ =   =  ∫ . Câu 173. Biết rằng 0 66 b dx = ∫ và 0 a x xe dx a = ∫ . Khi đó biểu thức 23 2 32 ba a a ++ + có giá trị bằng A. 5. B. 4. C. 7. D. 3. Trang 78/80 Hướng dẫn giải +Ta có 0 66 1 b dx b = ⇒= ∫ . +Tính 0 a x xe dx ∫ Đặt x x u x du dx dv e dx v e = = ⇒  = =  . Khi đó, 0 0 0 11 a a a x x x aa xe dx xe e dx e e a a = − = − += ⇒ = ∫∫ . Vậy 23 2 3 27 ba a a ++ + = . Câu 174. Biết rằng 22 0 a dx A xa = + ∫ , 0 2 b dx B π = ∫ [với ,0 ab > ]. Khi đó giá trị của biểu thức 4 2 B aA b + bằng A. 2 π . B. π . C. 3 π . D. 4 π . Hướng dẫn giải +Tính 22 0 a dx xa + ∫ Đặt 2 tan ; ; [1 tan ] 22 t a x a dx a t dt ππ  = ∈ − ⇒= +   Đổi cận : 0 0; 4 x t x a t π = ⇒ = = ⇒ = . Vậy 2 44 22 2 00 [1 tan ] 1 tan 4 at dt dt a t a a a π π π + = = + ∫∫ +Tính: 0 22 b dx b π π = ∫ , suy ra 2 B b π = .