Bài 1.1 trang 7 sbt toán đại 12

Vậy hàm số y đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞; -4) và (-1; 1), nghịch biến trên các khoảng (-4; -1) và (1; +∞)

3. TXĐ: R

y′=3x2−12x+9y′=3x2−12x+9

y’ = 0 <=> x=1; x=3; x=1x=3

y’ > 0 trên các khoảng (-∞; 1), (3; +∞) nên y đồng biến trên các khoảng (-∞; 1), (3; +∞)

y'< 0 trên khoảng (1; 3) nên y nghịch biến trên khoảng (1; 3)

4. TXĐ: R

y′=4x3+16=4x(x2+4)y′=4×3+16=4x(x2+4)

y’ = 0 <=> x = 0

y’ > 0 trên khoảng (0; +∞) => y đồng biến trên khoảng (0; +∞)

y’ < 0 trên khoảng (-∞; 0) => y nghịch biến trên khoảng (-∞; 0)

Bài 1.2 trang 7 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

Hướng dẫn làm bài

1. TXĐ: R\ {-7}

y = %5E2%7D)

y’ < 0 trên các khoảng (-∞; -7), (-7; +∞) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng đó

2. TXĐ: R\ {5}

y’ = -2/(x-5)3

y’ < 0 trên khoảng (5; +∞) nên y nghịch biến trên khoảng (5; +∞)

y’ > 0 trên khoảng (-∞; 5) nên y đồng biến trên khoảng (-∞; 5)

3. TXĐ: R{-3; 3}

y’ = %7D%7B%5Cleft(x%5E2-9%5Cright)%5E2%7D)

y’ < 0 trên các khoảng (-∞; – 3), (-3; 3), (3; +∞) nên hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng đó.

4. TXĐ: R\ {0}

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞;−1−√6),(−1+√6;+∞)(−∞;−1−6),(−1+6;+∞)

và nghịch biến trên các khoảng (−1−√6;−1),(−1;−1+√6)

7. TXĐ: R\ {2}

y’ = %5E2%7D)

(do x2−4x+7x2−4x+7 có ∆’ = – 3 < 0)

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞;2),(2;+∞)

Bài 1.3 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Xét tính đơn điệu của các hàm số:

Hướng dẫn làm bài

1. TXĐ: [-5; 5]

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 100) và nghịch biến trên khoảng (100; +∞)

3. TXĐ: (-4; 4)

%5Csqrt%7B16-x%5E2%7D%5E%7B%20%7D%7D%3E0) ; ∀ x ∈ (-4; 4)

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-4; 4).

4. TXĐ: (-∞; √66) ∪ (√66; +∞)

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -3), (3; +∞), nghịch biến trên các khoảng (-3;−√6−6 ), (√66; 3).

Bài 1.4 Trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Hướng dẫn làm bài

Dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 và x = 2π.

Vậy hàm số đồng biến trên đoạn [0; 2π].

2. y=x+2cosx, x ∈ (π/6;5π/6)

y′=1−2sinx < 0 với x ∈ (π/6;5π/6)

Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng (π/6;5π/6)

3. Xét hàm số y=sin1/x với x > 0.

Giải bất phương trình sau trên khoảng (0;+oo)

Bài 1.5 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Xác định m để hàm số sau:

Hướng dẫn làm bài:

1. Tập xác định: D = R{m}

Hàm số đồng biến trên từng khoảng (−∞;m),(m;+∞) khi và chỉ khi:

2. Tập xác định: D = R{m}

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng khi và chỉ khi:

3. Tập xác định: D = R

Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi:

4. Tập xác định: D = R

Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi:

Bài 1.6 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Chứng minh các phương trình sau có nghiệm duy nhất

Hướng dẫn làm bài

1. Đặt y = 3(cos x – 1) + 2sin x + 6

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R

Ta có: y( ) = 0 và ý = -3sin x + 2cos x + 6 >0, x ∈ R.

Hàm số đồng biến trên R và có một nghiệm x\=π

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

2. Đặt y\=4x+cosx−2sinx−2

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R

Ta có: y(0) = 1 – 2 = -1 < 0 ; y(π)\=4π−3\>0

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R

Ta có: y(0) = 1 – 2 = -1 < 0 ; y(π)=4π−3>0y(π)=4π−3>0 .

Hàm số liên tục trên [0;π][0;π] và y’(0) < 0 nên tồn tại x0∈(0;π) sao cho y(x0)=0

Suy ra phương trình có một nghiệm x0 .

3. Đặt y = – x3 + x2 – 3x + 2

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên R.

Ta có: y’ = – x2 + 2x – 3 < 0, y(π)=4π−3>0y(π)=4π−3>0, x ∈ R.

Vì a = -3 < 0 và . Suy ra y nghịch biến trên R.

Mặt khác y(-1) = 1 + 1 +3 + 2 = 7 > 0

y(1) = -1 +1 – 3 + 2 = -1 < 0

Hàm số liên tục trên [-1; 1] và y(-1)y(1) < 0 cho nên tồn tại x0∈[−1;1] sao cho y(x0)=0.

Suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm.

4. Đặt y = x5 + x3 – 7

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên R.

Ta có: y(0) = -7 < 0 ; y(2) = 32 + 8 – 7 = 33 > 0

Hàm số liên tục trên [0; 2] và y(0) y(2) < 0 cho nên tồn tại x0∈(0;2) sao cho y(x0)=0

Mặt khác y′=5x4+3x2=x2(5x2+3)≥0,∀x∈R

\=> Hàm số đồng biến trên (−∞;+∞)(−∞;+∞).

Suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm.

Bài 1.7 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Chứng minh phương trình x5−x2−2x−1=0 có nghiệm duy nhất

Hướng dẫn làm bài:

Trước hết cần tìm điều kiện của nghiệm phương trình (tức là xem nghiệm phương trình, nếu có, phải nằm trong khoảng nào). Ta nhận xét

x5 – x2 – 2x – 1 = 0 ⇔ x5 = (x + 1)2 0 => x ≥ 0

\=> (x + 1)2 1 => x5 1 => x 1

Vậy, nếu có, nghiệm của phương trình phải thuộc [1;+∞][1;+∞] .

Xét hàm số f(x)=x5−x2−2x−1f(x)=x5−x2−2x−1 ta thấy f(x) liên tục trên R

Mặt khác, f(1)=−3<0,f(2)=23>0

Vì f(x) liên tục trên [1; 2] và f(1) f(2) < 0 nên tồn tại x0∈(1;2) sao cho f(x0)=0

Ta có: f’(x) = 5x4 – 2x – 2 = (2x4 – 2x) + (2x4 – 2) + x4

\= 2x(x3 – 1) + 2(x4 – 1) + x4 > 0 , ∀x≥1∀x≥1

Suy ra f(x) đồng biến trên [1;+∞]

Bài 1.8 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

1. tanx>sinx,0

2. 1+1/2x−x28<√1+x<1+1/2x với 0

1. Xét hàm số f(x)=tanx−sinx trên nửa khoảng [0;π/2)

f′(x)=1/cos2x−cosx=1−cos3x/cos2≥0;x∈[0;12)

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Suy ra f(x) đồng biến trên nửa khoảng [0;π/2)

Mặt khác, ta có f(0) = 0, nên f(x) = tan x – sin x > 0 hay tan x > sin x với mọi x∈[0;12)

2. Xét hàm số h(x)=1+1/2x−√1+x trên [0;+∞)

Vì g(0) = 0 và g(x) đồng biến trên nửa khoảng [0;+∞) nên g(x)≥0, tức là f′(x)≥0 trên khoảng đó và vì dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 nên f(x) đồng biến trên nửa khoảng.

Mặt khác, ta có f(0) = 0 nên

Bài 1.9 trang 9 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Chứng minh rằng phương trình x3−3x+c=0 không thể có hai nghiệm thực trong đoạn [0; 1].

Hướng dẫn làm bài:

Trên đoạn [0; 1] hàm số f(x) nghịch biến nên đồ thị của hàm số f(x) không thể cắt trục hoành tại hai điểm trên đoạn này, tứclà phương trình x3 – 3x + C = 0 không thể có hai nghiệm thực trên đoạn [0; 1].