- Giải bài III.5, III.6, III.7, III.8 trang 54 Sách...
- Giải bài III.1, III.2, III.3, III.4 trang 54 Sách...
- Giải bài 89, 90, 91 trang 53, 54 Sách Bài Tập...
- Giải bài 86, 87, 88 trang 53 Sách Bài Tập Toán...
- Giải bài 82, 83, 84, 85 trang 52, 53 Sách Bài Tập...
- Giải bài 9.4, 9.5, 9.6 trang 52 Sách Bài Tập Toán...
- Giải bài 78, 79, 80, 81 trang 51 Sách Bài Tập...
- Giải bài 74, 75, 76, 77 trang 51 Sách Bài Tập...
- Giải bài 9.1, 9.2, 9.3 trang 51, 52 Sách Bài Tập...
- Giải bài 70, 71, 72, 73 trang 50, 51 Sách Bài Tập...
Page 2
- Giải bài III.5, III.6, III.7, III.8 trang 54 Sách...
- Giải bài III.1, III.2, III.3, III.4 trang 54 Sách...
- Giải bài 89, 90, 91 trang 53, 54 Sách Bài Tập...
- Giải bài 86, 87, 88 trang 53 Sách Bài Tập Toán...
- Giải bài 82, 83, 84, 85 trang 52, 53 Sách Bài Tập...
- Giải bài 9.4, 9.5, 9.6 trang 52 Sách Bài Tập Toán...
- Giải bài 78, 79, 80, 81 trang 51 Sách Bài Tập...
- Giải bài 74, 75, 76, 77 trang 51 Sách Bài Tập...
- Giải bài 9.1, 9.2, 9.3 trang 51, 52 Sách Bài Tập...
- Giải bài 70, 71, 72, 73 trang 50, 51 Sách Bài Tập...
Page 3
- Giải bài III.5, III.6, III.7, III.8 trang 54 Sách...
- Giải bài III.1, III.2, III.3, III.4 trang 54 Sách...
- Giải bài 89, 90, 91 trang 53, 54 Sách Bài Tập...
- Giải bài 86, 87, 88 trang 53 Sách Bài Tập Toán...
- Giải bài 82, 83, 84, 85 trang 52, 53 Sách Bài Tập...
- Giải bài 9.4, 9.5, 9.6 trang 52 Sách Bài Tập Toán...
- Giải bài 78, 79, 80, 81 trang 51 Sách Bài Tập...
- Giải bài 74, 75, 76, 77 trang 51 Sách Bài Tập...
- Giải bài 9.1, 9.2, 9.3 trang 51, 52 Sách Bài Tập...
- Giải bài 70, 71, 72, 73 trang 50, 51 Sách Bài Tập...
Page 4
- Giải bài III.5, III.6, III.7, III.8 trang 54 Sách...
- Giải bài III.1, III.2, III.3, III.4 trang 54 Sách...
- Giải bài 89, 90, 91 trang 53, 54 Sách Bài Tập...
- Giải bài 86, 87, 88 trang 53 Sách Bài Tập Toán...
- Giải bài 82, 83, 84, 85 trang 52, 53 Sách Bài Tập...
- Giải bài 9.4, 9.5, 9.6 trang 52 Sách Bài Tập Toán...
- Giải bài 78, 79, 80, 81 trang 51 Sách Bài Tập...
- Giải bài 74, 75, 76, 77 trang 51 Sách Bài Tập...
- Giải bài 9.1, 9.2, 9.3 trang 51, 52 Sách Bài Tập...
- Giải bài 70, 71, 72, 73 trang 50, 51 Sách Bài Tập...
Page 5
Câu 5 trang 36 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm K nằm giữa A và C. So sánh các độ dài BK, BC.
Giải
Trong ∆ACK ta có \[\widehat {BKC}\] là góc ngoài tại đỉnh K.
\[\widehat {BKC} > \widehat A = 90^\circ \] [tính chất góc ngoài]
Trong ∆BKC ta có \[\widehat {BKC}\] là góc tù, BC là cạnh đối diện với \[\widehat {BKC}\] nên BC > BK
Câu 1.1, 1.2, 1.3 trang 37 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Câu 1.1 trang 37 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Tam giác ABC có Â là góc tù, \[\widehat B > \widehat C\]. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
[A] AB > AC > BC [B] AC > AB > BC
[C] BC > AB > AC [D] BC > AC > AB
Giải
Do  là góc tù nên  lớn nhất. Vậy có \[\widehat A > \widehat B > \widehat C\]. Từ đó suy ra BC > AC > AB. Chọn [D] BC > AC > AB.
Câu 1.2 trang 37 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 6cm và AC = 7cm. Gọi \[{\widehat A_1},\widehat {{B_1}},\widehat {{C_1}}\] theo thứ tự là góc ngoài tại đỉnh A, B, C của tam giác đó. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
\[\left[ A \right]\widehat {{A_1}} > \widehat {{B_1}} > \widehat {{C_1}}\]
\[\left[ B \right]\widehat {{B_1}} > \widehat {{C_1}} > \widehat {{A_1}}\]
\[\left[ C \right]\widehat {{C_1}} > \widehat {{A_1}} > \widehat {{B_1}}\]
\[\left[ D \right]\widehat {{C_1}} > \widehat {{B_1}} > \widehat {{A_1}}\]
Giải
Ta có \[\widehat {{A_1}} = 180^\circ - \widehat A;\widehat {{B_1}} = 180^\circ - \widehat B;\widehat {{C_1}} = 180^\circ - \widehat C\]. Theo giả thiết ta có AB < BC < AC. Từ đó suy ra \[\widehat C < \widehat A < \widehat B\]. Vậy \[\widehat {{C_1}} > \widehat {{A_1}} > \widehat {{B_1}}\].
Chọn \[\left[ C \right]\widehat {{C_1}} > \widehat {{A_1}} > \widehat {{B_1}}\]
Câu 1.3 trang 37 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
So sánh các cạnh của một tam giác cân, biết rằng nó có một góc ngoài bằng 40°.
Giải
Theo giả thiết, tam giác cân này có một góc ngoài bằng 40° nên nó có một góc trong bằng 180° - 40° = 140°. Góc trong này không thể là góc ở đáy của tam giác cân mà phải là góc ở đỉnh. Vậy cạnh đáy của tam giác cân lớn hơn hai cạnh bên của nó.
Giaibaitap.me
Page 6
Câu 1.4, 1.5, 1.6 trang 37, 38 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Câu 1.4 trang 37 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC với AB ≥ AC. Trên cạnh BC lấy một điểm M bất kỳ khác B và C. Chứng minh rằng AM < AC.
Giải
Ta có \[\widehat {{M_1}} + \widehat {{M_2}} = 180^\circ \] nên chỉ có hai khả năng xảy ra ứng với các vị trí của M trên BC là \[\widehat {{M_1}} > 90^\circ \] hoặc \[\widehat {{M_2}} \ge 90^\circ \].
- Nếu \[\widehat {{M_1}} > 90^\circ \] thì tam giác AMC có góc tù nên AM > AC
- Nếu \[\widehat {{M_2}} \ge 90^\circ \] thì trong tam giác ABM có AM < AB. Kết hợp với giả thiết AB < AC, ta suy ra AM < AC. Vậy ta luôn có AM < AC.
Câu 1.5 trang 38 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC với AB ≤ BC ≤ CA. Trên các cạnh BC và AC lần lượt lấy hai điểm M và N [khác A, B, C]. Chứng minh rằng MN < AC.
Giải
Kẻ đoạn thẳng AM. Xét tam giác MAC. Chứng minh tương tự như bài 1.4 ta có MN < a, trong đó a là đoạn lớn nhất trong hai đoạn thẳng MA và MC. Nếu ta chứng minh được
MA < AC và MC < AC thì sẽ suy ra được a < AC, từ đó có MN < AC.
Trong tam giác ABC có AB ≤ AC, M ∈ BC [M # B, M # C]; Chứng minh tương tự bài 1.4, ta có AM < AC. Mặt khác MC < BC ≤ CA. Vậy a < AC, suy ra MN < AC.
Câu 1.6 trang 38 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC có góc A tù. Trên cạnh AB lấy điểm D [khác A và B], trên cạnh AC lấy điểm E [khác A và C]. Chứng minh rằng DE < BC.
Giải
Xét tam giác CDE. Ta có \[\widehat E > \widehat A\], mà Â là góc tù nên \[\widehat {{E_1}}\] là góc tù.
Suy ra CD > DE [1]
Xét tam giác BCD. Ta có \[\widehat {{D_1}} > \widehat A\] nên \[\widehat {{D_1}}\] là góc tù.
Suy ra BC > CD [2]
Từ [1] và [2] suy ra BC > DE.
Câu 6 trang 37 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC ở D. So sánh các độ dài AD, DC
Giải
Kẻ \[DH \bot AC\]
Xét hai tam giác vuông ABD và BHD:
\[\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\left[ {gt} \right]\]
Cạnh huyền BD chung.
Do đó: ∆ABD = ∆HBD [cạnh huyền góc nhọn]
\[ \Rightarrow \] AD = HD [2 cạnh tương ứng] [1]
Trong tam giác vuông DHC có \[\widehat {DHC} = 90^\circ \]
\[ \Rightarrow \] DH < DC [cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: AD \widehat {MAC}\]
Câu 8 trang 37 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt BC ở D. So sánh các độ dài BD, DC.
Giải
Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB
AB < AC nên AE < AC => E nằm giữa A và C
Xét ∆ABD và ∆AED:
AB = AE [theo cách vẽ]
\[\widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {E{\rm{AD}}}\left[ {gt} \right]\]
AD cạnh chung
Do đó: ∆ABD = ∆AED [c.g.c]
=> BD = DE [2 cạnh tương ứng]
\[ \Rightarrow \widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {A{\rm{ED}}}\] [2 góc tương ứng]
\[\widehat {AB{\rm{D}}} + \widehat {{B_1}} = 180^\circ \] [2 góc kề bù]
\[\widehat {A{\rm{ED}}} + \widehat {{E_1}} = 180^\circ \] [2 góc kề bù]
Suy ra: \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{E_1}}\]
Trong ∆ABC ta có \[\widehat {{B_1}}\] là góc ngoài tại đỉnh B.
\[ \Rightarrow \widehat {{B_1}} > \widehat C\] [tính chất góc ngoài tam giác]
Suy ra: \[\widehat {{E_1}} > \widehat C\]
Trong ∆DEC ta có: \[\widehat {{E_1}} > \widehat C\]
\[ \Rightarrow \] DC > DE [đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn]
Suy ra: BD < DC.
Câu 9 trang 37 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Chứng minh rằng nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30° thì cạnh góc vuông đối diện với nó bằng nửa cạnh huyền.
Giải
Xét ∆ABC có \[\widehat A = 90^\circ ;\widehat B = 30^\circ \]
Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD = AC
Suy ra: ∆ACD cân tại C
Mà \[\widehat C + \widehat B = 90^\circ \] [tính chất tam giác vuông]
\[ \Rightarrow \widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \]
Suy ra: ∆ACD đều
\[ \Rightarrow \] AC = AD = DC và \[\widehat {{A_1}} = 60^\circ \]
\[\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat {BAC} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {{A_2}} = 90^\circ - \widehat {{A_1}} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \]
Trong ∆ADB ta có: \[\widehat {{A_2}} = \widehat B = 30^\circ \]
Suy ra: ∆ADB cân tại D [vì có 2 góc kề cạnh AB bằng nhau]
\[ \Rightarrow \] AD = DB
Suy ra: AC = CD = DB mà CD + DB = BC
Vậy \[AC = {1 \over 2}BC\]
Câu 10 trang 37 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Chứng minh rằng định lý “Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn” theo gợi ý sau:
Cho tam giác ABC có \[\widehat B > \widehat C\]
a] Có thể xảy ra AC < AB hay không ?
b] Có thể xảy ra AC = AB hay không ?
Giải
a] Nếu AB > AC thì \[\widehat C > \widehat B\] [góc đối diện với cạnhlớn hơn là góc lớn hơn]
Điều này trái với giả thiết \[\widehat B > \widehat C\]
b] Nếu AB = AC thì ∆ABC cân tại A.
\[\Rightarrow \widehat B = \widehat C\] [tính chất tam giác cân]
Điều này trái với giả thiết \[\widehat B > \widehat C\]
Vậy: \[\widehat B > \widehat C\] thì AC > AB
Giaibaitap.me
Page 8
Câu 11 trang 38 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho hình sau. So sánh độ các độ dài AB, AC, AD, AE.
Giải
Điểm C nằm giữa B và D nên BC < BD [1]
Điểm C nằm giữa B và E nên BD < BE [2]
Vì B, C, D, E thẳng hàng. Từ [1] và [2] suy ra
BC 0 \Rightarrow AH = 8\left[ {cm} \right] \cr} \]
Do bán kính cung tròn 9 [cm] > 8 [cm] nên cung tròn tâm A bán kính 9 cm cắt đường thẳng BC. Gọi D là giao điểm của cung tròn tâm A bán kính 9 cm. Với BC ta có đường xiên AD > AC nên hình chiếu HD < HC do đó D nằm giữa H và C. Vậy cung tròn tâm A bán kính 9cm cắt cạnh BC.
Câu 14 trang 38 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa A và C [BD không vuông góc với AC]. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BD. So sánh AC với tổng AE + CF.
Giải
Trong ∆ADE ta có \[\widehat {A{\rm{ED}}} = 90^\circ \]
Nên AE < AD [1]
Trong ∆CFD ta có \[\widehat {CF{\rm{D}}} = 90^\circ \]
Nên CF < CD [2]
Cộng từng vế [1] và [2] ta có:
AE + CF < AD + CD
Mà D nằm giữa A và C nên AD + CD = AC
Vậy AE + CF < AC
Giaibaitap.me
Page 9
- Giải bài III.5, III.6, III.7, III.8 trang 54 Sách...
- Giải bài III.1, III.2, III.3, III.4 trang 54 Sách...
- Giải bài 89, 90, 91 trang 53, 54 Sách Bài Tập...
- Giải bài 86, 87, 88 trang 53 Sách Bài Tập Toán...
- Giải bài 82, 83, 84, 85 trang 52, 53 Sách Bài Tập...
- Giải bài 9.4, 9.5, 9.6 trang 52 Sách Bài Tập Toán...
- Giải bài 78, 79, 80, 81 trang 51 Sách Bài Tập...
- Giải bài 74, 75, 76, 77 trang 51 Sách Bài Tập...
- Giải bài 9.1, 9.2, 9.3 trang 51, 52 Sách Bài Tập...
- Giải bài 70, 71, 72, 73 trang 50, 51 Sách Bài Tập...
Page 10
Câu 2.1 trang 39 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
[A] Có duy nhất một đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
[B] Có duy nhất một đường kẻ xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
[C] Có vô số đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
[D] Có vô số đường kẻ xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
Hãy vẽ hình minh họa cho các khẳng định đúng.
Giải
Ta biết rằng có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước, vuông góc với một đường thẳng cho trước và có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước cắt một đường cho trước. Bởi vì, có duy nhất một đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d và có vô số đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
[A] Đúng [B] Sai
[C] Sai [D] Đúng
Trong hình AH là đường vuông góc duy nhất và AB, AC, AD, AE, AG là những đường xiên kẻ từ A đến d [có thể kẻ được vô số đường xiên như thế]
Câu 2.2 trang 39 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Qua điểm A không thuộc đường thẳng d, kẻ đường vuông góc AH và các đường xiên AB, AC đến đường thẳng d [H, B, C đều thuộc d]. Biết rằng HB < HC. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
[A] AB > AC [B] AB = AC
[C] AB > AC [D] AH > AB
Giải
Theo định lý so sánh giữa hình chiếu và hình xiên ta có:
HB < HC => AB < AC. Chọn [C]
Câu 2.3 trang 39 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
a] Hai tam giác ABC, A’B’C’ vuông tại A và A’ có AB = A’B’, AC > A’C’. Không sử dụng định lý Pitago, chứng minh rằng BC > B’C’.
b] Hai tam giác ABC, A’B’C’ vuông tại A và A’ có AB = A’B’, BC > B’C’.
sử dụng định lý Pytago, chứng minh rằng AC > A’C’
Giải
a] Do AC > A’C’ nên lấy được điểm \[{C_1}\] trên cạnh AC sao cho \[{\rm{A}}{C_1} = A'C'\]. Ta có tam giác vuông \[AB{C_1}\] bằng tam giác vuông A’B’C’, suy ra \[B'C' = B{C_1}\]. Mặt khác hai đường xiên BC và \[B{C_1}\] kẻ từ B đến đường thẳng AC lần lượt có hình chiếu trên AC là AC và \[{\rm{A}}{C_1}\]. Vì \[{\rm{A}}C > A{C_1}\] nên \[BC > B{C_1}\]. Suy ra BC > B’C’.
b] Dùng phản chứng:
- Giả sử AC < A’C’. Khi đó theo chứng minh câu a] ta có BC < B’C’. Điều này không đúng với giả thiết BC > B’C’.
Giả sử AC = A’C’. Khi đó ta có ∆ABC = ∆A’B’C’ [c.g.c]. Suy ra BC = B’C’.
Điều này cũng không đúng với giả thiết BC > B’C’. Vậy ta phải có AC > A’C’.
[Nếu sử dụng định lý Pytago thì có thể giải bài toán sau]
Trong tam giác vuông ABC có \[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\] [1]
Trong tam giác vuông A’B’C’ có \[B'C{'^2} = A'B{'^2} + A'C{'^2}\] [2]
Theo giả thiết AB = A’B’ nên từ [1] và [2] ta có:
- Nếu AC > A’C’ thì \[{\rm{A}}{C^2} > A'C{'^2}\], suy ra \[B{C^2} > B'C{'^2}\] hay BC > B’C’
- Nếu BC > B’C’ thì \[B{C^2} > B'C{'^2}\], suy ra \[{\rm{A}}{C^2} > A'C{'^2}\] hay AC > A’C’
Giaibaitap.me
Page 11
Câu 2.4 trang 39 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi BD là đường phân giác của góc B [D ∈ AC]. Chứng minh rằng BD > BC.
Giải
Do BD là tia phân giác của góc ABC nên tia BD ở giữa hai tia BA và BC, suy ra D ở giữa A và C, hay AD < AC. Hai đường xiên BC, BD lần lượt có hình chiếu trên AC là AC và AD. Hơn nữa AD > AC, suy ra BD < BC. [Một cách tương tự, ta cũng chứng minh được đoạn thẳng nối B với trung điểm của đoạn thẳng AC nhỏ hơn BC]
Câu 2.5 trang 40 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng xy
a] Tìm trên đường thẳng xy hai điểm M, N sao cho hai đường xiên AM và AN bằng nhau.
b] Lấy một điểm D trên đường thẳng xy. Chứng minh rằng:
- Nếu D ở giữa M và N thì AD < AM ;
- Nếu D không thuộc đoạn thẳng MN thì AD > AM.
Giải
a] Phân tích bài toán: Giả sử M và N là hai điểm của đường thẳng xy mà AM = AN. Nếu gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ điểm A đến xy thì HM, HN lần lượt là hình chiếu của các đường xiên AM, AN.
Từ AM = AN suy ra HM = HN, từ đó xác định được hai điểm M, N.
Kẻ AH vuông góc với xy [H ∈ xy]
Lấy hai điểm M, N trên xy sao cho HM = HN [1]
[dùng compa vẽ một đường tròn tâm H bán kính tùy ý; đường tròn này cắt đường thẳng xy tại hai điểm M, N thỏa mãn HM = HN]
Hai đường xiên AM, AN lần lượt có hình chiếu là HM và HN, do đó từ [1] suy ra AM = AN
b] Xét trường hợp D ở giữa M và N
- Nếu D ≡ H thì AD = AH, suy ra AD > AM [đường vuông góc ngắn hơn đường xiên]
- Nếu D ở giữa M và H thì HD < HM, do đó AD < AM [đường xiên có hình chiếu ngắn hơn thì ngắn hơn]
- Nếu D ở giữa H và N thì HD < HN, do đó AD < AN.
Theo a] ta có AM = AN nên AD < AM
Vậy khi D ở giữa M và N thì ta luôn có AD < AM
Câu 2.6 trang 40 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho điểm P nằm ngoài đường thẳng d.
a] Hãy nêu cách vẽ đường xiên PQ, PR sao cho PQ = PR và \[\widehat {QP{\rm{R}}} = 60^\circ \]
b] Trong hình dựng được ở câu a], cho PQ = 18cm. Tính độ dài hình chiếu của hai đường xiên PQ, PR trên d.
Giải
a] Phân tích bài toán
Giả sử PQ và PR là hai đường xiên kẻ từ P đến d sao cho PQ = PR và \[\widehat {QP{\rm{R}}} = 60^\circ \]. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ P đến d. Khi đó ∆PHQ = ∆PHQ [cạnh huyền, cạnh góc vuông], suy ra \[\widehat {HPQ} = \widehat {HP{\rm{R}}} = 30^\circ \]. Từ đó suy ra cách vẽ hai đường xiên PQ và PR.
Kẻ \[PH \bot d\] [H ∈ d]. Dùng thước đo góc để vẽ góc HPx bằng 30°. Tia Px cắt d tại điểm Q. Trên d lấy điểm R sao cho HR = HQ. Hai đường xiên PQ và PR lần lượt có hình chiếu trên d là HQ và HR. Do HQ = HR nên PQ = PR.
Hơn nữa \[\widehat {QP{\rm{R}}} = 2\widehat {HPQ} = 60^\circ \]
b] Hướng dẫn
- Tam giác PQR có PQ = PR và \[\widehat {QP{\rm{R}}} = 60^\circ \], tam giác đó là tam giác gì?
- PQ = 18cm => QR =? ; HQ = HR =?
Giaibaitap.me
Page 12
- Giải bài III.5, III.6, III.7, III.8 trang 54 Sách...
- Giải bài III.1, III.2, III.3, III.4 trang 54 Sách...
- Giải bài 89, 90, 91 trang 53, 54 Sách Bài Tập...
- Giải bài 86, 87, 88 trang 53 Sách Bài Tập Toán...
- Giải bài 82, 83, 84, 85 trang 52, 53 Sách Bài Tập...
- Giải bài 9.4, 9.5, 9.6 trang 52 Sách Bài Tập Toán...
- Giải bài 78, 79, 80, 81 trang 51 Sách Bài Tập...
- Giải bài 74, 75, 76, 77 trang 51 Sách Bài Tập...
- Giải bài 9.1, 9.2, 9.3 trang 51, 52 Sách Bài Tập...
- Giải bài 70, 71, 72, 73 trang 50, 51 Sách Bài Tập...
Page 13
Câu 23 trang 40 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC trong đó BC là cạnh lớn nhất.
a] Vì sao các góc B và C không thể là góc vuông hoặc góc tù?
b] Gọi AH là đường vuông góc kẻ từ A đến BC. So sánh AB + AC với BH + CH rồi chứng minh rằng AB + AC > BC.
Giải
a] Giả sử \[\widehat B \ge 90^\circ\] => AC > BC
[Trong một tam giác cạnh đối diện với góc vuông hoặc góc tù là cạnh lớn nhất]
Trái giả thiết cạnh BC là cạnh lớn nhất
Giả sử \[\widehat C \ge 90^\circ \] => AB > BC
[Trong một tam giác cạnh đối diện với góc vuông hoặc góc tù là cạnh lớn nhất]
Trái với giả thiết BC là cạnh lớn nhất
Vậy \[\widehat B,\widehat C\] là các góc nhọn.
b] Ta có điểm H nằm giữa B và C => BH + HC = BC [1]
Ta có: AB > BH [đường xiên lớn hơn đường vuông góc]
AC > CH [đường xiên lớn hơn đường vuông góc]
Cộng từng vế ta có : B + AC > BH + CH [2]
Từ [1] và [2] suy ra: AB + AC > BC
Câu 24 trang 41 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng d. Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tổng AC + CB là nhỏ nhất.
Giải
Gọi C là giao điểm của đoạn thẳng AB với đường thẳng d.
Vì C nằm giữa A và B nên AC + CB = AB [1]
Lấy điểm C’ bất kỳ trên d [C’ # C]
Nối AC’, BC’.
Trong ∆ABC’ ta có:
AC’ + BC’ > AB [bất đẳng thức tam giác] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: AC’ + C’B > AC + CB
Vậy C là điểm cần tìm.
Câu 25 trang 41 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Ba thành phố A, B C trên bản đồ là ba đỉnh của một tam giác, trong đó AC = 30km, AB = 70km
a] Nếu đặt ở C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 40km thì thành phố B có nhận được tín hiệu không? Vì sao?
b] Cũng hỏi như trên với máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng 100km.
Giải
Để giải quyết câu hỏi của bài toán ta cần xét khoảng cách BC.
Trong ∆ABC theo bất đẳng thức của tam giác và hệ quả ta có:
AB – AC < BC < AB + AC
Thay giá trị: AB = 70km, AC = 30km
\[ \Rightarrow \] 70 – 30 40 < BC < 100
a] Nếu máy phát sóng để ở C có bán kính hoạt động bằng 40km thì ở B không nhận được tín hiệu vì BC > 40.
b] Nếu máy phát sóng để ở C có bán kính hoạt động bằng 100km thì ở B nhận được tín hiệu vì BC < 100.
Câu 26 trang 41 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa B và C.
Chứng minh rằng AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC.
Giải
Trong ∆ABD ta có:
AD < AB + BD [bất đẳng thức tam giác] [1]
Trong ∆ADC ta có:
AD < AC + DC [bất đẳng thức tam giác] [2]
Cộng từng vế [1] và [2]:
\[\eqalign{ & 2{\rm{AD}} < AB + B{\rm{D}} + AC + DC \cr & \Rightarrow 2AD < AB + AC + BC \cr
& \Rightarrow A{\rm{D}} < {{AB + AC + BC} \over 2} \cr} \]
Giaibaitap.me
Page 14
- Giải bài III.5, III.6, III.7, III.8 trang 54 Sách...
- Giải bài III.1, III.2, III.3, III.4 trang 54 Sách...
- Giải bài 89, 90, 91 trang 53, 54 Sách Bài Tập...
- Giải bài 86, 87, 88 trang 53 Sách Bài Tập Toán...
- Giải bài 82, 83, 84, 85 trang 52, 53 Sách Bài Tập...
- Giải bài 9.4, 9.5, 9.6 trang 52 Sách Bài Tập Toán...
- Giải bài 78, 79, 80, 81 trang 51 Sách Bài Tập...
- Giải bài 74, 75, 76, 77 trang 51 Sách Bài Tập...
- Giải bài 9.1, 9.2, 9.3 trang 51, 52 Sách Bài Tập...
- Giải bài 70, 71, 72, 73 trang 50, 51 Sách Bài Tập...
Page 15
- Giải bài III.5, III.6, III.7, III.8 trang 54 Sách...
- Giải bài III.1, III.2, III.3, III.4 trang 54 Sách...
- Giải bài 89, 90, 91 trang 53, 54 Sách Bài Tập...
- Giải bài 86, 87, 88 trang 53 Sách Bài Tập Toán...
- Giải bài 82, 83, 84, 85 trang 52, 53 Sách Bài Tập...
- Giải bài 9.4, 9.5, 9.6 trang 52 Sách Bài Tập Toán...
- Giải bài 78, 79, 80, 81 trang 51 Sách Bài Tập...
- Giải bài 74, 75, 76, 77 trang 51 Sách Bài Tập...
- Giải bài 9.1, 9.2, 9.3 trang 51, 52 Sách Bài Tập...
- Giải bài 70, 71, 72, 73 trang 50, 51 Sách Bài Tập...
Page 16
- Giải bài III.5, III.6, III.7, III.8 trang 54 Sách...
- Giải bài III.1, III.2, III.3, III.4 trang 54 Sách...
- Giải bài 89, 90, 91 trang 53, 54 Sách Bài Tập...
- Giải bài 86, 87, 88 trang 53 Sách Bài Tập Toán...
- Giải bài 82, 83, 84, 85 trang 52, 53 Sách Bài Tập...
- Giải bài 9.4, 9.5, 9.6 trang 52 Sách Bài Tập Toán...
- Giải bài 78, 79, 80, 81 trang 51 Sách Bài Tập...
- Giải bài 74, 75, 76, 77 trang 51 Sách Bài Tập...
- Giải bài 9.1, 9.2, 9.3 trang 51, 52 Sách Bài Tập...
- Giải bài 70, 71, 72, 73 trang 50, 51 Sách Bài Tập...
Page 17
Câu 31 trang 42 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho hình bên. Điền vào chỗ trống:
GK = ….CK; AG = … GM; GK = … CG;
AM = ….AG; AM = … GM.
Giải
\[GK = {1 \over 3}CK;AG = 2GM\]
\[GK = {1 \over 2}CG;AM = {3 \over 2}AG\]
AM = 3GM
Câu 32 trang 42 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Giải
Giả sử ∆ABC có hai đường trung tuyến BD, CE và BD = CE. Gọi G là giao điểm BD và CE.
\[BG = {2 \over 3}B{\rm{D}}\] [tính chất đường trung tuyến]
\[CG = {2 \over 3}CE\] [tính chất đường trung tuyến]
Suy ra: BG = CG
BD = CE
\[ \Rightarrow \] BG + GD = CG + GE
Xét ∆BGE và ∆CGD:
BG = CG [chứng minh trên]
\[\widehat {BGE} = \widehat {CG{\rm{D}}}\] [đối đỉnh]
GE = GD [chứng minh trên]
Do đó: ∆BGE = ∆CGD [c.g.c]
\[ \Rightarrow \] BE = CD [1]
\[BE = {1 \over 2}AB\] [Vì E là trung điểm AB] [2]
\[C{\rm{D = }}{1 \over 2}AC\] [Vì D là trung điểm AC] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: AB = CD.Vậy ∆ABC cân tại A.
Câu 33 trang 42 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 34cm, BC = 32cm. Kẻ đường trung tuyến AM.
a] Chứng minh rằng \[AM \bot BC\]
b] Tính độ dài AM.
Giải
a] Xét ∆AMB và ∆AMC:
AM = AC [gt]
BM = CM [gt]
AM cạnh chung
Do đó: ∆AMB = ∆AMC [c.c.c]
\[ \Rightarrow \widehat {AMB} = \widehat {AMC}\] [1]
Ta có: \[\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = 180^\circ \] [hai góc kề bù] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = 90^\circ \]
Vậy: \[AM \bot BC\]
b] Xét tam giác vuông AMB ta có: \[\widehat {AMB} = 90^\circ \]
Theo định lý Pitago ta có:
$$\eqalign{ & \,\,\,\,A{B^2} = A{M^2} + B{M^2} \cr & \Rightarrow A{M^2} = A{B^2} - B{M^2} = {34^2} - {16^2} \cr & \,\,\,\,\,A{M^2} = 1156 - 256 = 900 \cr
& \Rightarrow AM = 30\left[ {cm} \right] \cr} $$
Câu 34 trang 42 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Vẽ điểm D sao cho G là trung điểm của AD. Chứng minh rằng:
a] Các cạnh của tam giác BGD bằng \[{2 \over 3}\] các đường trung tuyến của tam giác ABC
b] Các đường trung tuyến của tam giác BGD bằng một nửa các cạnh của tam giác ABC.
Giải
a] Gọi AM, BN, CP là các đường trung tuyến của ∆ABC cắt nhau tại G.
AG = GD [gt]
AG = 2GM [suy ra từ tính chất đường trung tuyến]
Nên GD = 2GM
GD = GM + MD
Suy ra: GM = MD
Xét ∆BMD và ∆CMG:
BM = CM [gt]
\[\widehat {BM{\rm{D}}} = \widehat {CMG}\] [đối đỉnh]
MD = GM [chứng minh trên]
Do đó: ∆BMD = ∆CMG [c.g.c]
\[ \Rightarrow \] BD = CG
\[CG = {2 \over 3}CP\] [tính chất đường trung tuyến]
Suy ra: \[B{\rm{D = }}{2 \over 3}CP\] [1]
\[BG = {2 \over 3}BN\] [tính chất đường trung tuyến] [2]
\[{\rm{A}}G = {2 \over 3}AM\] [tính chất đường trung tuyến]
Suy ra: \[G{\rm{D}} = {2 \over 3}AM\] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra các cạnh của ∆BGD bằng \[{2 \over 3}\] các đường trung tuyến của ∆ABC.
b] GM = MD [chứng minh trên]
nên BM = MD là đường trung tuyến của ∆BGD
\[BM = {1 \over 2}BC\] [4]
Kẻ đường trung tuyến GE và DF của ∆BGD
\[ \Rightarrow FG = {1 \over 2}BG\]
\[GN = {1 \over 2}BG\] [tính chất đường trung tuyến]
Nên FN = GN
Xét ∆DFG và ∆ANG:
AG = GD [gt]
\[\widehat {DGF} = \widehat {AGN}\] [đối đỉnh]
GF = GN [chứng minh trên]
Do đó ∆DFG = ∆ANG [c.g.c]
\[ \Rightarrow \] DF = AN
\[AN = {1 \over 2}AC\] [gt]
Suy ra: \[{\rm{D}}F = {1 \over 2}AC\] [5]
BD = CG [chứng minh trên]
\[{\rm{ED}} = {1 \over 2}B{\rm{D}}\] [Vì E là trung điểm BD]
\[GP = {1 \over 2}CG\] [tính chất đường trung tuyến]
Suy ra: ED = GP
∆BDM = ∆CGM [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow \widehat {B{\rm{D}}M} = \widehat {CGM}\] hay \[\widehat {E{\rm{D}}G} = \widehat {CGM}\]
\[\widehat {CGM} = \widehat {PGA}\] [đối đỉnh]
Suy ra: \[\widehat {{\rm{ED}}G} = \widehat {PGA}\]
AG = GD [gt]
Suy ra: ∆PGA = ∆EDG [c.g.c]=> GE = AP mà
Suy ra: \[GE = {1 \over 2}AB\] [6]
Từ [4],[5] và [6] suy ra các đường trung tuyến của ∆BGD bằng một nửa cạnh của ∆ABC.
Giaibaitap.me
Page 18
Câu 35 trang 42 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Tam giác ABC có BC = 10cm, các đường trung tuyến BD và CE. Chứng minh rằng BD + CE < 15cm.
Giải
Gọi G là giao điểm của 2 đường trung tuyến BD và CE.
Trong ∆GBC ta có:
GB + GC > BC [bất đẳng thức tam giác]
\[GB = {2 \over 3}B{\rm{D}}\] [tính chất đường trung tuyến]
\[GC = {2 \over 3}CE\] [tính chất đường trung tuyến]
BC = 10cm [gt]
Suy ra: \[{2 \over 3}\left[ {B{\rm{D}} + CE} \right] > 10 \]
\[\Rightarrow B{\rm{D}} + CE > 10:{2 \over 3} = 10.{3 \over 2} = 15\]
Vây BD + CE > 15 [cm]
Câu 36 trang 43 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho \[BE = {1 \over 3}BC\]. Gọi K là giao điểm của AE và CD. Chứng minh rằng DK = KC.
Giải
Trong ∆ACD ta có CB là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh C.
E ∈ BC và \[BE = {1 \over 3}BC\] [gt]
Suy ra: \[CE = {2 \over 3}CB\] nên E là trọng tâm của ∆ACD.
Do đó AK là đường trung tuyến của ∆ACD.
Xuất phát từ đỉnh A nên K là trung điểm của CD.
Vậy KD = KC.
Câu 37 trang 43 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Theo kết quả của bài 64 chương II, SBT Toán 7 tập 1 ta có: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của một tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Vận dụng kết quả trên để giải bài toán sau: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD. Kẻ đường trung tuyến BE cắt AD ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GA, GB. Chứng minh rằng:
a] IK // DE, IK = DE
b] \[{\rm{A}}G = {2 \over 3}A{\rm{D}}\]
Giải
a] Áp dụng kết quả của bài 64 chương II sách bài tập toán 7 vào ∆ABC vào ∆AGB ta có:
DE // AB và \[{\rm{D}}E = {1 \over 2}AB\] [1]
IK // AB và \[IK = {1 \over 2}AB\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: DE // IK và DE // IK
b] AD và BE là 2 đường trung tuyến của ∆ABC cắt nhau tại G.
\[ \Rightarrow AG = {2 \over 3}AD\] [tính chất đường trung tuyến]
Câu 38 trang 43 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm M sao cho MD = MA.
a] Tính số đo góc ABD.
b] Chứng minh: ∆ABC = ∆BAD.
c] So sánh độ dài AM và BC.
Giải
a] Xét ∆AMC và ∆BMD:
BM = MC [gt]
\[\widehat {ABM} = \widehat {BMC}\] [đối đỉnh]
AM = MD [gt]
Do đó: ∆AMC = ∆DMB [c.g.c]
\[ \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat D\] [2 góc tương ứng]
Suy ra: AC // BD [vì có hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau]
\[AB \bot AC\left[ {gt} \right]\]
Suy ra \[AB \bot B{\rm{D}}\]. Vậy \[\widehat {AB{\rm{D}}} = 90^\circ \]
b] Xét ∆ABC và ∆BAD:
AB cạnh chung
\[\widehat {BAC} = \widehat {AB{\rm{D}}} = 90^\circ \]
AC = BD [Vì ∆AMC = ∆DMB]
Do đó: ∆ABC = ∆BAD [c.g.c]
c] ∆ABC = ∆BAD => BC = AD [2 cạnh tương ứng]
Ta có: \[AM = {1 \over 2}A{\rm{D}}\]. Suy ra: \[{\rm{A}}M = {1 \over 2}BC\]
Câu 39 trang 43 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC. Chứng minh rằng \[\widehat {BAC} = 90^\circ \].
Giải
Ta có AM là đường trung tuyến của ∆ABC.
\[ \Rightarrow BM = MC = {1 \over 2}BC\]
\[AM = {1 \over 2}BC\left[ {gt} \right]\]
Suy ra: AM = BM = MC
∆AMB có AM = MB nên ∆AMB cân tại M.
\[ \Rightarrow \widehat B = \widehat {{A_1}}\] [tính chất tam giác cân] [1]
∆AMC có AM = MC nên ∆AMC cân tại M.
\[ \Rightarrow \widehat C = \widehat {{A_2}}\] [tính chất tam giác cân] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[\widehat B + \widehat C = \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat {BAC}\] [3]
Trong ∆ABC ta có:
\[\widehat B + \widehat C + \widehat {BAC} = 180^\circ \] [tổng ba góc trong tam giác] [4]
Từ [3] và [4] suy ra: \[\widehat {BAC} + \widehat {BAC} = 180^\circ \]
\[ \Rightarrow 2\widehat {BAC} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ \]
Vậy ∆ABC vuông tại A.
Giaibaitap.me
Page 19
- Giải bài III.5, III.6, III.7, III.8 trang 54 Sách...
- Giải bài III.1, III.2, III.3, III.4 trang 54 Sách...
- Giải bài 89, 90, 91 trang 53, 54 Sách Bài Tập...
- Giải bài 86, 87, 88 trang 53 Sách Bài Tập Toán...
- Giải bài 82, 83, 84, 85 trang 52, 53 Sách Bài Tập...
- Giải bài 9.4, 9.5, 9.6 trang 52 Sách Bài Tập Toán...
- Giải bài 78, 79, 80, 81 trang 51 Sách Bài Tập...
- Giải bài 74, 75, 76, 77 trang 51 Sách Bài Tập...
- Giải bài 9.1, 9.2, 9.3 trang 51, 52 Sách Bài Tập...
- Giải bài 70, 71, 72, 73 trang 50, 51 Sách Bài Tập...
Page 20
Câu 4.4 trang 44 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Trong tam giác ABC, hai đường trung tuyến \[{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}\] và \[B{B_1}\] cắt nhau tại điểm O. Hãy tính diện tích tam giác ABC nếu diện tích tam giác ABO bằng \[5c{m^2}\].
Giải
Ta có:
\[{S_{AOB}} = {2 \over 3}{S_{{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}B}}\] [Vì \[{\rm{A}}O = {2 \over 3}{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}\]];
\[{{\rm{S}}_{AB{A_1}}} = {1 \over 2}{S_{ABC}}\] [Vì \[B{A_1} = {1 \over 2}BC\]] ;
Từ đó suy ra \[{{\rm{S}}_{ABC}} = 2{{\rm{S}}_{AB{A_1}}} = 3{{\rm{S}}_{AOB}}\]
Nếu \[{{\rm{S}}_{AOB}} = 5c{m^2}\] thì \[{S_{ABC}} = 3.5 = 15\left[ {c{m^2}} \right]\]
Câu 4.5 trang 44 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Chứng minh rằng các trung tuyến của một tam giác phân chia tam giác đó thành 6 tam giác mà diện tích của chúng [đôi một] bằng nhau.
Giải
Xét sáu tam giác được đánh số là: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Chứng minh hoàn toàn tương tự như bài 4.4 ta có
\[{S_{GAB}} = {S_{GBC}} = {S_{GCA}} = {1 \over 3}{S_{ABC}}\]
Ta lại có \[{{\rm{S}}_1} = {S_2},{S_3} = {S_4},{S_5} = {S_6}\] [vì mỗi cặp tam giác có chung đường cao và hai đáy bằng nhau, vậy sáu tam giác 1, 2, 3, 4, 5, 6 có diện tích bằng nhau]
Câu 4.6 trang 44 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AD. Trên tia AD lấy điểm E sao cho AD = DE, trên tia BC lấy điểm M sao cho BC = CM.
a] Tìm trọng tâm của tam giác AEM.
b] So sánh các cạnh của tam giác ABC với các đường trung tuyến của tam giác AEM
c] So sánh các đường trung tuyến của tam giác ABC với các cạnh của tam giác AEM.
Giải
a] Do AD = DE nên MD là một đường trung tuyến của tam giác AEM. Hơn nữa do
$$C{\rm{D}} = {1 \over 2}CB = {1 \over 2}CM$$
Nên C là trọng tâm của tam giá AEM.
b] Các đường thẳng AC, EC lần lượt cắt EM, AM tại F, I. Tam giác AEM có các đường trung tuyến là AF, EI, MD. Ta có ∆ADB = ∆EDG [c.g.c] nên AB = EC
Vậy: \[AC = {2 \over 3}{\rm{AF;BC = CM = }}{2 \over 3}{\rm{MD}};AB = EC = {2 \over 3}EI\]
c] Trước tiên, theo giả thiết, ta có AD = DE nên \[A{\rm{D}} = {1 \over 2}A{\rm{E}}\]
Gọi BP, CQ là các trung tuyến của ∆ABC.
∆BCP = ∆MCF => \[BP = FM = {1 \over 2}EM\]. Ta sẽ chứng minh \[CQ = {1 \over 2}AM\]
Ta có:
\[\eqalign{ & \Delta AB{\rm{D}} = \Delta EC{\rm{D}} \Rightarrow \widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {CED} \cr
& \Rightarrow AB//EC \Rightarrow \widehat {QAC} = \widehat {IC{\rm{A}}} \cr} \]
Hai tam giác ACQ và CAI có cạnh AC chung, \[\widehat {QAC} = \widehat {IC{\rm{A}}}\];
\[AQ = {1 \over 2}AB = {1 \over 2}EC = IC\] nên chúng bằng nhau.
Vậy \[CQ = AI = {1 \over 2}AM\].
Tóm lại: \[A{\rm{D}} = {1 \over 2}A{\rm{E,BP = }}{1 \over 2}{\rm{EM,CQ = }}{1 \over 2}{\rm{AM}}\]
Giaibaitap.me
Page 21
Câu 40 trang 44 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Hình sau là thước có khoảng cách giữa hai lề song song với nhau bằng h. Để vẽ tia phân giác của góc xOy, ta áp một lề của thước vào cạnh Ox rồi kẻ đường thẳng a theo lề kia, sau đó làm tương tự với cạnh Oy ta kẻ được đường thẳng b. Vì sao giao điểm M của a và b nằm trên tia phân giác góc xOy?
Giải
Kẻ \[MH \bot Ox,MK \bot Oy\]
MH là chiều rộng của thước hai lề
MK là chiều rộng của thước hai lề
Mà chiều rộng của thước đó bằng nhau và bằng h
\[ \Rightarrow \] MH = MK = h
Điểm M nằm trong góc xOy và cách đều hai cạnh của góc nên M thuộc tia phân giác của góc xOy.
Câu 41 trang 44 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng hai đường phân giác của hai góc ngoài tại B và C và đường phân giác trong của góc A cùng đi qua một điểm.
Giải
Gọi K là giao điểm của hai tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh B và góc ngoài tại đỉnh C.
Kẻ \[KE \bot BC,KF \bot {\rm{A}}C,K{\rm{D}} \bot AB\]
Vì K nằm trên tia phân giác của \[\widehat {CB{\rm{D}}}\]
\[ \Rightarrow \] KD = KE [tính chất tia phân giác] [1]
Vì K nằm trên tia phân giác của \[\widehat {BCF}\]
\[ \Rightarrow \] KE = KF [tính chất tia phân giác] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: KD = KF
Điểm K nằm trong \[\widehat {BAC}\] cách đều 2 cạnh AB và AC
Điểm K nằm trên tia phân giác của \[\widehat {BAC}\]
Vậy đường phân giác trong của \[\widehat {A}\] đi qua K.
Câu 42 trang 45 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác nhon ABC. Tìm điểm D thuộc trung tuyến AM sao cho D cách đều hai cạnh của góc B.
Giải
D cách đều hai cạnh của góc B nên D nằm trên đường phân giác của \[\widehat {ABC}\]
D nằm trên đường trung tuyến AM.
Vậy D là giao điểm của đường phân giác của \[\widehat {ABC}\] và đường trung tuyến AM.
Ta có hình vẽ:
Câu 43 trang 45 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho đường thẳng AC và CD cắt nhau tại O. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng AB và CD.
Giải
Xét M nằm trong góc AOC.
Kẻ \[MH \bot OA,MK \bot {\rm{O}}C\]
Xét hai tam giác vuông MHO và MKO:
\[\widehat {MHO} = \widehat {MK{\rm{O}}} = 90^\circ \]
MH = MK
OM cạnh huyền chung
Do đó ∆MHO = ∆MKO [cạnh huyền - …]
\[ \Rightarrow \widehat {MOH} = \widehat {MOK}\] [2 góc tương ứng]
=>OM là tia phân giác của \[\widehat {AOC}\]
Ngược lại, M nằm trên tia phân giác của \[\widehat {AOC}\]
Xét hai tam giác vuông MHO và MKO:
\[\widehat {MHO} = \widehat {MK{\rm{O}}} = 90^\circ \]
\[\widehat {MOH} = \widehat {MOK}\]
OM cạnh huyền chung
Do đó ∆MHO = ∆MKO [cạnh huyền – góc nhọn]
\[ \Rightarrow \] MH = MK [2 cạnh tương ứng]
Vậy tập hợp các điểm M cách đều OA và OC là tia phân giác Ox của góc AOC.
Tương tự M nằm trong các góc AOD, DOB, BOC tập hợp các điểm M là tia phân giác Oy, Ox’, Oy’.
Vậy tập hợp các điểm M cách đều hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O là hai đường thẳng xx’ và yy’ là đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD.
Câu 44 trang 45 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Để vẽ đường phân giác của góc xOy có đỉnh O nằm ngoài tờ giấy, bạn Minh đã vẽ các điểm A, B như trên hình sau. Đường thẳng AB có là đường phân giác của góc xOy hay không? Vì sao?
Giải
Đường thẳng AB là đường phân giác của \[\widehat {xOy}\] vì:
AD = AE nên A nằm trên tia phân giác của góc xOy.
BM = BN nên B nằm trên tia phân giác của góc xOy.
A # B. Vậy đường thẳng AB là đường phân giác của góc xOy.
Giaibaitap.me
Page 22
Câu 5.1 trang 45 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho góc xOy bằng 60°, điểm M nằm trong góc đó và cùng cách Ox, Oy một khoảng bằng 2cm. Khi đó đoạn thẳng OM bằng
[A] 2cm; [B] 3cm;
[C] 4cm; [D] 5cm
Hãy chọn phương án đúng.
Giải
Do M cùng cách Ox, Oy những khoảng bằng nhau nên M nằm trên tia phân giác của góc xOy. Gọi A là chân đường vuông góc kẻ từ M đến Ox thì tam giác vuông AOM là “một nửa” tam giác đều.
Vậy OM = 2MA = 4cm. Chọn [C] 4cm.
Câu 5.2 trang 45 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho điểm A nằm trong góc vuông xOy. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A đến Ox, Oy. Biết AM = AN = 3cm. Khi đó
[A] OM = ON > 3cm [B] OM = ON < 3cm
[C] OM = ON = 3cm [D] OM # ON
Giải
Dễ thấy OMAN là một hình vuông nên OM = ON = AM = 3cm.
Cách khác: Do A nằm trên tia phân giá của góc xOy nên tam giác MAO vuông cân tại M, bởi vậy MO = MA = 3cm.
Tương tự NO = NA = 3cm. Chọn [C] OM = ON = 3cm.
Câu 5.3 trang 45 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho góc đỉnh O khác góc bẹt
a] Từ một điểm M trên tia phân giác của góc O, kẻ các đường vuông góc MA, MB đến hai cạnh của góc này. Chứng minh rằng \[AB \bot OM\]
b] Trên hai cạnh của góc O lấy hai điểm C và D, sao cho OC = OD. Hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai cạnh của góc O tại C và D cắt nhau ở E. Chứng minh rằng OE là tia phân giác của góc O.
Giải
a] Gọi H là giao điểm của AB và OM. Xét hai tam giác vuông AOM và BOM. Ta có cạnh huyền OM chung, MA = MB [vì M thuộc tia phân giác của góc O]. Vậy ∆AOM = ∆BOM. Suy ra OA = OB. Từ đó có ∆AOH = ∆BOH [c.g.c]. Suy ra \[\widehat {AHO} = \widehat {AHB} = 90^\circ \], tức là \[OM \bot AB\]
b] Để chứng minh OE là tia phân giác của góc O, ta cần chứng minh hai tam giác vuông COE và DOE bằng nhau. Hai tam giác này có cạnh huyền OE chung và OC = OD [giả thiết] nên chúng bằng nhau. Suy ra \[\widehat {EOC} = \widehat {EO{\rm{D}}}\] hay OE là tia phân giác của góc O.
Câu 5.4 trang 45 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm P, Q sao cho AP = AQ. Hai đoạn thẳng CP, BQ cắt nhau tại O. Chứng minh rằng:
a] Tam giác OBC là tam giác cân.
b] Điểm O cách đều hai cạnh AB, AC.
c] AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC và vuông góc với nó.
Giải
a] Ta sẽ chứng minh tam giác OBC có hai góc OBC và OCB bằng nhau
Ta có ∆ABQ = ∆ACP [c.g.c] nên \[\widehat {ACP} = \widehat {ABQ}\]. Mặt khác \[\widehat {ACB} = \widehat {ABC}\] do tam giác ABC cân tại A nên \[\widehat {OCB} = \widehat {OBC}\]. Suy ra \[\widehat {OAB} = \widehat {OAC}\] tam giác OBC cân tai O.
b] Hai tam giác AOB và AOC có cạnh AO chung, AB = AC [giả thiết], OB = OC [theo a]. Vậy ∆AOB = ∆AOC [c.c.c]. Suy ra hay AO là tia phân giác của góc BAC. Suy ra O cách đều hai cạnh AB, AC.
c] Gọi giao điểm AO với BC là H, hai tam giác AHB và AHC có cạnh AH chung, AB = AC và \[\widehat {BAH} = \widehat {CAH}\] [theo b]. Vậy ∆AHB = ∆AHC. Suy ra HB = HC và \[\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \], tức là \[AO \bot BC\] và AO đi qua trung điểm của BC.
Câu 5.5 trang 46 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho hai đường thẳng song song a, b và một cát tuyến c. Hai tia phân giác của một cặp góc trong cùng phía cắt nhau tại I. Chứng minh rằng I cách đều ba đường thẳng a, b, c.
Giải
Gọi A, B, C lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ I đến a, b, c. Xét hai góc trong cùng ơhía E và F. Do I thuộc tia phân giác của góc E nên IA = IC. [1]
Do I thuộc tia phân giác của góc F nên IC = IB. [2]
Từ [1] và [2] suy ra IA = IB = IC, tức là I cách đều ba đường thẳng a, b, c
Giaibaitap.me
Page 23
Câu 45 trang 46 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm của tam giác, gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác. Chứng minh rằng ba điểm A, G, I thẳng hàng.
Giải
Kẻ đường phân giác của \[\widehat A\] và \[\widehat C\] cắt nhau tại I, AI cắt BC tại M.
∆ABC cân tại A.
Đường phân giác AM cũng là đường trung tuyến [tính chất tam giác cân]
G là trọng tâm của ∆ABC
\[ \Rightarrow \] G ∈ AM
Vậy A, I, G thẳng hàng.
Câu 46 trang 46 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC. Hãy tìm một điểm sao cho khoảng cách từ điểm đó đến mỗi đoạn thẳng AB, BC, CA là bằng nhau, đồng thời khoảng cách này là ngắn nhất.
Giải
Nếu O là điểm nằm trong ∆ABC
Kẻ \[OH \bot AB,OK \bot BC,OI \bot {\rm{A}}C\]
Vì điểm O cách đều các đường thẳng AB, BC, CA.
\[ \Rightarrow \] OH = OK = OI
OH = OK
\[ \Rightarrow \] O nằm trên tia phân giác \[\widehat {ABC}\]
OI = OK
\[ \Rightarrow \] O nằm trên tia phân giác \[\widehat {ACB}\]
Vậy O là giao điểm các đường phân giác của ∆ABC.
Nếu O’ nằm ngoài ∆ABC
Kẻ \[O'D \bot AB,O'E \bot BC,O'F \bot {\rm{AC}}\]
\[ \Rightarrow \] O'D = O'E = O'F
O'D = O'F
\[ \Rightarrow \] O nằm trên tia phân giác \[\widehat {BAC}\]
O’D = O’E
\[ \Rightarrow \] O’ nằm trên tia phân giác \[\widehat {DBC}\]
\[ \Rightarrow \] O’ là giao điểm phân giác trong của \[\widehat {BAC}\] và phân giác ngoài tại đỉnh D. nên A, O, O’ thẳng; A, H, D thẳng hàng.
Ta có: OH < O’D
Vậy O là giao điểm các đường phân giác trong của ∆ABC cách đều ba đường thẳng AB, BC, CA và ngắn nhất.
Câu 47 trang 46 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Tam giác ABC có đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác cân.
Giải
Kẻ \[MH \bot AB,MK \bot {\rm{A}}C\]
AM là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\]
\[ \Rightarrow \] MH = MK [tính chất tia phân giác]
Xét hai tam giác vuông MHB và MKC:
\[\widehat {MHB} = \widehat {MKC} = 90^\circ \]
MH = MK [chứng minh trên]
MB = MC [gt]
Do đó: ∆MHB = ∆MKC [cạnh huyền, cạnh góc vuông]
\[ \Rightarrow \widehat B = \widehat C\]
Vậy ∆ABC cân tại A.
Câu 48 trang 46 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở K. Chứng minh rằng AK đi qua trọng điểm của BC.
Giải
Các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại K nên AK là đường phân giác của góc A.
Gọi M là trung điểm của BC.
Trong tam giác cân đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.
Vậy AK đi qua trung điểm M của BC.
Giaibaitap.me
Page 24
Câu 49 trang 46 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm của BC. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến AB và AC. Chứng minh rằng DE = DF.
Giải
∆ABC cân tại A.
DB = DC [gt]
Nên đường trung tuyến AD cũng là đường phân giác của góc BAC.
\[\eqalign{ & DE \bot AB\left[ {gt} \right] \cr
& DF \bot {\rm{A}}C\left[ {gt} \right] \cr} \]
Suy ra: DE = DF [tính chất đường phân giác của góc].
Câu 50 trang 46 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC có Â = 70°, các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở I. Tính \[\widehat {BIC}\].
Giải
Trong ∆ABC ta có:
\[\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \] [tổng ba góc trong tam giác]
\[ \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \
\[\widehat {{B_1}} = {1 \over 2}\widehat B\] [vì BD là tia phân giác]
\[\widehat {{C_1}} = {1 \over 2}\widehat C\] [vì CE là tia phân giác]
Trong ∆BIC ta có:
\[\widehat {BIC} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = 180^\circ \] [tổng 3 góc trong tam giác]
\[\Rightarrow \widehat {BIC} = 180 - [\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}]\]
\[\widehat {BIC} = 180^\circ - {1 \over 2}[\widehat B + \widehat C] = 180^\circ - {1 \over 2}.110^\circ = 125^\circ \]
Câu 51 trang 46 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Tính góc A của tam giác ABC biết rằng các đường phân giác BD, CB cắt nhau tại I trong đó góc BIG bằng:
a] 120°
b] ∝[∝ > 90°]
Giải
Trong ∆BIC ta có: \[\widehat {BIC} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = 180^\circ \] [tổng 3 góc trong tam giác]
\[\Rightarrow \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = 180^\circ - \widehat {BIC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]
\[\widehat {{B_1}} = {1 \over 2}\widehat B\] [Vì BD là tia phân giác]
\[\widehat {{C_1}} = {1 \over 2}\widehat C\] [Vì CE là tia phân giác]
\[ \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 2\left[ {\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}} \right] = 2.60^\circ = 120^\circ \]
Trong ∆ABC ta có: \[\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \] [tổng ba góc trong tam giác]
\[ \Rightarrow \widehat A = 180^\circ - [\widehat B + \widehat C] = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]
Câu 52 trang 46 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC. Các tia phân giác các góc A và C cắt nhau ở I. Các đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K. Chứng minh rằng ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Giải
Kẻ \[IH \bot AB,IJ \bot BC,IG \bot AC\],
\[KD \bot AB,KE \bot AC,KF \bot BC\]
I nằm trên tia phân giác của \[\widehat {BAC}\]
\[ \Rightarrow \] IH = IG [tính chất tia phân giác]
I nằm trên tia phân giác của \[\widehat {BCA}\]
\[ \Rightarrow \] IG = IJ [tính chất tia phân giác]
Suy ra: IH = IJ
Nên I nằm trên tia phân giác của \[\widehat {ABC}\] [1]
K nằm trên tia phân giác của \[\widehat {DAC}\]
\[ \Rightarrow \] KD = KE [tính chất tia phân giác]
K nằm trên tia phân giác của \[\widehat {ACF}\]
\[ \Rightarrow \] KE = KF [tính chất tia phân giác]
Suy ra: KD = KF => K nằm trên tia phân giác của \[\widehat {ABC}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: B, I, K thẳng hàng
Câu 53 trang 46 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC vuông tại A. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến AB và AC.
a] Chứng minh rằng AD = AE.
b] Tính các dộ dài AD, AE biết rằng AB = 6cm, AC = 8cm.
Giải
a] I là giao điểm phân giác trong của \[\widehat B\] và \[\widehat C\] nên AI là tia phân giác của Â.
\[ \Rightarrow \] ID = IE [tính chất tia phân giác] [1]
∆ADI vuông tại D có \[\widehat {DAI} = 45^\circ \]
Nên ∆ADI vuông cân tại D.
\[ \Rightarrow \] ID = DA [2]
∆AEI vuông tại E có \[\widehat {E{\rm{A}}I} = 45^\circ \]
Nên ∆ AEI vuông cân tại E
\[ \Rightarrow \] IE = AE [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: AD = AE
b] Trong tam giác vuông ABC có Â=90°
Theo định lý Pitago ta có:
\[\eqalign{ & B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \cr
& B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 36 + 64 = 100 \cr} \]
\[ \Rightarrow \] BC = 10 [cm]
Kẻ \[IF \bot BC\]
Xét hai tam giác vuông IDB và IFB:
\[\eqalign{ & \widehat {IDB} = \widehat {IFB} = 90^\circ \cr
& \widehat {DBI} = \widehat {FBI}\left[ {gt} \right] \cr} \]
Cạnh huyền BI chung
Do đó: ∆IDB = ∆IFB [cạnh huyền, góc nhọn]
\[ \Rightarrow \] DB = FB [4]
Xét hai tam giác vuông IEC và IFC:
\[\eqalign{ & \widehat {IEC} = \widehat {IFC} = 90^\circ \cr
& \widehat {ECI} = \widehat {FCI}\left[ {gt} \right] \cr} \]
Cạnh huyền CI chung
Do đó: ∆IEC = ∆IFC [cạnh huyền, góc nhọn]
\[ \Rightarrow \] CE = CF [5]
AD + AE = AB – DB + AC – CE
\[ \Rightarrow \] AD + AE = AB + AC – [DB + CF] [6]
Từ [4], [5] và [6] suy ra:
AD + AE = AB + AC – [FB + FC] = AB + AC – BC
AD + AE = 6 + 8 – 10 = 4 [cm]
Mà AD = AE [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow \] AD = AE = 4: 2 = 2 [cm]
Giaibaitap.me
Page 25
Câu 6.1 trang 47 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC. Trên tia phân giác của góc B, lấy điểm O nằm trong tam giác ABC sao cho O cách đều hai cạnh AB, AC. Khẳng định nào sau đây sai?
[A] Điểm O nằm trên tia phân giác của góc A.
[B] Điểm O không nằm trên tia phân giác của góc C.
[C] Điểm O cách đều AB, BC.
[D] Điểm O cách đều AB, AC, BC.
Giải
Điểm O cách đều AB, AC nên O thuộc tia phân giác của góc A. Mặt khác, O thuộc tia phân giác của góc B nên O là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC. Vậy [B] sai còn [A], [C], [D] đúng.
Đáp số: [B] Điểm O không nằm trên tia phân giác của góc C.
Câu 6.2 trang 47 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC có \[\widehat A = \widehat B + \widehat C\]. Hai đường phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Khi đó BOC bằng:
[A] 85° ; [B] 90° ;
[C] 135° ; [D] 150°
Giải
Tam giác ABC có \[\widehat A = \widehat B + \widehat C\] vuông tại A ; AO, CO lần lượt là tia phân giác của \[\widehat A\] và \[\widehat C\] nên BO là tia phân giác của \[\widehat B\]. Ta có \[\widehat {OBC} + \widehat {COB} = {1 \over 2}\left[ {\widehat B + \widehat C} \right] = 45^\circ \] nên \[\widehat {BOC} = 135^\circ \]
Chọn [C] 135°.
Câu 6.3 trang 47 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng EF = BE + CF.
Giải
Vì điểm I cách đều ba cạnh của tam giác ABC và nằm trong tam giác nên I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC, tức là BI, CI lần lượt là tia phân giác của góc N và góc C. Do EF // BC nên \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{I_1}}\][so le trong], suy ra \[\widehat {{I_2}} = \widehat {{B_2}}\].
Vậy tam giác EBI cân tại E, tức là EI = EB.
Tương tự ta có FI = FC
Vậy EF = EI + IF = BE = CF.
Câu 6.4 trang 47 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Hai đường phân giác \[{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}\] và \[B{B_1}\] của tam giác ABC cắt nhau tại M. Hãy tìm các góc ACM, BCM nếu
\[{\rm{a}}]\widehat {AMB} = 136^\circ \]
\[b]\widehat {AMB = }111^\circ \]
Giải
Do ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm nên CM là tia phân giác của góc C.
a] \[{1 \over 2}\left[ {\widehat A + \widehat B} \right] = \widehat {MAB} + \widehat {MBA} = 180 - \widehat {AMB}\]
\[ = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ \]
Suy ra \[\widehat A + \widehat B = 2.44^\circ = 88^\circ \]
\[\widehat C = 180^\circ - 88^\circ = 92^\circ \]
Vậy \[\widehat {ACM} = \widehat {BCM} = 92^\circ :2^\circ = 46^\circ \]
b] Ta có \[{1 \over 2}\left[ {\widehat A + \widehat B} \right] = 180^\circ - 111^\circ = 69^\circ \]. Suy ra \[\widehat A + \widehat B = 138^\circ \]
Suy ra \[\widehat C = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ \]. Vậy \[\widehat {ACM} = \widehat {BCM} = 21^\circ \].
Giaibaitap.me
Page 26
Câu 54 trang 47 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC chung đáy BC. Chứng minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Giải
∆ABC cân tại A => AB = AC
Nên A thuộc đường trung trực của BC [1]
∆DBC cân tại D => DB = DC
Nên D thuộc đường trung trực của BC [2]
∆EBC cân tại E => EB = EC
Nên E thuộc đường trung trực của BC [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: A, D, E thẳng hàng.
Câu 55 trang 47 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho hai điểm D, E nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng ∆BDE = ∆CDE.
Giải
D thuộc đường trung trực của BC
\[ \Rightarrow \] DB = DC [tính chất đường trung trực]
E thuộc đường trung trực của BC
\[ \Rightarrow \] EB = EC [tính chất đường trung trực]
Xét ∆BDE = ∆CDE:
DB = DC [Chứng minh trên]
DE cạnh chung
EB = EC [chứng minh trên]
Do đó: ∆BDE = ∆CDE [c.c.c]
Câu 56 trang 47 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho đường thẳng d và hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ d. Tìm một điểm C nằm trên d sao cho C cách đều A và B.
Giải
a] Nếu AB không vuông góc với d.
- Điểm C cách đều hai điểm A và B nên điểm C nằm trên đường trung trực của AB
- Điểm C ∈ d.
Vậy C là giao điểm của đường trung trực của AB và đường thẳng d.
Vậy dừng đường thẳng m là đường trung trực của đoạn thẳng AB cắt đường thẳng d tại C. Điểm C là điểm cần tìm.
b] Nếu \[AB \bot d\] thì đường trung trực của AB song song với đường thẳng d nên không tồn tại điểm C.
Câu 57 trang 47 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Đường trung trực d của đoạn thẳng AB chia mặt phẳng thành hai phần I và II như hình sau. Cho điểm M thuộc phần I và điểm N thuộc phần II. Chứng minh rằng:
a] MA < MB
b] NA > NB
Giải
a] Nối MA, MB. Gọi C là giao điểm của MB với đường thẳng d, nối CA.
Ta có: MB = MC + CB
Mà CA = CB [tính chất đường trung trực]
Suy ra: MB = MC + CA [1]
Trong ∆ MAC ta có:
MA < MC + CA [bất đẳng thức tam giác] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: MA < MB
b] Nối NA, NB. Gọi D là giao điểm của NA với đường thẳng d, nối DB.
Ta có: NA = ND + DB
Mà: DA = DB [tính chất đường trung trực]
Suy ra: NA = ND + DB [3]
Trong ∆NDB ta có:
NB < ND + DB [bất đẳng thức tam giác] [4]
Từ [3] và [4] suy ra: NA > NB
Giaibaitap.me