Bước 1:Tại trang tài liệu thuvienmienphi bạn muốn tải, click vào nút Download màu xanh lá cây ở phía trên. Bước 2: Tại liên kết tải về, bạn chọn liên kết để tải File về máy tính. Tại đây sẽ có lựa chọn tải File được lưu trên thuvienmienphi Bước 3: Một thông báo xuất hiện ở phía cuối trình duyệt, hỏi bạn muốn lưu . - Nếu click vào Save, file sẽ được lưu về máy [Quá trình tải file nhanh hay chậm phụ thuộc vào đường truyền internet, dung lượng file bạn muốn tải]
Có nhiều phần mềm hỗ trợ việc download file về máy tính với tốc độ tải file nhanh như: Internet Download Manager [IDM], Free Download Manager, ... Tùy vào sở thích của từng người mà người dùng chọn lựa phần mềm hỗ trợ download cho máy tính của mình
HÌNH ẢNH DEMO
Chỉ xem 5 trang đầu, hãy download Miễn Phí về để xem toàn bộ
Nguồn: thuvienmienphi
6 Đánh giá
Tài liệu rất tốt [4]
Tài liệu tốt [1]
Tài liệu rất hay [1]
Tài liệu hay [0]
Bình thường [0]
anhthi
1/26/2021 11:21:36 AM
tài liệu rất hay, rất tốt, giúp ích cho em rất nhiều
cảm ơn ạ
duychun123
10/30/2021 8:47:01 PM
tai lieu rat hay co ich cho hoc sinh nhieu
HaitaQ
12/9/2021 7:05:01 AM
Tài liệu rất hay. Em cảm ơn
ksin219
12/25/2021 7:28:49 AM
tai lieu rat hay cam on ad
thienkhiem
1/5/2022 6:25:38 PM
quaaaaassssss hay luôn nè trời ơi mọi người đừng vào nhá rác tối lắm luôn
danghoangngan
2/27/2022 6:15:48 PM
Bài viết này hanvietfoundation.org giới thiệu đến bạn đọc Lý thuyết kèm ví dụ bài tập chi tiết về Cơ sở của không gian véctơ:
1. Cơ sở của không gian véctơ
Trong không gian ${{\mathbb{R}}^{n}}$ mỗi hệ gồm $n$ véctơ $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{n}} \right\}$ độc lập tuyến tính được gọi là một cơ sở của không gian ${{\mathbb{R}}^{n}}.$Ví dụ 1: Hệ gồm hai véctơ ${{P}_{1}}=[1,2],{{P}_{2}}=[-2,1]$ là một cơ sở của không gian ${{\mathbb{R}}^{2}}$ vì ${{P}_{1}},{{P}_{2}}$ độc lập tuyến tính do không tỉ lệ.
Bạn đang xem: Bài tập không gian vecto có lời giải
Ví dụ 2: Hệ gồm ba véctơ ${{P}_{1}}=[1,0,0],{{P}_{2}}=[0,1,0],{{P}_{3}}=[0,0,1]$ là một cơ sở của không gian ${{\mathbb{R}}^{3}}$ vì ${{P}_{1}},{{P}_{2}},{{P}_{3}}$ độc lập tuyến tính.
Ví dụ 3: Hệ gồm n véctơ ${{E}_{1}}=[1,0,0,...,0],{{E}_{2}}=[0,1,0,...,0],...,{{E}_{n}}=[0,0,0,...,1]$ là một cơ sở của không gian ${{\mathbb{R}}^{n}}.$
2. Toạ độ của một véctơ đối với một cơ sở
Giả sử hệ véctơ ${{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{n}}$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{n}}.$ Khi đó mọi véctơ $X\in {{\mathbb{R}}^{n}}$ đều được biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua hệ véctơ ${{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{n}}$, tức là luôn tồn tại duy nhất $n$ số thực ${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},...,{{\alpha }_{n}}$ sao cho $X={{\alpha }_{1}}{{P}_{1}}+{{\alpha }_{2}}{{P}_{2}}+...+{{\alpha }_{n}}{{P}_{n}}.$ Bộ số $[{{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},...,{{\alpha }_{n}}]$ được gọi là toạ độ của véctơ $X$ trong cơ sở $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{n}} \right\}.$Ta đã biết rằng $[{{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},...,{{\alpha }_{n}}]$ là nghiệm của hệ tuyến tính có ma trận hệ số mở rộng $\overline{A}=\left[ {{P}_{1}}{{P}_{2}}...{{P}_{n}}X \right]$ trong đó ${{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{n}},X$ viết dưới dạng cột.Ví dụ 1: Chứng minh rằng hệ gồm 3 véctơ ${{v}_{1}}=[1,1,1],{{v}_{2}}=[1,1,2],{{v}_{3}}=[1,2,3]$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{3}}$ và tìm toạ độ của véctơ $x=[6,9,14]$ đối với cơ sở đó.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng $B=\left\{ {{v}_{1}},{{v}_{2}},{{v}_{3}} \right\}$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{3}}$ và tìm toạ độ của véctơ $v$ trong cơ sở đó:
a] ${{v}_{1}}=[2,1,1],{{v}_{2}}=[6,2,0],{{v}_{3}}=[7,0,7],v=[15,3,1].$
b] ${{v}_{1}}=[0,1,1],{{v}_{2}}=[2,3,0],{{v}_{3}}=[1,0,1],v=[2,3,0].$
c] ${{v}_{1}}=[1,2,-1],{{v}_{2}}=[2,3,0],{{v}_{3}}=[5,7,2],v=[2,-3,6].$
d] ${{v}_{1}}=[1,2,3],{{v}_{2}}=[1,3,-2],{{v}_{3}}=[2,3,-1],v=[2,-3,17].$
Ví dụ 3: Chứng minh rằng hệ gồm 4 véctơ $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},{{P}_{3}},{{P}_{4}} \right\}$ dưới đây
${{P}_{1}}=[1,2,-1,1],{{P}_{2}}=[5,9,2,-3],{{P}_{3}}=[3,5,5,-1],{{P}_{4}}=[4,7,3,-3]$
là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{4}}$ và tìm toạ độ của véctơ $X=[2,2,-3,0]$ trong cơ sở đó.
Ví dụ 4: Tìm $m$ để hệ gồm 3 véctơ ${{P}_{1}}=[2,1,1],{{P}_{2}}=[6,2,0],{{P}_{3}}=[7,0,m]$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{3}}.$
Ví dụ 5: Tìm $m$ để hệ gồm 4 véctơ ${{P}_{1}}=[1,2,-1,1],{{P}_{2}}=[5,9,2,-3],{{P}_{3}}=[3,5,5,-1],{{P}_{4}}=[4,7,3,m]$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{4}}.$
Ví dụ 6: Cho cho ba véctơ ${{X}_{1}}=[3,-2,4,1],{{X}_{2}}=[-2,1,3,-2],{{X}_{3}}=[-3,-1,k,2].$ Tìm một véctơ ${{X}_{4}}\in {{\mathbb{R}}^{4}}$ để hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}} \right\}$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{4}}.$
Giải. Gọi ${{X}_{4}}=[a,b,c,d].$ Xét ma trận A nhận các véctơ ${{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}}$ làm véctơ dòng, có $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 2}&4&1\\ { - 2}&1&3&{ - 2}\\ { - 3}&{ - 1}&k&2\\ a&b&c&d \end{array}} \right].$
Ta cần tìm $[a,b,c,d]$ sao cho $\det [A]\ne 0.$ Khai triển theo dòng 4 có:
$\begin{array}{c} \det [A] = a{A_{41}} + b{A_{42}} + c{A_{43}} + d{A_{44}}\\ = a{A_{41}} + b{A_{42}} + c{[ - 1]^{4 + 3}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 2}&1\\ { - 2}&1&{ - 2}\\ { - 3}&{ - 1}&2 \end{array}} \right| + d{A_{44}}\\ = a{A_{41}} + b{A_{42}} + 15c + d{A_{44}}. \end{array}$
Vậy ta chỉ cần chọn $a=b=d=0,c\ne 0$ khi đó $\det [A]=15c\ne 0.$ Vậy ${{X}_{4}}=[0,0,c,0],c\ne 0.$
Ví dụ 7: Cho ba véctơ ${{X}_{1}}=[2,k,4,-1],{{X}_{2}}=[-3,1,2,k],{{X}_{3}}=[6,-1,-4,-2].$ Tìm một véctơ ${{X}_{4}}\in {{\mathbb{R}}^{4}}$ để hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}} \right\}$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{4}}.$
Giải. Gọi ${{X}_{4}}=[a,b,c,d].$ Xét ma trận A nhận các véctơ ${{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}}$ làm véctơ dòng, có $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&k&4&{ - 1}\\ { - 3}&1&2&k\\ 6&{ - 1}&{ - 4}&{ - 2}\\ a&b&c&d \end{array}} \right].$ Ta cần tìm $[a,b,c,d]$ sao cho $\det [A]\ne 0.$ Khai triển theo dòng 4 có:
$\begin{array}{c} \det [A] = a{A_{41}} + b{A_{42}} + c{A_{43}} + d{A_{44}}\\ = a{A_{41}} + b{A_{42}} + c{A_{43}} + d{[ - 1]^{4 + 4}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&k&4\\ { - 3}&1&2\\ 6&{ - 1}&{ - 4} \end{array}} \right|\\ = a{A_{41}} + b{A_{42}} + c{A_{43}} - 16d. \end{array}$
Vậy ta chỉ cần chọn $a=b=c=0,d\ne 0$ khi đó $\det [A]=-16d\ne 0.$ Vậy ${{X}_{4}}=[0,0,0,d],d\ne 0.$
3. Cơ sở và số chiều của không gian con
Cho L là một không gian con của ${{\mathbb{R}}^{3}}.$ Hệ véctơ $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{k}} \right\}$ nằm trong L được gọi là một cơ sở của L nếu thoả mãn đồng thời hai điều kiện:
Hệ $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{k}} \right\}$ độc lập tuyến tính;Mọi véctơ $X\in L$ đều được biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{k}} \right\}.$Số véctơ của cơ sở của L được gọi là số chiều của L và được kí hiệu là dimL.
Ví dụ 1: Cho không gian con $L=\left\{ X=[{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}]\in {{\mathbb{R}}^{3}}|{{x}_{2}}=2{{x}_{1}} \right\}.$ Chứng minh rằng hệ gồm hai véc tơ ${{P}_{1}}=[1,2,0],{{P}_{2}}=[1,2,1]$ là một cơ sở của L.
Ví dụ 2: Cho không gian con $L=\left\{ X=[{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}]\in {{\mathbb{R}}^{3}}|{{x}_{1}}+{{x}_{3}}=0 \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.
Ví dụ 4: Cho không gian con $L=\left\{ X=[{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}]\in {{\mathbb{R}}^{3}}|a{{x}_{1}}+b{{x}_{2}}+c{{x}_{3}}=0 \right\}[a,b,c\in \mathbb{R};a\ne 0].$ Chứng minh rằng hệ gồm hai véctơ ${{P}_{1}}=\left[ -\frac{b}{a},1,0 \right],{{P}_{2}}=\left[ -\frac{c}{a},0,1 \right]$ là một cơ sở của L.
Giải. Có $a{{x}_{1}}+b{{x}_{2}}+c{{x}_{3}}=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}=-\frac{b}{a}{{x}_{2}}-\frac{c}{a}{{x}_{3}}[a\ne 0].$
Vậy $X=\left[ -\frac{b}{a}{{x}_{2}}-\frac{c}{a}{{x}_{3}},{{x}_{2}},{{x}_{3}} \right]=\left[ -\frac{b}{a}{{x}_{2}},{{x}_{2}},0 \right]+\left[ -\frac{c}{a}{{x}_{3}},0,{{x}_{3}} \right]={{x}_{2}}\left[ -\frac{b}{a},1,0 \right]+{{x}_{3}}\left[ -\frac{c}{a},0,1 \right].$
Rõ ràng ${{P}_{1}}=\left[ -\frac{b}{a},1,0 \right],{{P}_{2}}=\left[ -\frac{c}{a},0,1 \right]$ độc lập tuyến tính vì không tỉ lệ nên hệ gồm hai véctơ ${{P}_{1}}=\left[ -\frac{b}{a},1,0 \right],{{P}_{2}}=\left[ -\frac{c}{a},0,1 \right]$ là một cơ sở của L.
Ví dụ 8: Cho không gian con $L=\left\{ X=[{{x}_{1}},{{x}_{2}},4{{x}_{1}}-5{{x}_{2}}]\in {{\mathbb{R}}^{3}} \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.
Ví dụ 9: Cho không gian con $L=\left\{ X=[{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}]\in {{\mathbb{R}}^{4}}|2{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-{{x}_{4}}=0 \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.
Ví dụ 10: Cho không gian con $L=\left\{ X=[a+2b-3c,2a-b-c,a+b-2c]\in {{\mathbb{R}}^{3}} \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.
Ví dụ 11: Cho không gian con $L=\left\{ X=[a,b,c,d]\in {{\mathbb{R}}^{4}}|2a+b=c-3d \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.
Ví dụ 12: Cho không gian con $L=\left\{ X=[{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}]\in {{\mathbb{R}}^{4}}|{{x}_{1}}-3{{x}_{3}}+{{x}_{4}}=0,4{{x}_{1}}-{{x}_{2}}+2{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0 \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.
Ví dụ 13: Cho không gian con $L=\left\{ X=[4{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+3,{{x}_{2}},{{x}_{3}},-3{{x}_{2}}+{{x}_{3}}]\in {{\mathbb{R}}^{4}} \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.
Ví dụ 14: Cho không gian con $L=\left\{ X=[{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}]\in {{\mathbb{R}}^{4}}|a{{x}_{1}}+b{{x}_{2}}+c{{x}_{3}}+d{{x}_{4}}=0 \right\}[a,b,c,d\in \mathbb{R};a\ne 0].$ Chứng minh rằng hệ gồm ba véctơ ${{P}_{1}}=\left[ -\frac{b}{a},1,0,0 \right],{{P}_{2}}=\left[ -\frac{c}{a},0,1,0 \right],{{P}_{3}}=\left[ -\frac{d}{a},0,0,1 \right]$ là một cơ sở của L.
Giải. Có $a{{x}_{1}}+b{{x}_{2}}+c{{x}_{3}}+d{{x}_{4}}=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}=-\frac{b}{a}{{x}_{2}}-\frac{c}{a}{{x}_{3}}-\frac{d}{a}{{x}_{4}}[a\ne 0].$Vậy
$\begin{array}{c} X = \left[ { - \frac{b}{a}{x_2} - \frac{c}{a}{x_3} - \frac{d}{a}{x_4},{x_2},{x_3},{x_4}} \right] = \left[ { - \frac{b}{a}{x_2},{x_2},0,0} \right] + \left[ { - \frac{c}{a}{x_3},0,{x_3},0} \right] + \left[ { - \frac{d}{a}{x_4},0,0,{x_4}} \right]\\ = {x_2}\left[ { - \frac{b}{a},1,0,0} \right] + {x_3}\left[ { - \frac{c}{a},0,1,0} \right] + {x_4}\left[ { - \frac{d}{a},0,0,1} \right]. \end{array}$
Rõ ràng ${{P}_{1}}=\left[ -\frac{b}{a},1,0,0 \right],{{P}_{2}}=\left[ -\frac{c}{a},0,1,0 \right],{{P}_{3}}=\left[ -\frac{d}{a},0,0,1 \right]$ độc lập tuyến tính nên hệ gồm bavéctơ ${{P}_{1}}=\left[ -\frac{b}{a},1,0,0 \right],{{P}_{2}}=\left[ -\frac{c}{a},0,1,0 \right],{{P}_{3}}=\left[ -\frac{d}{a},0,0,1 \right]$ là một cơ sở của L.
Hiện tại hanvietfoundation.org xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:
Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.
Xem thêm: Tâm Đối Xứng Của Đồ Thị Hàm Số, Tìm Tọa Độ Y = X^3 +3X^2
Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:
- ĐH Kinh Tế Quốc Dân
- ĐH Ngoại Thương
- ĐH Thương Mại
- Học viện Tài Chính
- Học viện ngân hàng
- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội
và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả nước...