Cực trị của hàm số là kiến thức cơ bản bạn cần phải nắm rõ khi học về chương hàm số. Xác định được cực trị đồng nghĩa bạn có thêm một phần cơ hội giải đúng bài tập toán ấy. Vậy cực trị của hàm số là gì? Làm thế nào để tìm cực trị của hàm số? Các bạn hãy cùng lessonopoly tìm hiểu thông qua bài viết sau đây nhé!
Cực trị hàm số là một mảng kiến thức khá quan trọng của hàm số. Bao gồm nhiều dạng bài tập và điểm lý thuyết khó được đưa vào thường xuyên trong các đề thi toán học.
Cực trị của hàm số là điểm có giá trị lớn nhất so với xung quanh và giá trị nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm số có thể đạt được. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và khoảng cách nhỏ nhất từ điểm này sang điểm nọ. Nếu trên hệ tọa độ Descartes giá trị cực đại là điểm thuộc đỉnh cao nhất trên trục tọa độ và giá trị cực tiểu là điểm thuộc đáy “sâu nhất” của hệ tọa độ.
Giá trị cực đại không phải giá trị lớn nhất, giá trị cực tiểu không phải giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Cực trị hàm một biến
Nếu đạo hàm cấp một của hàm f[x] tại x=x0 là f ‘[x0]=0 thì f[x0] là điểm dừng [hay điểm ổn định][stationary value] của hàm f[x][1].
Nếu đạo hàm cấp n của hàm f[x] tại x=x0 là f[n][x0]≠0 thì điểm dừng f[x0] là[2]:
Cực đại địa phương nếu n là số chẵn và f[n][x0]0
Điểm uốn nếu n là số lẻ.
Hãy cùng tham khảo video sau đây để hiểu hơn về cách tìm cực trị của hàm số các bạn nhé!
Định lí 1
Giả sử hàm số y=f[x] có đạo hàm tại điểm x0}, Khi đó, nếu y=f[x] đạt cực trị tại x0 thì f'[x0]]=0. Điều ngược lại không đúng
Định lí 2
Giả sử hàm số y=f[x] liên tục trên khoảng [a,b] chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng [a;x0] và [x0; b][Có thể không có đạo hàm tại x0 Khi đó :
– Nếu {f}'[x] đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0
– Nếu {f}'[x] đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực đại tại x0
Định lí 3
Giả sử hàm số y=f[x]có đạo hàm trên khoảng [a,b] chứa điểm x0, [Phải có đạo hàm tại x0] f'[x0]=0 và f”[x0] khác 0. Khi đó:
– Nếu f”[x0]0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0.
Chú ý
Nếu hàm sốy=f[x] đạt cực đại [cực tiểu] tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại [điểm cực tiểu] của hàm số; f[x0] được gọi là giá trị cực đại [giá trị cực tiểu] của hàm số, kí hiệu là fCÑ [fCT], còn điểm M[x0;f[x0]] được gọi là điểm cực đại [điểm cực tiểu] của đồ thị hàm số.
Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại [giá trị cực tiểu] còn gọi là cực đại [cực tiểu] và được gọi chung là cực trị của hàm số.
Quy tắc 1:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính f'[x]. Tìm các điểm tại đó f'[x]bằng 0 hoặc f'[x] không xác định.
Bước 3. Lập bảng biến thiên.
Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính f'[x]. Giải phương trình f'[x]và ký hiệu xi [i=1,2,3,…]là các nghiệm của nó.
Bước 3. Tính f”[x] và f”[xi ] .
Bước 4. Dựa vào dấu của f”[xi ]suy ra tính chất cực trị của điểm xi.
Xem thêm: Tổng hợp về bảng đạo hàm cơ bản và đầy đủ nhất
Xem thêm: Tổng hợp lý thuyết Hệ thức lượng trong tam giác vuông lớp 9, kèm bài tập vận dụng
Định lý: Giả sử hàm số có đạo hàm cấp 1 trên khoảng [a;b] chứa điểm, f[x0] = 0 và f có đạo hàm cấp 2 khác 0 tại điểm x0.
- a] Nếu f[x0] < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0.
- b] Nếu f[x0] < 0 hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.
Bài 1. Tìm cực trị của hàm số y = -x^3 + 3x^2 – 4
Hướng dẫn giải:
Tập xác định D = R.
Tính y’= -3x^2 + 6x.
Cho y’= 0⇔-3x^2 + 6x = 0
=> x = 0
x = 2
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0,y = -4 và hàm số đạt cực đại tại x = 2,y = 0.
Bài 2. Tìm cực trị của hàm số y = -x^3 + 3x^3 – 3x + 2
Hướng dẫn giải:
Tập xác định D = R.
Tính y’ = -3x^2 + 6x-3.
Cho y’= 0 => -3x^2+ 6x-3 = 0 => x = 1.
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đã cho không có cực trị.
Bài 3. Gọi A,B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2x^3 – 3x^2 – 12x + 1. Tìm tọa độ A,B và phương trình đường thẳng qua hai điểm đó.
Tập xác định D = R.
Tính y’ = 6x^2 – 6x – 12.
Cho y’= 0
=> x = -1
x = 2
Bảng biến thiên
Suy ra tọa độ hai điểm cực trị là A[-1;8], B[2;-19].
Vậy phương trình đường thẳng AB là 9x + y + 1 = 0.
Bài viết trên đã gửi đến bạn những kiến thức liên quan đến cách tìm cực trị của hàm số. Hy vọng bài viết trên có thể giúp ích được cho bạn. Xác định cực trị của hàm số là điều vô cùng quan trọng và luôn có mặt trong các đề thi. Các bạn hãy lưu ý những kiến thức trên để giải đề thật tốt nhé!
Với Cách tìm cực trị của hàm hợp cực hay, có lời giải Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tìm cực trị của hàm hợp từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.
a. Kiến thức cần nhớ
- Đạo hàm của hàm hợp:
[f[u[x]]]' = u'[x].f'[u[x]]
- Tính chất đổi dấu của biểu thức:
Gọi x = α là một nghiệm của phương trình: f[x] = 0. Khi đó
+] Nếu x = α là nghiệm bội bậc chẳn [[x - α]2,[x - α]4,...] thì hàm số y = f[x] không đổi dấu khi đi qua α.
+] Nếu x = α là nghiệm đơn hoặc nghiệm bội bậc lẻ [[x - α],[x - α]3,...] thì hàm số y = f[x] đổi dấu khi đi qua α.
b. Phương pháp
Đề tìm cực trị của hàm số y = f[u[x]] ta làm như sau:
- Bước 1: Tính [f[u[x]]]'
- Bước 2: Giải phương trình [f[u[x]]]' = 0 dựa vào đồ thị hay bảng biến thiên của hàm số y = f[x]
- Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số
- Bước 4: Kết luận về các điểm cực trị
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f[x]. Đồ thị hàm số y = f'[x] như hình bên.
Tìm số điểm cực trị của hàm số g[x] = f[x2 - 3].
A. 2.
B. 3
C. 4.
D. 5.
Lời giải
Chọn B
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên R và có bảng xét dấu của y = f'[x] như sau
Hỏi hàm số g[x] = f[x2 - 2x] có bao nhiêu điểm cực tiểu ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải
Chọn A
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có một điểm cực tiểu.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số y = f'[x] như hình vẽ sau. Số điểm cực trị của hàm số y = f[x] + 2x là:
A. 4.
B. 1.
C. 3.
D. 2.
Lời giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị ta có: Trên [-∞;-1] thì f'[x] > -2 ⇔ f'[x] + 2 > 0.
Trên [-1;x0] thì f'[x] > -2 ⇔ f'[x] + 2 > 0.
Trên [x0;+∞] thì f'[x] < -2 ⇔ f'[x] + 2 < 0.
Bảng biến thiên của hàm g[x]
Vậy hàm số g[x] = f[x] + 2x có 1 cực trị.
Bài 1: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm f'[x] trên R và đồ thị của hàm số f'[x] như hình vẽ.
Tìm số điểm cực trụ hàm số g[x] = f[x2 - 2x - 1].
A. 6
B. 5.
C. 4.
D. 3.
Lời giải:
Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có đúng ba cực trị.
Bài 2: Cho hàm số y = f[x] có đồ thị hàm số như hình bên.
Hàm số g[x] = f[-x2 + 3x] có bao nhiêu điểm cực đại?
A. 3.
B. 4
C. 5.
D. 6.
Lời giải:
Chọn C
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 5 điểm cực trị.
Bài 3: Cho hàm số y = f[x] có bảng biến thiên như sau
Tìm số điểm cực trị của hàm số g[x] = f[3 - x].
A. 2.
B. 3.
C. 5.
D. 6.
Lời giải:
Chọn B
Vậy hàm số g[x] = f[3 - x] có 3 điểm cực trị.
Bài 4: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y = f'[x] như hình vẽ bên dưới. Hỏi đồ thị hàm số g[x] = f[x] + 3x có bao nhiểu điểm cực trị ?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 7.
Lời giải:
Chọn B
Ta có g'[x] = f'[x] + 3; g'[x] = 0 ⇔ f'[x] = -3.
Suy ra số nghiệm của phương trình g'[x] = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'[x] và đường thẳng y = -3.
Dựa vào đồ thị ta suy ra
Bài 5: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên R. Đồ thị của hàm số y = f'[x] như hình vẽ.
Tìm số điểm cực trị của hàm số g[x] = 2f[x] - x2 + 2x + 2017.
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 7.
Lời giải:
Chọn B
Ta có g'[x] = 2f'[x]-2x + 2 = 2[f'[x]-[x-1]].
Dựa vào hình vẽ ta thấy đường thẳng y = x-1 cắt đồ thị hàm số y = f'[x] tại 3 điểm: [-1;-2], [1;0], [3;2].
Dựa vào đồ thị ta có
Vậy hàm số y = g[x] có 3 điểm cực trị.
Bài 6: Cho hàm số bậc bốn y = f[x]. Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm f'[x]. Hàm số
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải:
Chọn C
Bảng xét dấu
Từ đó suy ra hàm số
Bài 7: Cho hàm số f[x], bảng biến thiên của hàm số f'[x] như sau:
Số điểm cực trị của hàm số y = f[4x2 - 4x] là
A. 9.
B. 5.
C. 7.
D. 3.
Lời giải:
Chọn B
Vậy phương trình y' = 0 có 7 nghiệm bội lẻ phân biệt nên hàm số có 7 điểm cực trị.
Bài 8: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y = f'[x] như hình vẽ bên dưới.
Hàm số
A. x = -1.
B. x = 0.
C. x = 1.
D. x = 2.
Lời giải:
Chọn C
Ta có g'[x] = f'[x] - x2 + 2x - 1; g'[x] = 0 ⇔ f'[x] = [x - 1]2.
Suy ra số nghiệm của phương trình g'[x] = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'[x] và parapol [P]: y = [x-1]2.
Dựa vào đồ thị ta suy ra
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g[x] đạt cực đại tại x = 1.
Bài 9: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y = f'[x] như hình vẽ bên dưới. Hàm số g[x] = 2f[x]+x2 đạt cực tiểu tại điểm
A. x = -1.
B. x = 0.
C. x = 1.
D. x = 2.
Lời giải:
Chọn B
Ta có g'[x] = 2f'[x] + 2x; g'[x] = 0 ⇔ f'[x] = -x.
Suy ra số nghiệm của phương trình g'[x] = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'[x] và đường thẳng y = -x.
Dựa vào đồ thị ta suy ra
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g[x] đạt cực tiểu tại x = 0.
Bài 10: Cho hàm số y = f[x] có đồ thị như hình vẽ bên.
Hàm số g[x] = f[f[x]] có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3.
B. 5.
C. 4.
D. 6.
Lời giải:
Chọn C
Dựa vào đồ thị suy ra:
● Phương trình [1] có hai nghiệm x = 0 [nghiệm kép] và x = a[a > 2].
● Phương trình [2] có một nghiệm x = b[b > a].
Vậy phương trình g'[x] = 0 có nghiệm bội lẻ là x = 0, x = 2, x = a và x = b. Suy ra hàm số g[x] = f[f[x]] có 4 điểm cực trị.