Rất nhiều bạn học sinh gặp khó khăn khi viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị. Bởi vậy, bài viết hôm nay chúng tôi sẽ chia sẻ đến các bạn học sinh những kiến thức cơ bản và cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị đầy đủ, và dễ hiểu nhất.
Xem thêm:
Viết PT đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị có khó không?
Việc viết phương trình đường thẳng được các thầy cô đánh giá là rất khó và nặng. Với nội dung chương trình bị nặng, kiến thức mới nên đòi hỏi các bạn học sinh cần nắm vững kiến thức cũ, và những phương pháp làm bài tập liên quan.
Có thể nói rằng viết phương trình là kiến thức mới toanh mà các bạn học sinh cấp 3 chưa gặp bao giờ khi học ở trung học cơ sở. Khi bắt đầu học viết phương trình bạn cần trang bị và định hướng toàn bộ về đường thẳng… Từ đó, sẽ tạo nền tảng để bạn có thể tiếp tục học viết phương trình.
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị dễ hiểu
Xét hàm số: y = ax3 + bx2 + cx + d [a ≠ 0]
Hàm số này có cực trị ↔ phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân việt là x1 và x2
Ta thực hiện phép chia f[x] cho f’[x] ta thu được f[x] = Q[x].f’[x] + ax + b
Gọi [x1;y1] và [x2;y2] là những điểm cực trị ta được f’[x1] = f’[x2] = 0
Ta có
→ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là y = ax + b
Một số bài tập viết pt đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị dễ hiểu
Bài tập 1: Cho đồ thị hàm số y = 2x3 – 5mx2 + 5[m2 – 1]x – m3 có 2 điểm cực trị là A và B. Viết phương trình đường thẳng AB?
Lời giải
Ta có y’ = 6x2 – 10mx + 5m2 – m3 – 5
Thực hiện phép chia y cho y’ ta được PT đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A và B là:
AB: y = [-5m2 + 10m – 15]x – 5m2 + 5m – 5
Bài tập 2: Viết pt đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số y = -x3 + 2x2 + x – 1
Lời giải
Ta có y’ = -3x2 + 4x + 1, y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt nên hàm số luôn có 2 điểm cực trị
Thực hiện phép chia y cho y’ ta thu được y = [-1/3x + 2/9]y’ + [14/9x -7/9]
Do đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình là y = 14/9x – 7/9
Hy vọng qua bài viết trên của chúng tôi, các bạn học sinh sẽ nắm vững cách viết PT đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị đơn giản nhất. Hãy nắm vững từ kiến thức cơ bản đến nâng cao thì chắc chắn những bài tập toán về sau sẽ càng dễ hiểu và dễ làm hơn. Chúc các bạn học sinh học tập tốt và thành công nhé!
CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG QUA HAI CỰC TRỊ HÀM BẬC BA CỰC NHANH VÀ CHÍNH XÁC dayhoctoan .vn ,Đăng ngày: 2018-05-29
CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG QUA HAI CỰC TRỊ HÀM BẬC BA CỰC NHANH VÀ CHÍNH XÁC
BẰNG CASIO –DAYHOCTOAN.VN
ĐĂNG KÝ KÊNH MIỄN PHÍ ĐỂ XEM
NHIỀU HƠN NHÉ
PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
B1: TÍNH ĐẠO HÀM $y'$ và $y''$
B2: Bấm Mode 2 [chức năng số phức]
Nhập vào màn hình: $y-\dfrac{y'.y''}{18a}$
B3: Bấm CALC $i$ = và ghi kết quả.
Ví dụ: Kết quả là $a+bi$ thì đường thẳng qua hai cực trị là: $d:y=bx+a$
Ví dụ thực hành:
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai cực trị của đồ thị hàm số: $y=2x^3-3x^2+1$
Bài giải.
CÁCH 1: [TRỰC TIẾP]
Ta có: $y'=6x^2-6x=6x\left[{x-1}\right]$
$y'=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x=0\Rightarrow y=1 \\& x=1\Rightarrow y=0\end{aligned}\right.$
Suy ra hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: $A\left[{0;1}\right],B\left[{1;0}\right]$
Ta có: $\vec{{AB}}=\left[{1;-1}\right]$
$AB$ qua $A\left[{0;1}\right]$ và có VTPT $\vec{n}=\left[{1;1}\right]$ có phương trình: $1\left[{x-0}\right]+1\left[{y-1}\right]=0\Leftrightarrow x+y-1=0\Leftrightarrow y=-x+1$
CÁCH 2: Phương pháp:
Lấy $y$ chia cho $y'$ ta có: $y=y'.\left[{Ax+B}\right]+Cx+D$
Khi đó đường thẳng qua hai cực trị là: $y=Cx+D$
Bài giải:
Lấy $y$ chia cho $y',$ ta có: $y=y'.\left[{\dfrac13x-\dfrac16}\right]-x+1$
Khi đó đường thẳng qua hai cực trị là: $d:y=-x+1$
CÁCH 3: SỬ DỤNG CASIO THEO CÁC BƯỚC TRÊN.
B1: TÍNH ĐẠO HÀM $y'$ và $y''$
B2: Bấm Mode 2 [chức năng số phức]
Nhập vào màn hình: $y-\dfrac{y'.y''}{18a}$
B3: Bấm CALC $i$ = và ghi kết quả.
Ví dụ: Kết quả là $a+bi$ thì đường thẳng qua hai cực trị là: $d:y=bx+a$
Bấm Mode 2 [chức năng số phức] Cách này dùng kiểm tra kết quả và hỗ trợ làm nhanh trắc nghiệm nhé.
Ta có: $y'=6x^2-6x;y''=12x-6$
Nhập vào màn hình máy tính: $y-\dfrac{y'.y''}{18a}$ [tức là nhập: $2X^3-3X^2+1-\dfrac{\left[{6X^2-6X}\right]\left[{12X-6}\right]}{18.2}$ ]
Bấm CALC: $i=$
Ta có kết quả: $1-i$
Vậy đường thẳng qua hai cực trị là: $d:y=-x+1$
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng qua hai cực trị của đồ thị hàm số: $y=-x^3+3x+2$
Bài giải.
Cách 1: $y'=-3x^2+3x=-3x\left[{x-1}\right]$
$y'=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x=0\Rightarrow y=2 \\& x=1\Rightarrow y=4\end{aligned}\right.$
Suy ra tọa độ hai điểm cực trị: $A\left[{0;2}\right],B\left[{1;4}\right]$
$AB$đi qua điểm $A\left[{0;2}\right]$ và có VTCP$\vec{{AB}}=\left[{1;2}\right]$ nên có VTPT $\vec{n}=\left[{2;-1}\right]$
Phương trình $AB:$ $2\left[{x-0}\right]-1\left[{y-2}\right]=0\Leftrightarrow 2x-y+2=0$ $\Leftrightarrow y=2x+2$
Cách 2.
Lấy $y$ chia cho $y',$ ta có: $y=y'.\dfrac{x}{3}+2x+2$
Vậy đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: $d:y=2x+2$
CÁCH 3. [CASIO]
$y=-x^3+3x+2$ \\$y'=-3x^2+3;$ \\$y''=-6x$
Nên đường thẳng qua hai điểm cực trị: $y=2x+2$
Ví dụ 3: Tìm $m$ để đường thẳng $d:y=\left[{2m-1}\right]x+3+m$ vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+1.$
A.$m=\dfrac32$ B. $m=\dfrac34$ C.$m=-\dfrac12$ D.$m=\dfrac14$
$y'=3x^2-6x;$\\$y''=6x-6$
Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số: $\Delta :y=-2x+1$
$d:y=\left[{2m-1}\right]x+3+m$ vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+1$
$\Leftrightarrow k_d.k_\Delta =-1$ $\Leftrightarrow -2\left[{2m-1}\right]=-1$ $\Leftrightarrow -4m+2=-1\Leftrightarrow m=\dfrac34$
CHỌN B
Trong các đề thi đại học, một phần không thể thiếu là các bài toán về cực trị của hàm số. Một dạng toán thường hay gặp là tìm giá trị tham số để hàm số có cực trị và cực trị thỏa tính chất P nào đó. Bài toán viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba đóng vai trò quan trọng và có nhiều dạng toán cần sử dụng đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Trong một bài viết nhỏ này, chúng ta sẽ bàn về cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba [nếu có ] và các ứng dụng của nó.
I – ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ BẬC BA CÓ CỰC TRỊ
Xét hàm số có
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua hai nghiệm đó.
Khi đó, nếu là điểm cực trị thì giá trị cực trị được tính như sau:
II – ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ
1. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
Giả sử hàm số bậc ba có hai điểm cực trị là . Khi đó, thực hiện phép chia cho ta được :
Do đó, ta có:
Suy ra, các điểm nằm trên đường thẳng
2. Áp dụng
a] Có thể sử dụng phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu để tìm cực trị khi biết điểm cực trị của hàm số.
b] Vận dụng hệ thức Vi-et và phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu để giải quyết bài toán tìm giá trị tham số để hàm số có CĐ, CT thỏa tính chất P.
III- MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số sau
a]
b]
Giải:
a] Ta có:
có hai nghiệm phân biệt. Thực hiện phép chia cho ta được
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là .
b] Ta có có hai nghiệm phân biệt nên hàm số có hai điểm cực trị. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:
Ví dụ 2: Cho hàm số [ m là tham số ]
a] Tìm để hàm số có cực đại cực tiểu.
b] Với như trên hãy viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Giải:
a] Ta có:
Vậy hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi
b] Thực hiện phép chia y cho y’, ta được :
Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:
Ví dụ 3: Cho hàm số [1]
Tìm để hàm số [1] có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng
Giải:
Ta có:
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi
[1]
Thực hiện phép chia cho ta có phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là:
.
Để đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng ta phải có:
Kết hợp với điều kiện [1], ta có giá trị cần tìm là : ;
Ví dụ 4: Cho hàm số . Tìm để đường thẳng đi qua cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng .
Giải:
Ta có:
Hàm số có cực đại, cực tiểu
Thực hiện phép chia cho ta có phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là:
Để đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm sô vuông góc với đường thẳng , ta phải có:
thỏa điều kiện [*].