Chinh hop chap 2 cua 8 bằng bao nhiêu

Công thức tính tổ hợp là kiến thức quan trọng của toán lớp 11. Mời các bạn cùng tìm hiểu về những kiến thức toán học này trong bài viết dưới đây.

Công thức tổ hợp

Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k, (1 ≤ k ≤ n). Mỗi tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A.

Công thức tổ hợp chập k của n

!k!%7D%3D%5Cfrac%7BA_n%5Ek%7D%7Bk!%7D)

Công thức tính chất của tổ hợp:

)

)

Ví dụ về tính tổ hợp

ví dụ 1:

Một tổ gồm 12 học sinh. Có bao nhiêu cách:

1. Chọn ra 2 bạn đại diện cho nhóm

2. Chọn ra 2 bạn, rồi phân công chứ vụ tổ trưởng và tổ phó

3. Chia tổ thành 2 nhóm, trong đó tổ trưởng và tổ phó khác nhóm.

Lời giải

1. Chọn 2 bạn từ 12 bạn là tổ hợp chập 2 của 12: C122 = 66 cách.

2. Chọn 2 bạn rồi phân công chức vị là chỉnh hợp chập 2 của 12: A122 = 132 cách.

3. Chia tổ thành 2 nhóm tức mỗi nhóm có 6 bạn

Trong đó tổ trưởng và tổ phó khác nhóm

Chọn 5 bạn vào cùng nhóm với tổ trưởng trong 10 bạn còn lại: C105 = 252 cách.

Chọn 5 bạn vào cùng nhóm với tổ phó trong 5 bạn còn lại: C55 = 1 cách.

Vậy có 252.1 = 252 cách.

Công thức chỉnh hợp

Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k, (1 ≤ k ≤ n). Khi lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp n chập k của A).

Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là:

Công thức chỉnh hợp: !%7D)

• Một số quy ước: 0! = 1, An0 = 1, Ann = n!
• Đặc điểm: Đây là sắp xếp có thứ tự và số phần tử được sắp xếp là k: 0 ≤ k ≤ n.

Ví dụ:

Từ các chữ số từ 0 đến 9. Có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên sao cho:

1. Số có 6 chữ số khác nhau

2. Số có 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 10

3. Số lẻ có 6 chữ số khác nhau.

Lời giải

1. Lập số có 6 chữ số khác nhau

Chọn chữ số đầu tiên từ các số từ 1 đến 9: có 9 cách chọn

Các chữ số còn lại là chỉnh hợp chập 5 của 9 số còn lại (khác chữ số đầu tiên) có A95

Vậy có 9A95 = 136080 số.

2. Số có 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 10

Chọn chữ số hàng đơn vị: có 1 cách chọn là chữ số 0

Chọn các chữ số còn lại là chỉnh hợp chập 5 của 9 số còn lại (khác chữ số 0) có A95

Vậy có A95 = 15120 số.

3. Gọi số
   là số lẻ có 6 chữ số khác nhau được lập từ chữ số 0 đến 9

Vì

là số lẻ nên f ∈{1; 3; 5; 7; 9}

Chọn f: có 5 cách chọn

Chọn a từ các chữ số {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}\{f}: có 8 cách chọn

Chọn b, c, d, e là chỉnh hợp chập 4 của 8 chữ số còn lại (khác f và a): có A84

Vậy có 5.8A84 = 67200 số.

Hoán vị

1. Định nghĩa:

- Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử.

- Lưu ý: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.

2. Số các hoán vị:

- Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử.

Công thức hoán vị:

Pn = n(n – 1)…2.1 = n!

Quy ước: 0! = 1; 1! = 1.

Ví dụ: Xếp 10 bạn, trong đó có 5 bạn nam và 5 bạn nữ, vào một ghế dài. Có bao nhiêu cách xếp sao cho:

1. Xếp bất kì

2. Các bạn nam ngồi cạnh nhau

3. Các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ với nhau.

Lời giải

1. Số cách xếp 10 bạn vào một ghế dài là một hoán vị của 10: 10!

2. Xếp các bạn nam ngồi cạnh nhau. Ta ghép 5 bạn nam vào 1 “bó”: có 5! cách xếp bên trong “bó”

Rồi xếp 5 bạn nữ cùng 1 “bó” vào ghế dài có: 6! cách xếp.

Vậy có 5! . 6! = 86400 cách xếp sao cho các bạn nam ngồi cạnh nhau.

3. Giả sử xếp 10 bạn vào ghế dài có đánh số thứ tự từ 1 đến 10.

Để xếp xen kẽ các bạn nam và nữ

+ Trường hợp 1: Các bạn nam ngồi vị trí lẻ, các bạn nữ ngồi vị trí chẵn

Số cách xếp các bạn nam: 5!

Số cách xếp các bạn nữ: 5!

Do đó có 5! . 5! cách xếp.

+ Trường hợp 2: Các bạn nam ngồi vị trí chẵn, các bạn nữ ngồi vị trí lẻ

Tương tự như trường hợp trên ta có 5! . 5! cách xếp.

Vậy có 2 . 5! . 5! = 28800 cách xếp.

Các bạn có thể truy cập vào mục Giáo dục, học tập của Quantrimang.com để tìm hiểu thêm về các công thức toán học khác nhé.

Bài viết Cách giải bài toán đếm số sử dụng Chỉnh hợp với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách giải bài toán đếm số sử dụng Chỉnh hợp.

Cách giải bài toán đếm số sử dụng Chỉnh hợp (cực hay có lời giải)

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Định nghĩa : Cho tập hợp X gồm n phần tử (n≥1) và số nguyên k với 1≤k≤n. Khi lấy ra k phần tử của X và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của X).

Số các chỉnh hợp chập k của tập hợp có n phần tử được kí hiệu là , tính bởi công thức:

Chú ý : Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy ta có

• Một số chia hết cho 2 nếu chữ số hàng đơn vị là 0; 2; 4; 6; 8.

• Một số là số lẻ nếu chữ số hàng đơn vị là 1; 3; 5; 7; 9.

• Một số chia hết cho 5 nếu chữ số hàng đơn vị là 0 hoặc 5.

• Một số chia hết cho 10 nếu chữ số hàng đơn vị là 0.

• Một số chia hết cho 3 nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.

• Một số chia hết cho 9 nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Từ các số 1, 2, 3, 4,7,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau ?

A.360 B.150 C.400 D.720

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Mỗi số có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số đã cho là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử.

Do đó số các số có 4 chữ số thỏa mãn đầu bài : \=360 số

Quảng cáo

Ví dụ 2 : Cho tập A= {1; 2; 3; 4; 5;6}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm lẻ gồm 4chữ số đôi một khác nhau được tạo ra từ tập A .

A.120 B.240 C. 260 D.Kết quả khác

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

Gọi số có 4 chữ số thỏa mãn đầu bài là: abcd.

+ Vì đây là số lẻ nên d≠{ 1; 3; 5}. Có 3 cách chọn d.

+ Ứng với mỗi cách chọn d ta có: cách chọn abc.

⇒ số các số thỏa mãn đầu bài là: 3.\= 180 số

Ví dụ 3 : Cho tập hợp A={0;1;2;3;4;5}. Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau?

A.600 B.240 C.80 D.60

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Gọi số có 5 chữ số thỏa mãn đầu bài là: abcde.

+ vì a ≠ 0 nên a≠ { 1; 2; 3;4;5} có 5 cách chọn a.

+ Sau khi chọn a; mỗi cách chọn bcde là một chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử. Nên số cách chọn abcde là \= 120 số

⇒ Số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau được tạo ra từ tập A là:

5.120= 600 số

Ví dụ 4 : Số các số tự nhiên gồm 5chữ số khác nhau chia hết cho 10 là

A.3260 B.3168 C.3024 D.12070

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau là: x = abcde.

+ Vì x chia hết cho 10 nên e= 0 .

+ Vì 5 chữ số đôi một khác nhau nên a,b,c,d∈{1;2;3;4;5;6;7;8;9}

+ Khi đó mỗi cách chọn abcd là một chỉnh hợp chập 4 của 9 phần tử. Nên số cách chọn abcd là \=3024 số.

Vậy số các số tự nhiên có 5 chữ số thỏa mãn đầu bài là: 1. 3024= 3024 số.

Quảng cáo

Ví dụ 5 : Cho X= {1;2;3;4;5;6;7}. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau từ X sao cho một trong 3 chữ số đầu tiên phải có mặt chữ số 1?

A.2880 B.2280 C.1440 D.2520

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng .

+ Trường hợp 1: Nếu a= 1 khi đó có cách chọn 4 chữ số xếp vào b; c;d; e.

+ Trường hợp 2: Nếu a≠1 , khi đó: Có 6 cách chọn a. Có 2 cách xếp chữ số 1 vào số cần tạo ở vị trí b hoặc c. Các chữ số còn lại trong số cần tạo có cách chọn.

Như vậy trường hợp này có 2.6. \=1440 số.

Vậy có tất cả 840+ 1440= 2280 số.

Ví dụ 6 : Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số khác nhau mà hai chữ số chẵn đứng kề nhau?

A.720 B.1440 C.5040 D.3600

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

+ Số các số có 7 chữ số khác nhau lập từ các chữ số đã cho: 7!= 5040

+ Xếp 4 chữ số lẻ trên 1 hàng ngang với vị trí bất kì: 4! Cách.

+ Ở đây giữa các chữ số lẻ sẽ tạo thành 5 khoảng trống (bao gồm 3 khoảng trống giữa hai chữ số lẻ và 2 khoảng trống tại vị trí đầu và cuối). Ở mỗi khoảng trống, ta sẽ điền các chữ số chẵn 2, 4, 6 vào không kể thứ tự sao cho mỗi khoảng trống chỉ có 1 chữ số chẵn:

⇒ Số các số có 7 chữ số mà hai chữ số lẻ không đứng cạnh nhau : 4!.\= 1440 số

⇒ Số các số có 7 chữ số mà hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau là: 5040- 1440= 3600 số

Ví dụ 7 : Có bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5?

A.15 B.120 C.72 D.12

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Giả sử số thỏa mãn đầu bài là abcd

+ Do số cần lập là số lẻ nên d∈ {1; 3; 5} có 3 cách chọn d.

+ Ứng với mỗi cách chọn d; việc chọn abc là một chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử. Nên số cách chọn abc là

Do đó có 3.24= 72 số thỏa mãn.

Ví dụ 8 : Từ 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau?

1. 120 B. 192 C. 312 D. 216

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Giả sử số đó là abcde.

Do số cần lập là số chẵn nên e∈ { 0; 2; 4}.

+ Trường hợp 1: Nếu e= 0 chọn abcd có cách

⇒ có \=120 số thỏa mãn

+ Trường hợp 2: Nếu e∈{ 2;4} chọn a có 4 cách chọn, chọn bcd có

⇒ có 2.4.24= 192 cách.

Do đó có 192+ 120= 312 số thỏa mãn.

Ví dụ 9 : Với sáu chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau và trong mỗi số nhất thiết phải có chữ số 1?

A.204 B.83 C.24 D.96

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Gọi số có 4 chữ số thỏa mãn là abcd

+ Trường hợp 1. Nếu a = 1. Với mỗi cách chọn bcd là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Nên số cách chọn bcd: \=60 số

+ Trường hợp 2. Nếu b = 1. Có 4 cách chọn a; có \=12 cách chọn c và d.

⇒ có: 1. 4. 12= 48 số.

+ Tương tự; nếu c= 1; d= 1 cũng có 48 số thỏa mãn.

Suy ra số các số thỏa mãn đầu bài là: 60 + 48 + 48 + 48= 204 số.

Quảng cáo

Ví dụ 10 : Từ các số 1;2;3;4;5;6;7;8;9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số ở hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8?

A.720 B.1440 C.1400 D.2160

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

Gọi số có 6 chữ số thỏa mãn đầu bài là: .

Do tổng các chữ số hàng chục; trăm và nghìn bằng 8 nên a3+ a4+ a5 = 8 .

⇒ a3; a4; a5 ∈ { (1; 2; 5); (1;3;4)}.

+ Trường hợp 1: Nếu a3; a4; a5 ∈ ( 1; 2; 5).

Có 3!= 6 cách chọn a3 ; a4 và a5.

Số cách chọn a1; a2; a6 là \=120 số

⇒ có 6. 120= 720 số thỏa mãn.

+ Tương tự; nếu a3; a4; a5 ∈ ( 1; 3;4 )cũng có 720 số thỏa mãn.

⇒ Có tất cả: 720 + 720= 1440 số thỏa mãn.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Từ các số 0;1; 3; 4; 6; 7; 8 ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau?

A.2160 B.1880 C.1760 D.1680

Lời giải:

Đáp án : A

Gọi số có 5 chữ số thỏa mãn đầu bài là: abcde.

+ Vì a khác 0 nên có 6 cách chọn a.

+ với mỗi cách chọn bcde là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Nên số cách chọn bcde là \= 360 số

⇒ có 6.360= 2160 số thỏa mãn.

Câu 2: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta lập được bao nhiêu số có 3 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 5?

A.12 B.24 C.36 D.48

Lời giải:

Đáp án : C

+ Trường hợp 1: Số đó có dạng :

Chọn có \= 20 cách nên có 20 số thỏa mãn

+ Trường hợp 2: Số đó có dạng chọn a1 có 4 cách, chọn a2 có 4 cách

⇒ có 4.4 = 16 số thỏa mãn

Do đó có tất cả: 20 + 16= 36 số thỏa mãn.

Câu 3: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau; biết rằng cả 3 chữ số đó đều là chữ số chẵn ?

A.56 B.36 C.64 D.48

Lời giải:

Đáp án : D

Gọi số tự nhiên có 3 chữ số thỏa mãn điều kiện là abc.

Ta có: a,b,c∈ {0; 2; 4; 6; 8} và a khác 0.

+ Có 4 cách chọn a.

+ Có \=12 cách chọn bc.

⇒ Có 4.12= 48 số thỏa mãn đầu bài.

Câu 4: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau và không chia hết cho 2 ?

A.13400 B.24100 C.18240 D.2860

Lời giải:

Đáp án : A

Gọi số có 6 chữ số thỏa mãn điều kiện bài toán là:

+ Do số cần lập không chia hết cho 2 nên a6 ∈ { 1,3,5,7,9}. Có 5 cách chọn a6.

+ Do a1≠ 0 và khác a6 nên có 8 cách chọn a1.

+ Với mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử nên số cách chọn là \= 1680 số

Do đó; số các số tự nhiển có 6 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 2 là:

8. 1680= 13440 số

Câu 5: Cho tập hợp A= {0,1,2,3,5,6,7}. Hỏi từ tập A lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2.

A.240 B.320 C.360 D.280

Lời giải:

Đáp án : B

+ Gọi số có 4 chữ số thỏa mãn đầu bài là: abcd

+ Trường hợp 1: Nếu d= 0

Việc chọn mỗi số abc là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử nên có \=120 số thỏa mãn

+ Trường hợp 2: Nếu d khác 0.

chọn d có 2 cách chọn: d ∈ {2; 6}

chọn a có 5 cách chọn, chọn bc có \= 20 cách chọn

⇒ có 2.5.20= 200 số thỏa mãn.

Do đó có 120 + 200= 320 số thỏa mãn.

Câu 6:

A.300 B.320 C.310 D.330

Lời giải:

Đáp án : A

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau đượclập từ các số đã cho: abcd .

+ Từ 6 số đã cho ta lập được \=360 số có 4 chữ số khác nhau.

+ Ta tính số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bằng 1.

Khi đó : a= 1 - có 1 cách chọn a.

Mỗi cách chọn bcd là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Nên có \= 60 số thỏa mãn.

⇒ Số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số đã cho và không bắt đầu bằng chữ số 1 là: 360 - 60 = 300 số

Câu 7: Từ các số 1,2,6,7,8,9 lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau.

A.410 B.480 C.500 D.512

Lời giải:

Đáp án : B

Goi số có 6 chữ số được lập từ các số đã cho là: .

+ Số các số có 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo ra từ các số đã cho là: 6!= 720 số

+ Ta tính số các số có 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo ra từ các số đã cho và hai số 1; 2; đứng cạnh nhau:

Coi hai số 1 và 2 là 1 phần tử X.

Có 5!= 120 cách xếp X,6,7,8,9.

Ta có 2! = 2 cách xếp 1 và 2 trong X.

⇒ Số các số thỏa mãn là: 120.2= 240 số.

⇒ số các số có 6 chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau là: 720 – 240= 480 số.

Câu 8: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau chia hết cho 5?

A.660 số B.521 số C.760 số D.315 số

Lời giải:

Đáp án : A

+ Trường hợp 1: Số đó có dạng chọn có cách nên có số thỏa mãn.

+ Trường hợp 2: Số đó có dạng chọn a1 có 5 cách, chọn có có cách nên có 5 số thỏa mãn.

Do đó có +5.\=660 số thỏa mãn.

Câu 9: Với sáu chữ số 0, 1, 2, 6,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau và trong mỗi số nhất thiết phải có chữ số 0?

A.204 B.180 C.210 D.96

Lời giải:

Đáp án : B

Gọi số có 4 chữ số thỏa mãn là abcd .

+ Trường hợp 1. Nếu b= 0. Với mỗi cách chọn (a; c; d) là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Nên số cách chọn (a,c,d): \=60 số

+ Tương tự. Nếu c= 0; d= 0 có 60 số thỏa mãn.

Suy ra số các số thỏa mãn đầu bài là: 60+ 60+ 60=180 số.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Cách giải bài toán đếm số sử dụng Hoán vị (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài toán Hoán vị vòng quanh (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài toán Hoán vị lặp (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài tập Chỉnh hợp (cực hay có lời giải)
• Phương pháp giải bài tập Tổ hợp (cực hay có lời giải)
• Cách giải bài toán đếm số sử dụng Tổ hợp (cực hay có lời giải)
• Cách giải bài toán đếm hình sử dụng Tổ hợp (cực hay có lời giải)
• Gói luyện thi online hơn 1 triệu câu hỏi đầy đủ các lớp, các môn, có đáp án chi tiết. Chỉ từ 200k!

Săn SALE shopee tháng 11:

• Đồ dùng học tập giá rẻ
• Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.