TĂNG HỒNG DƯƠNG
BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ MỘT ẨN
I. Khái niệm bất phương trình một ẩn
1. Định nghĩa: Cho hai hàm số f[x],g[x] có các tập xác định Df,Dg. Đặt , mệnh đề chứa biến dạng f[x]>g[x] gọi là bất phương trình một ẩn.
Ví dụ: 2x+3>3x+6; 2x2+3x < 2x+5; 3x3+6x>5x+3
2. Tập hợp nghiệm: Tập hợp nghiệm của bất phương trình f[x] > g[x] là tập hợp tất cả các giá trị
3. Điều kiện của bất phương trình
Là điều kiện của ẩn x sao cho f[x] và g[x] có nghĩa
Ví dụ: Điều kiện của bất phương trình là
4. Bất phương trình chứa tham số
Là bất phương trình chứa các chữ cái khác ngoài ẩn. Ví dụ: mx+2>5 [tham số m]
5. Hệ bất phương trình một ẩn
Là hệ gồm từ hai bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao các tập nghiệm đó.
II. Bất phương trình tương đương
1. Định nghĩa: hai bất phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.
2. Định lý
2.1 Định lý 1 [phép cộng, trừ]:
Cho f[x] > g[x] xácđịnh trên D. Nếu h[x] xác định trên D thì: f[x] > g[x] f[x] + h[x] > g[x] + h[x]
* Hệ quả: Nếu chuyển một biểu thức từ vế này sang vế kia của phương trình và đổi dấu thì ta được một bất phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
2.2 Định lý 2 [phép nhân, chia]: Cho f[x] > g[x] xác định trên D
+ Nếu h[x] xác định trên D và h[x]>0 với mọi thì bất phương trình:
f[x] > g[x] f[x].h[x] > g[x].h[x]
+ Nếu h[x] xác định trên D và h[x] g[x] f[x].h[x] < g[x].h[x]
2.3. Định lí 3 [bình phương]: Nếu f[x] > 0, g[x]>0 thì
f[x] > g[x]
* Chú ý: Khi giải bất phương trình cần lưu ý các vấn đề sau
+ Đặt điều kiện [nếu có] trước khi biến đổi bất phương trình.
+ Khi nhân [chia] hai vế bất phương trình với một biểu thức thì chú ý xem biểu thức đó âm hay dương, hoặc biểu thức đó mang cả hai giá trị âm và dương.
+ Khi qui đồng mẫu số của bất phương trình: nếu biết chắc chắn mẫu dương thì không đổi dấu.
+ Nếu f[x] x+7 x > 4 => tập nghiệm là
b] 2x-10 > 3x-2
III. Dấu của nhị thức bậc nhất
1. Định nghĩa:
Nhị thức bậc nhất là biểu thức được biến đổi về dạng f[x] = ax+b ;
2. Định lý :
Bên trái nghiệm số trái dấu với a, bên phải nghiệm số cùng dấu với a.
* Ví dụ : xét dấu f[x] = 2x+3
Giải
Đặt f[x]=0 2x+3= 0
IV. Dấu Tam thức bậc hai
1. Định nghĩa: Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng .
2. Định lý: [về dấu tam thức bậc hai]
Cho tam thức bậc hai
+ Nếu thì f[x] cùng dấu với hệ số a với mọi x.
+ Nếu thì f[x] cùng dấu với hệ số a với .
+ Nếu thì f[x] có hai nghiệm phân biệt x1,x2 [ giả sử x1< x2] :
* Chú ý : ta có thể thay bởi
V. Phương pháp giải bất phương trình đại số 1 ấn
Phương pháp 1: Lập bảng
Ví dụ 1: Lập bảng xét dấu f[x]
a]
b]
Giải
Dấu f[x]
Vậy: và
b]cho f[x]= 0
Dấu f[x]
f[x] > 0; và f[x] < 0
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau
a]
b]
Giải
- *]Nghiệm vế trái: x=2;x=5
*]Dấu vế trái:
x | 2 5 |
VT | - 0 + 0 - |
Bất phương trình có nghiệm: .
b] *]Nghiệm tử: x=2;x=3
*] nghiệm mẫu:x=1
*]Dấu vế trái
x | 1 2 3 |
- │ - 0 + 0 - | |
- 0 + │ + │ + | |
VT | + ││ - 0 + 0 - |
Vậy bất phương trình có nghiệm: .
Ví dụ 3: Giải bất phương trình:
Giải:
Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho
- Nghiệm tử: 2x-2 = 0 => x=1
- Nghiệm mẫu: x-2 = 0 => x = 2
- Xét dấu biểu thức
vậy S=
Ví dụ 4: Gải bất phương trình:
Giải
Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho
- Nghiệm tử: -5x-11 = 0 =>
- Nghiệm mẫu:
- Xét dấu biểu thức
Vậy S =
Bài tập tự luyện
Bài 1: Giải các bất phương trình sau
Đáp số:
Bài 2: Giải các bất phương trình sau
a] b]
c]
Đáp số:
Phương pháp 2: Phương pháp trục số
Trước hết xin bật mí rằng, so sánh phương pháp này với phương pháp lập bảng nhanh hơn rất nhiều và nếu số lượng các nhân tử càng lớn thì tốc độ càng nhanh gấp nhiều lần. Xin giới thiệu các bạn phương pháp.
- Trước tiên nếu thì ta gọi x=a là nghiệm bội n.
- Dấu của trùng dấu a.b.
- Cho Trong đó ; có các nghiệm . Khi đó: dấu của h[x] được xác định như sau:
+] h[x] cùng dấu a trên khoảng .
+] Các khoảng còn lại:
-/ Nếu với nghiệm bội lẻ của tử hoặc mẫu thì hai khoảng kề nghiệm đó trái dấu nhau .
-/ Nếu tử hoặc mẫu có nghiệm bội chẵn thì hai khoảng kề với nghiệm đó không đổi dấu.
-/ Nếu tử và mẫu có nghiệm chung bội lẻ thì hai khoảng kề với nghiệm đó của không đổi dấu.
Chứng minh: Mời các bạn xem thêm trong chuyên đề Bất phương trình tích thương giải bằng phương pháp khoảng.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau:
Giải:
Bước 1: Nghiệm vế trái: x=1;x=2;x=3;x=4.
Bước 2: Xét dấu vế trái
x | 1 2 3 4 |
VT | - 0 + 0 - 0 + 0 - |
Bất phương trình có nghiệm:
Bình luận: các nghiệm vế trái đều bội lẻ [ bằng 1].
Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau:
Giải:
Bước 1: Nghiệm vế trái: x=1;x=2;x=3;x=4.
Bước 2: Xét dấu vế trái
x | 1 2 3 4 |
VT | + 0 - 0 + 0 + 0 - |
Bất phương trình có nghiệm:
Bình luận: Hệ số a= -1