Chứng minh rằng số T thỏa mãn\[\sin \left[ {x + T} \right] = \sin x\]với mọi\[x \in R\]phải có dạng\[T = k2\pi ,\]k là một số nguyên nào đó. Từ đó suy ra số T dương nhỏ nhất thỏa mãn\[\sin \left[ {x + T} \right] = \sin x\]với mọi \[x \in R\]là\[2\pi \][tức là hàm số\[y = \sin x\]là hàm số tuần hoàn với chu kì\[2\pi \]].
Đề bài
Chứng minh rằng số T thỏa mãn\[\sin \left[ {x + T} \right] = \sin x\]với mọi\[x \in R\]phải có dạng\[T = k2\pi ,\]k là một số nguyên nào đó. Từ đó suy ra số T dương nhỏ nhất thỏa mãn\[\sin \left[ {x + T} \right] = \sin x\]với mọi \[x \in R\]là\[2\pi \][tức là hàm số\[y = \sin x\]là hàm số tuần hoàn với chu kì\[2\pi \]].
Lời giải chi tiết
Nếu \[\sin [x + T] = \sin x\] với mọi \[x\] , thì khi \[x = {\pi \over 2}\] ta được \[\sin \left[ {{\pi \over 2} + T} \right] = 1\] . Số \[U\] mà \[\sin U = 1\] phải có dạng \[U = {\pi \over 2} + k2\pi ,k\] là số nguyên nào đó , nên
\[{\pi \over 2} + T = {\pi \over 2}+k2\pi \]
Vậy \[T = k2\pi \]
Ngược lại, dễ thấy rằng với mọi số nguyên \[k\] thì \[\sin [x + k2\pi ] = \sin x\] với mọi \[x\].