Đề bài
Biểu diễn hình học các số\[5 + i\] và\[239 + i\]rồi chứng minh rằng nếu các số thực a, b thỏa mãn các điều kiện\[0 < a < {\pi \over 2},0 < b < {\pi \over 2}\]và\[{\mathop{\rm tana}\nolimits} = {1 \over 5},{\mathop{\rm tanb}\nolimits} = {1 \over {239}}\]thì\[4a - b = {\pi \over 4}\]
Lời giải chi tiết
Điểm M để biểu diễn số \[5 + i\], điểm N biểu diễn số \[239 + i\] thì \[\tan \left[ {Ox,OM} \right] = {1 \over 5} = \tan a\], tan[\[{\rm{O}}x,ON\] ] \[ = {1 \over {239}} = \tan b\].
Do M, N nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ \[Oxy\], còn \[0 < a < {\pi \over 2}\], \[0 < b < {\pi \over 2}\]nên một acgumen của \[5 + i\] là \[a\], một acgumen của \[239 + i\] là \[b\] . Từ đó một acgumen của \[{{{{\left[ {5 + i} \right]}^4}} \over {239 + i}}\] là \[4a - b\].
Ta có \[{{{{\left[ {5 + i} \right]}^4}} \over {239 + i}} = {{476 + 480i} \over {239 + i}}\], mà \[\left[ {239 + i} \right]\left[ {1 + i} \right] = 238 + 240i\]
Nên \[{{{{\left[ {5 + i} \right]}^4}} \over {239 + i}} = 2[1 + i]\]
Số \[2[1 + i]\] có một acgumen bằng \[{\pi \over 4}\]
Vậy \[4a - b = {\pi \over 4} + k2\pi \] \[[k \in Z]\].
Dễ thấy \[0 < b < a < {\pi \over 4}\], suy ra \[4a - b = {\pi \over 4}\].