Đề bài
Viết phương trình mạt phẳng đi qua điểm M0[1;1;1], cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C, sao cho thể tích của tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết
Giả sử \[A[a;0;0],B[0;b;0],C = [0;0;c]\] với \[a,b,c > 0\] và [P] là mặt phẳng phải tìm. Phương trình của [P] là :
\[{x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1.\]
Vì \[{M_0} \in \left[ P \right]\] nên \[{1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} = 1.\]
Thể tích của tứ diện OABC là : \[{V_{OABC}} = {1 \over 6}abc.\]
Theo bất đẳng thức Cô-si :
\[1 = {1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} \ge {3 \over {\root 3 \of {abc} }} \Leftrightarrow abc \ge 27\]
\[ \Rightarrow {V_{OABC}} \ge {{27} \over 6} = {9 \over 2}\], dấu bằng xảy ra khi \[a=b=c=3.\]
Vậy VOABCnhỏ nhất bằng \[{9 \over 2}\] khi \[a=b=c=3\], khi đó phương trình mặt phẳng [P] là \[x+y+z-3=0.\]