Đề bài
Cho hai đường thẳng \[\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 3}}{1} = \dfrac{{z - 4}}{{ - 2}}\] và \[\Delta ':\dfrac{{x + 2}}{{ - 4}} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{4}\]
a] Xét vị trí tương đối giữa \[\Delta \] và \[\Delta '\];
b] Tính khoảng cách giữa \[\Delta \] và \[\Delta '\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Nhận xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, sử dụng mối quan hệ giữa hai đường thẳng song song: \[\Delta //\Delta ' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u = k\overrightarrow {u'} \\M \in \Delta ,M \notin \Delta '\end{array} \right.\]
b] Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \[d\left[ {\Delta ,\Delta '} \right] = d\left[ {M,\Delta '} \right] = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MA'} ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\]
Lời giải chi tiết
a] \[\Delta \] đi qua điểm M0[1; -3; 4] và có vecto chỉ phương \[\overrightarrow a = [2;1; - 2]\]
\[\Delta '\] đi qua điểm M0 [-2; 1; -1] và có vecto chỉ phương \[\overrightarrow {a'} = [ - 4; - 2;4]\]
Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {a'} = 2\overrightarrow a }\\{{M_0} \notin \Delta '}\end{array}} \right.\]
Vậy \[\Delta '\] song song với \[\Delta \]
b] Ta có \[\overrightarrow {{M_0}M{'_0}} = [ - 3;4; - 5]\], \[\overrightarrow a = [2;1; - 2]\]
\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_0}M{'_0}} ,\overrightarrow a } \right] = [ - 3; - 16; - 11]\]
\[d[\Delta ,\Delta '] = M{'_0}H = \dfrac{{|\overrightarrow n |}}{{|\overrightarrow a |}}\]\[ = \dfrac{{\sqrt {9 + 256 + 121} }}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = \dfrac{{\sqrt {386} }}{3}\]