Đề bài
Cho đường tròn \[[O]\], cung \[BC\] có số đo bằng \[120^\circ \], điểm \[A\] di chuyển trên cung lớn \[BC\]. Trên tia đối của tia \[AB\] lấy điểm \[D\] sao cho \[AD=AC\]. Hỏi điểm \[D\] di chuyển trên đường nào?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Tính \[\widehat {BDC}\] dựa vào tính chất tam giác cân và tính chất góc nội tiếp rồi sử dụng quỹ tích cung chứa góc dựng trên đoạn \[BC.\]
+ Xác định giới hạn quỹ tích của điểm \[D\] rồi kết luận.
Lời giải chi tiết
Tam giác \[ACD\] có \[AD = AC \Rightarrow \Delta ACD\] cân tại \[A\] nên \[\widehat {BDC} = \widehat {ACD}\] \[= \dfrac {1}{2} \widehat {BAC}\] [vì \[\widehat {BAC}\] là góc ngoài tại đỉnh \[A\] của tam giác \[ACD\]]
\[\widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}\] sđ\[\overparen{BC}\] \[ \Leftrightarrow \widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}.120^\circ = 60^\circ \] [vì\[\widehat {BAC}\] là góc nội tiếp chắn cung \[BC \]]
Từ đó \[\widehat {BDC} = \dfrac{{\widehat {BAC}}}{2} = \dfrac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ .\]
Vì thế điểm \[D\] nhìn đoạn \[BC\] cho trước dưới một góc \[30^\circ \] nên điểm \[D\] nằm trên cung chứa góc \[30^\circ \] dựng trên đoạn \[BC.\]
Khi \[A \equiv C\] thì \[D \equiv C.\]
Khi \[A \equiv B\] thì \[D \equiv P\] [\[BP\] là tiếp tuyến của \[\left[ O \right]\] tại \[B\] và \[P\] thuộc cung chứa góc \[30^\circ \] dựng trên đoạn \[BC.\]]
Vậy khi \[A\] di chuyển trên cung lớn \[BC\] thì điểm \[D\] di chuyển trên cung \[CE\] thuộc cung chứa góc \[30^\circ \] dựng trên đoạn \[BC\] [cung này nằm cùng phía với \[A\] so với bờ \[BC\]]