Đề bài
Cho đường tròn tâm \[O\] bán kính \[R\] và điểm \[M\] ở ngoài đường tròn đó. Qua điểm \[M\] kẻ hai tiếp tuyến \[MA,\] \[MB\] với đường tròn \[[O].\] Qua điểm \[M\] kẻ cát tuyến \[MCD\] với đường tròn \[[O]\] [tức là đường thẳng đi qua điểm \[M\] và cắt đường tròn tại hai điểm \[C, D].\] Gọi \[I\] là trung điểm của dây \[CD.\] Khi đó \[MAOIB\] có là ngũ giác nội tiếp hay không\[?\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
+] Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
+] Nếu các đỉnh của đa giác cùng nhìn một cạnh dưới góc vuông thì đa giác đó nội tiếp đường tròn.
Lời giải chi tiết
Khi cát tuyến \[MCD\] không đi qua \[O.\]
Xét đường tròn \[[O]\] có:
\[IC = ID\;\; [gt]\]
\[ \Rightarrow \] \[OI CD\] [đường kính đi qua điểm chính giữa của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó]
\[ \Rightarrow \widehat {MIO} = 90^\circ \]
\[MA OA\] [tính chất tiếp tuyến]
\[ \Rightarrow \widehat {MAO} = 90^\circ \]
\[MB OB\] [tính chất tiếp tuyến]
\[ \Rightarrow \widehat {MBO} = 90^\circ \]
\[A, I, B\] nhìn \[MO\] dưới một góc bằng \[90^\circ\] nên \[A, I, B\] nằm trên đường tròn đường kính \[MO.\]
Vậy: Ngũ giác \[MAOIB\] nội tiếp.
[Khi cát tuyến \[MCD\] đi qua \[O\] ngũ giác \[MAOIB\] suy biến thành tứ giác \[MAOB\] chứng minh tương tự].