Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] có \[AB < AC\], \[D\] là một điểm nằm giữa \[A\] và \[C\]. Chứng minh rằng : \[\widehat {ABD} = \widehat {ACB} \Leftrightarrow A{B^2} = AC.AD\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng tính chất của hai tam giác đồng dạng.
Lời giải chi tiết
a] Chứng minh \[\widehat {ABD} = \widehat {ACB} \Rightarrow A{B^2} = AC.AD\]
Xét \[ABD\] và \[ACB\] có:
\[\widehat A\] chung [gt]
\[\widehat {ABD} = \widehat {ACB}\] [gt]
\[\Rightarrow \] \[ABD ACB\] [g.g]
\[ \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}} \Rightarrow A{B^2} = AC.AD\]
b] Chứng minh \[A{B^2} = AC.AD\Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {ACB}\]
\[A{B^2} = AC.AD\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}\]
Xét \[ABD\] và \[ACB\] có:
\[\widehat A\] chung
\[\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}\]
Suy ra \[ABD ACB\] [c.g.c]
\[\Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {ACB}\] [Tính chất hai tam giác đồng dạng].
Vậy \[\widehat {ABD} = \widehat {ACB} \Leftrightarrow A{B^2} = AC.AD\]